1. INTERPOLACJA
Zadaniem interpolacji jest utworzenie funkcji, która przebiega przez zadane punkty. Stosuje się różne klasy funkcji do interpolowania – wielomiany algebraiczne, funkcje sklejane, funkcje trygonometryczne.
Zadanie interpolacji możemy sformułować następująco:
W przedziale [a,b] mamy danych n+1 różnych punktów x0,x1,...,xn (węzły interpolacji) oraz wartości funkcji y=f(x) w tych punktach f(x0)=y0,f(x1)=y1,...,f(xn)=yn . Znaleźć funkcję F(x), która w węzłach interpolacji ma te same wartości co f(x) i przybliża f(x) w punktach.
I. Interpolacja wielomianowa:
Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej n (n³0), który w punktach x0, x1,...,xn przyjmuje wartości y0,y1,...,yn
Wzór Lagrange’a
x0, x1,...,xn – zadany zbiór punktów
y0,y1,...,yn - zadane wartości funkcji w punktach
oznaczmy Wn+1=(x-x0)(x-x1)...(x-xn)
- jest to wzór interpolacyjny Lagrange’a, podstawiając do
niego zadane wartości otrzymujemy wzór wielomianu przechodzącego przez zadane punkty
II. Interpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi polega na „łączeniu punktów”, w każdym odcinku przybliżamy funkcję wielomianem ustalonego (niskiego) stopnia, tak aby funkcja przybliżająca była ciągła wraz z pochodnymi na przedziale interpolacji [a,b]
Interpolacja funkcjami sklejanymi stopnia pierwszego
Załóżmy, że dysponujemy zbiorem n+1 węzłów interpolacji wraz z wartościami funkcji
(x0,y0), (x1,y1), ..., (xn,yn). W przypadku wielomianowych metod interpolacji może się zdarzyć,
że charakter interpolowanej funkcji uniemożliwia dobre odwzorowanie za pomocą
wielomianu interpolującego. Możemy w takich przypadkach spróbować zastosować liniową
interpolację pomiędzy poszczególnymi węzłami:
sk(x)=yk+dk(x-xk) gdzie
W ten sposób otrzymamy zestaw funkcji interpolujących przebieg pomiędzy węzłami
dzielącymi przedział interpolacji na podprzedziały. Sklejając te funkcje razem otrzymamy
funkcję interpolującą następującej postaci:
Można zwrócić uwagę na to, że pochodna funkcji s(x) jest nieciągła we wszystkich punktach
xk dla k=1,...,n-1
2. APROKSYMACJA
Zadaniem aproksymacji jest przybliżenie funkcji F(x) (albo tablicy charakteryzujących funkcję) funkcją f(x) tak aby była ona do niej najbardziej podobna.
F(x) – znana funkcja lub określona tablica
f(x) – funkcja aproksymująca
Przybliżenie obarczone jest błędem aproksymacji.
X – przestrzeń liniowa unormowana (skończenie lub nieskończenie wymiarowa)
F(x)Î X – funkcja aproksymująca Xn – n wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni X
Aproksymacja funkcji F(x) polega na wyznaczeniu takich współczynników a0,a1,...,an funkcji:
f(x)= a0j0(x)+ a1j1(x)+….+ anjn(x)
gdzie: j0,j1,…,jn są funkcjami bazowymi n+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej Xn+1, aby f(x) spełniała pewne warunki np. minimalizowała normę różnicy | f(x) – F(x) |
gdzie ji(x), yi(x) są elementami tej samej bazy k-wymiarowej podprzestrzeni liniowej k=max(n,m), zaś ai,bi są stałymi współczynnikami, które należy wyznaczyć.
W aproksymacji liniowej należy określić:
- odpowiednią podprzestrzeń liniową Xn i związaną bazę
- odpowiednią miarę.
Wybór podprzestrzeni:
Jeśli funkcja F(x) jest ciągła na przedziale (a,b) (F(x)ÎC(a,b)) to funkcje jk(x) będą elementami pewnej n+1 wymiarowej podprzestrzeni C(a,b).
Jeśli F(x) jest okresowa, to przydatna jest podprzestrzeń funkcji trygonometrycznych z bazą:
1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, ..., sinkx, coskx
Podprzestrzeń wielomianów – stopnia co najwyżej n z bazą jednomianów :
1, x, x2,..., xn lub bazą wielomianów Czebyszewa T0(x),T1(x), T2(x),..., Tn(x)
- funkcje bazowe mało wrażliwe na błędy
Można też użyć bazy wielomianów Lagrange’a
3) Kwadratury interpolacyjne
Rozpatrujemy funkcję f ciągłą i ograniczoną w[x 0 ,x n ]. Przedział ten dzielimy na skończoną liczbę pod przedziałów wyróżniając następujące krańce pod przedziałów
x 0 <x 1 <...<x n .1 <x n
Na ogół punkty xi tworzą siatkę o stałym kroku, tj. x i +1 =x i +h ;h =const .
pio1281trek