WYKŁAD 1.
1.1.Literatura :
1) Kaliski : Drgania i fale .
2) Ponomariew : Współczesne metody obliczeń wytrzymałościowych w budowie maszyn , t.1 .
3) Borkowski , Konopka , Prochowski : Dynamika maszyn roboczych .
4) Osiński : Drgania mechaniczne .
1.2.Wstęp .
1.2.1.Umiejscowienie drgań mechanicznych w fizyce .
itp.
Rys.1.1.Umiejscowienie drgań w fizyce .
1.2.2.Dziedziny drgań mechanicznych .
1) Układy zdeterminowane ( liniowe , nieliniowe ) .
2) Układy ciągłe ( liniowe , nieliniowe ) .
3) Układy chaotyczne .
4) Metody eksperymentalne .
5) Badania drgań układów technicznych .
Mówienie o drganiach , począwszy od klasyfikacji drgań , poprzez układy drgające o jednym stopniu swobody , modele zredukowane układów technicznych , drgania układów ciągłych , układów nieliniowych , aż po techniczne zastosowania w zakresie wibroizolacji maszyn , wyrównoważania , badania oddziaływań drgań na człowieka-daje szerokie spektrum rozległej problematyki przedmiotu .
1.2.3.Pojęcia podstawowe .
DRGANIE - proces , w czasie którego charakteryzująca go wielkość fizyczna ( przemieszczenie , naprężenie i in. ) zmienia swą wartość rosnąc i malejąc na przemian . Przyczynami powstawania drgań w układach fizycznych są dynamiczne ( czyli zmienne w czasie ) działania sił.
W dalszym ciągu rozpatrujemy dwa rodzaje procesów drgających :
-ruch w układach mechanicznych ;
-drgania w układach elektrycznych .
Podejście takie uzasadnione jest pomiarami elektrycznymi oraz analogiami elektromechanicznymi . Dlatego też obydwa te zjawiska opisywane są analogicznymi równaniami różniczkowymi . Różnica widoczna jest tylko w ciągłych giętkich układach drgających . Pamiętamy równania Schwedlera wiążące moment gnący , siłę poprzeczną i siłę obciążenia jednostkowego :
(1.1)
Z równań (1.1) otrzymujemy równania różniczkowe IV rzędu .
W układach mechanicznych mamy dwa rodzaje współczynników : osiowe i kątowe , w układach elektrycznych mamy jedną zmienną ( prąd ) .Ze względu na charakter zmian w czasie drgania dzielimy na:
-drgania okresowe:
(1.2)
Najmniejszą wartość T , dla którego zachodzi (1.2) nazywamy okresem .
-drgania nieokresowe .
Cykl - drganie powtarzające się z okresem T .
Częstość drgań - liczba cykli zachodzących w ciągu 1 sekundy :
(1.3)
1 Hz (herc) - 1 cykl / 1 sekundę .
Szczególnym przypadkiem drgań okresowych są drgania harmoniczne - wyrażone przez sin lub cos , często przedstawiane:
(1.4)
Rys.1.2.Rysunek pomocniczy dla opisu drgań harmonicznych.
(1.5)
Tożsamość Eulera:
(1.6)
Dwie składowe drgań obejmujące rzędną i odciętą można ( korzystając z tożsamości Eulera ) przedstawić w jednym zapisie , bazującym na liczbach zespolonych . Zapis ten zwany jest czasem zapisem wektorowym .
W równaniach (1.4) i (1.5) : a oznacza amplitudę , j- fazę początkową , wt+j- fazę .
Częstość kołowa drgań :
(1.7)
w przedstawia liczbę cykli drgań zachodzących w ciągu 2p sekund .W mechanice prawie wyłącznie używa się w , w teorii sygnałów i elektrotechnice - n .
Z fizyki wiemy , że drgania można składać i w zależności od faz może to prowadzić do drgań okresowych , dudnienia lub drgań nieokresowych . W układach nieokresowych mówi się o wychyleniu , które zmienia się z pewną częstością .W drganiach harmonicznych zmiana fazy wpływa na amplitudę .
1.3. Drgania swobodne mechanicznych układów liniowych o jednym stopniu swo.
body .
Wiele układów technicznych można w przybliżeniu modelować układem o 1 stopniu swobody o masie skupionej w jego środku ciężkości . Liczba stopni swobody jest to liczba parametrów niezbędna do jednoznacznego opisu układu .
W przypadku , gdy masę skupiamy w środku ciężkości , mamy do czynienia z układem , do którego opisu wystarczy 1 parametr - współrzędna opisująca środek masy .
a)
Rys.1.3.Schemat układu o jednym stopniu swobody (a) i oddziaływanie poszczególnych elementów na obiekt (b) .
-ruch jest funkcją czasu .
(1.8)
(1.9)
Otrzymane równanie różniczkowe ruchu odniesione jest do statycznego położenia równowagi . Ugięcie statyczne lst obrazuje rys. 1.4.
Rys.1.4.Ugięcie statyczne układu .
(1.10)
Siła sprężysta:
(1.11)
(1.12)
Siły działające na obiekt - masę przedstawia rys.1.5.
Rys.1.5.Siły działające na obiekt .
(1.13)
Uwzględniając równanie (1.11) oraz (1.13) w równaniu (1.8) otrzymujemy :
(1.14)
Bardzo ważne jest przyjęcie układu odniesienia i najwygodniej jest przyjąć taki układ , który związany jest ze statycznym położeniem układu .Równanie (1.9) charakteryzuje drgania o 1 stopniu swobody , tłumione i z wymuszeniem F(t) . Gdy F(t)=0 , mamy do czynienia z drganiami swobodnymi :
(1.15)
Należy uwzględnić warunki początkowe :
(1.16)
Energia mechaniczna początkowa :
(1.17)
Dla drgań swobodnych bez tłumienia (b=0) :
(1.18)
(1.18a)
(1.19)
Podstawiając (1.19) do (1.18a) :
(1.20)
(1.21)
Wielkość opisaną równaniem (1.21) nazywamy częstością drgań własnych układu .
Zadanie domowe nr 1 .
Składanie drgań harmonicznych (synteza) :
a) ,
b) .
WYKŁAD 2 .
2.1.Równania różniczkowe drgań o jednym stopniu swobody .
Ogólne równanie drgań ma postać :
(2.1)
Wymuszenie może mieć różną postać , np. harmoniczną , losową itd. , np.:
(2.2)
Warunki początkowe z energią początkową :
(2.3)
W zależności od istnienia poszczególnych składników możemy wyróżnić różne rodzaje
drgań.
2.1.1.Drgania swobodne nietłumione .
(2.4)
(2.5)
2.1.2.Drgania tłumione niewymuszone .
(2.6)
(2.7)
2.1.3.Drgania wymuszone nietłumione.
(2.8)
(2.9)
lub: (2.9a)
2.1.4.Drgania wymuszone tłumione.
Zawsze mamy do czynienia z siłą restytucyjną - wywołującą akumulację energii potencjalnej .
2.2.Podział drgań .
Rys.2.1.Podział drgań
.2.3.Oscylator harmoniczny i jego własności .
2.3.1.Równania oscylatora harmonicznego .
Równanie drgań swobodnych nietłumionych :
...
Zywel