6. Parcie cieczy na powierzchnie płaską i zakrzywioną.
6.1. Parcie cieczy na powierzchnie płaskie.
Parciem hydrostatycznym nazywamy siłę powierzchniową, jaką wywiera ciecz będąca w stanie spoczynku na powierzchnię dowolnie zorientowaną w przestrzeni. Jest ona skierowana normalnie do rozpatrywanej płaszczyzny.
Rozważmy parcie cieczy na dowolną powierzchnię s, znajdującą się na płaskiej ścianie, nachylonej pod kątem a do powierzchni swobodnej (rys. 6.1).
Rys. 6.1
Obieramy ukośny układ współrzędnych w taki sposób, że oś x leży na krawędzi przecięcia się ściany płaskiej z powierzchnią swobodną, oś y prostopadle do osi x w płaszczyźnie ściany oraz oś z pionowo w dół. Obracając ścianę płaską dookoła osi y wykonamy kład rozważanej powierzchni s na płaszczyznę rysunku.
Zgodnie ze wzorem :
Dlementarne parcie działające na element powierzchni o współrzędnych jego środka x, y, z wynosi
(6.2)
Wypadkowa tych sił, czyli napór cieczy na płaską powierzchnię s jest zatem równa
(6.3)
gdzie jest zagłębieniem środka geometrycznego pola s pod zwierciadłem cieczy.
Z powyższego wzoru wynika tzw. paradoks hydrostatyczny Pascala , odnoszący się do parcia na poziome dno zbiornika: parcie na poziome dno zbiornika zależy tylko od pola powierzchni dna i od odległości od zwierciadła cieczy, a nie zależy od objętości cieczy zawartej w zbiorniku.
Oznaczmy przez N punkt o współrzędnych - nazywany środkiem parcia - w którym przyłożona jest siła parcia (6.3). Przyjmując, że ciśnienie na zewnątrz ściany jest równe czyli rozpatrując parcie netto
(6.4)
z równania momentów względem osi x mamy
(6.5)
Po uwzględnieniu zależności:
oraz wykorzystaniu twierdzenia Steinera, wyrażającego moment bezwładności przez moment bezwładności pola s względem osi przechodzącej przez środek ciężkości S i równoległej do osi x
otrzymujemy
(6.6)
Środek parcia na ścianę pochyłą lub pionową leży więc zawsze poniżej środka ciężkości, gdyż
W podobny sposób obliczamy współrzędną środka parcia N, pisząc równanie momentów względem osi y
z którego wyznaczamy
(6.7)
6.2 Parcie cieczy na powierzchnie zakrzywione.
Rozważmy prosty przypadek powierzchni cylindrycznej AB, której tworzące są prostopadłe do płaszczyzny (rys. 6.a). Oś x obieramy wzdłuż powierzchni swobodnej cieczy, a oś z pionowo w dół.
Rys. 6
Na powierzchni s obieramy element znajdujący się na głębokości z pod zwierciadłem cieczy. Parcie elementarne, normalne do tej powierzchni będzie równe
którego rzuty na kierunki osi współrzędnych x i z wyrażają się wzorami:
Oznaczmy przez i rzuty powierzchni elementu na płaszczyznę poziomą i płaszczyznę pionową. Po uwzględnieniu zależności:
otrzymamy wyrażenia:
Ich całki po całej powierzchni s określają składowe: poziomą i pionową parcia cieczy:
(6.1)
w których zS jest głębokością środka ciężkości S rzutu pionowego powierzchni - momentem statycznym powierzchni względem zwierciadła cieczy, a przedstawia objętość słupa cieczy znajdującej się nad elementem
Składowa pozioma parcia na powierzchnię zakrzywioną równa jest więc parciu na rzut tej powierzchni na płaszczyznę pionową, zaś składowa pionowa rów-na się ciężarowi cieczy znajdującej się w obszarze ABCD, ograniczonym od dołu rozpatrywaną powierzchnią.
Współrzędną środka parcia N (rys. 6.b) obliczamy ze wzoru (6.6)
Natomiast współrzędną kierunku działania składowej pionowej parcia obliczamy z równania momentów względem osi y
z którego, po uwzględnieniu zależności oraz , uzyskamy
Ze wzoru tego wynika, że parcie pionowe przechodzi przez środek geometryczny obszaru cieczy ABCD.
W zależności od kształtu powierzchni zakrzywionej rozróżniamy dwa rodzaje parcia pionowego:
- dodatnie (skierowane w dół), gdy ciecz wypełnia obszar nad powierzchnią zakrzywioną,
- ujemne (skierowane do góry), gdy obszar ten nie jest wypełniony cieczą.
Freakout