Hipotezy.rtf

HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

W prostych przypadkach obciążeń, obliczenia wytrzymałościowe sprowadzają się do sprawdzenia warunku, aby maksymalne naprężenia obliczone z odpowiednich wzorów nie przekroczyły wartości naprężeń dopuszczalnych. Tak więc przy jednokierunkowym rozciąganiu sprawdza się warunek σr = N/Fσ≤kr, przy ściskaniu σc = N/F≤kc, przy ścinaniu τśr=T/F≤kt, przy skręcaniu prętów kołowych τmax=Ms/W0≤ks, a przy zginaniu σg = Mg/W≤kg. Dla tych prostych przypadków należałoby dla każdego materiału przeprowadzać osobne badania laboratoryjne w celu określenia wytrzymałości na rozciąganie, ściskanie, ścinanie, skręcanie i zginanie, aby po uwzględnieniu odpowiednich współczynników bezpieczeństwa wyznaczyć naprężenia dopusz­czalne.

W budowie i konstrukcji maszyn występują nie tylko proste, ale również złożone stany obciążeń, odznaczające się przestrzennym układem naprężeń głównych σ1 σ2 i σ3. W celu określenia, przy jakim współczynniku bezpieczeństwa pracuje dany element, należałoby przeprowadzić badanie laboratoryjne przy zachowaniu takiego samego stosunku σ1 : σ2 : σ3 , jaki istnieje w najbardziej zagrożonych punktach w czasie pracy danego elementu i ustalić, przy jakich wartościach tych naprężeń następuje zniszczenie materiału.

Przeprowadzenie takich badań byłoby trudne i dlatego powstało wiele hipotez wytrzymałościowych, podających kryteria oceny stanu wytężenia materiału w złożonym stanie naprężeń w celu ilościowego porównania tego stanu z przypadkiem prostym, jakim jest zwykłe rozciąganie.

Hipoteza największych naprężeń normalnych (σmax)

Hipoteza największych naprężeń normalnych σmax, ogłoszona została przez Rankine'a. W myśl tej hipotezy o wytęże­niu materiału decyduje największe naprężenie normalne, występujące w najbardziej zagrożonym punkcie ciała. Aby wykazać istotne różnice w ocenie stopnia wytężenia materiału przy zastosowaniu poszczególnych hipotez, rozpatrzyć można elementarną kost­kę sześcienną poddaną działaniu naprężeń głównych σl>σ2>σ3. Aby porównania sprowadzić do konkretnych liczb, można przyjąć, że

, a .

Jeżeli kostka sześcienna zostanie poddana zwykłej próbie rozciągania i powstanie szereg odkształ­ceń plastycznych przy naprężeniach σpl uznane to zostanie za równoznaczne ze zniszczeniem kostki , to w kostce poddanej równoczesnemu działaniu trzech naprężeń rozciągających σl, oraz , według hipotezy σmax równie niebezpieczny stan naprężeń powstanie wówczas, gdy σ1 = σpl . W myśl tej hipotezy naprężenia σ2 i σ3 nie mają żadnego wpływu na stan wytężenia materiału, jeżeli tylko są mniejsze od σ1. Analogiczne kryterium to dotyczy ściskania. Hipoteza ta ma raczej znaczenie historyczne, bywa czasem stosowana do materiałów kruchych (kamień, beton, szkło).

  1.b           

Hipoteza największego wydłużenia względnego (εmax)

Z czasem stwierdzono, że w wielu wypadkach hipoteza największych naprężeń normalnych nie pokrywa się z doświadczeniem, co skłoniło de Saint-Venanta do sformułowania tzw. hipotezy największego wydłużenia względnego: εmax. W myśl tej hipotezy w rozpatrywanych dwóch kostkach będzie istniał jednakowy stan wytężenia, gdy największe odkształcenia względne kostek będą jednakowe. W przypadku kostki poddanej próbie rozciągania na­prężeniami σpl największe wydłużenie względne wynosi

Dla kostki poddanej rozciąganiu naprężeniami σl>σ2>σ3 największe wydłużenie względne wynosi

W myśl hipotezy εmax równoczesne działanie naprężeń σl, σ2 i σ3 jest równoważne z działaniem naprężeń σpl (rys. la) wówczas, gdy wydłużenia względne w obu tych przypadkach są sobie równe. A zatem z porównania wzoru (a) i (b) wynika, że

σpl =σ1-ν(σ2+σ3)                                                                     

Dla rozpatrywanej poprzednio kostki rozciąganej naprężeniami σl,, oraz , ze wzoru:

σpl =σ1-ν(+)=σ1(1-ν)

Dla stali (ν = 0,3) otrzyma się σ1= σpl/(1-0,3)=1,43σpl. Widać więc, że według
hipotezy εmax naprężenie σ1 może być w danym przypadku o 43% większe od granicy
plastyczności σpl i dopiero wówczas zacznie się proces odkształceń plastycznych
kostki przedstawionej na rysunku.             

Hipoteza εmax  dawała znacznie lepszą zgodność z wynikami doświadczeń niż hipoteza σmax i była powszechnie stosowana jeszcze w początkach obecnego wieku. Obecnie bywa stosowana do materiałów kruchych, jak kamień, beton, żeliwo,szkło itp.

Hipoteza największych naprężeń tnących (τmax)

Hipotezy σmax i εmax zawodzą w przypadku, gdy materiał poddany jest ze wszystkich stron działaniu jednakowych naprężeń normalnych (rozciągających lub ściskających). Stwierdzono bowiem doświadczalnie, że kostka sześcienna może być poddana działaniu ciśnienia hydrostatycznego wielokrotnie większego od wytrzyma­łości na ściskanie Rc, a mimo to w żadnym jej punkcie nie powstają ani odkształcenia plastyczne, ani rozkruszenia materiału. Charakterystyczną cechą wyróżniającą taki stan obciążeń jest między innymi to, że koło Mohra dla takiego stanu jest punktem (σ1=σ2=σ3), więc w każdym dowolnym przekroju omawianej kostki naprężenia styczne wynoszą zero. Na tej podstawie Coulomb sformułował tzw. hipotezę największych naprężeń tnących (τmax). W myśl tej hipotezy w czasie zwykłej próby rozciągania uplastycznienie próbki (równoznaczne ze zniszczeniem) powstaje nie dlatego, że naprężenia rozciągające w próbce osiągnęły wartość σpl, lecz dlatego, że największe naprężenia styczne τmax osiągnęły wartość krytyczną, wynoszącą w przy­padku zwykłego rozciągania:

W przypadku trójkierunkowego stanu naprężeń, gdy σl≥σ2≥σ3, największe naprężenia styczne powstają w przekroju nachylonym pod kątem 45° do kierunków naprężeń σ1 i σ3, i są równe promieniowi największego koła Mohra:

W wyniku porównania wzorów widać, że w myśl hipotezy τmax niebezpieczny (tj. równoważny ze zniszczeniem) stan naprężeń w kostce poddanej trójkierunkowemu działaniu naprężeń σl≥σ2≥σ3 powstaje wówczas, gdy

...