podstawowe pojęcia matematyczne.pdf

(375 KB) Pobierz
NAZEWNICTWO:
NAZEWNICTWO :
:<=> równoważność z definicji
:= równość z definicji
∀ dla każdego
∃ istnieje
istnieje dokładnie jeden
ZBIORY
{ ,, , }
=
012
- całkowite
* - całkowite bez zera
- wymierne
- rzeczywiste
−
- ujemne plus zero
- zespolone
A B - zawieranie słabe
∪
A x x
i
:
=∃∈
{ }
: :
∈
iJ
i A - suma zbiorów, unia zbiorów
iJ
∩
A x x
i
:
=∀∈
{ }
: :
∈
iJ
i A - iloczyn zbiorów
iJ
J – zbiór iteratorów
Zbiór podzbiorów zbioru E
2 = ⊂
:
{ }
E;
A
∈ E
;
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 11
Część 1 – Wstęp i liczby zespolone
∃
∈
∈
AAE
E
:
11843055.003.png
ILOCZYN KARTEZJAŃSKI ZBIORÓW
Definicja 1.
Parą lub dwójką elementów nazywamy z definicji zbiór
(, { } { }
):
=
{ }
, ,
Uwaga:
(, { } { }
):
=
{ }
, ,
(, ) (, )
≠
Definicja 2.
(, )
ab
pierwszy
element pary
(a nie: pierwsza
współrzędna pary!)
drugi
element pary
(a nie: druga
współrzędna pary!)
Twierdzenie 1.
Dwie pary są równe wtedy i tylko wtedy gdy odpowiednie elementy są
równe
(, ) (, )
= <=> = ∧ =
Definicja 3.
Trójki elementów to zbiór
abc abc
=
( )
n–ka (enka) to zbiór
aaa aa aaa a a
n n
−
, ) :
=
(
(
, , ,...,
n
)
,
n
)
Uwaga
Dwie enki są równe wtedy i tylko wtedy gdy odpowiednie elementy są
równe.
Definicja 4.
1 o ≠∅∧ ≠∅
A B
ABxy x Ay B
:
{
( )
, :
}
2 o
A B
: ∅
=∅∨ =∅
×=
B
czytamy A razy B lub A po kartezjańsku B
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 11
Część 1 – Wstęp i liczby zespolone
ab a ab
ba b ab
ab ba
ab cd acbd
(, , ): , ,
( , , ,...,
123 1 123 1
−
×= ∈∧∈
A
11843055.004.png
Przykład 1.
A=[1, 5]
B=[2, 6]
×= ∈ ∧∈
:
{
xyx y ]
, :
[ ; ]
15 26
[ ;
}
y
6
A B
5
4
3
2
B A
1
0 1
2
3
4
5
6
x
×= ∈ ∧∈
:
{
xyx y ]
, :
[ ; ]
26 15
[ ;
}
Wniosek: Iloczyn kartezjański nie jest przemienny.
Definicja 5.
1 o
AAA A A
123
, , ,...,
n
∧ ∀≠
i
∅
i
n
=
12
, ,...,
{
}
A AA A xxxx xA
1 2
×××× =
3
...
n
:
(
, , ,..., ,
n
)
i
12
∀ ∈
n
i
i
2 o
∃=∅
:
A
i
to
AAA A
1 2
×××× =∅
3
...
n
:
Definicja 5.
A
0
A AA AA
×××× = n
... :
n
Oznaczenie:
2
=×
3
=××
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 11
Część 1 – Wstęp i liczby zespolone
AB ( )
BA ( )
1 2 3
=
, ,...,
i
11843055.005.png 11843055.006.png
LICZBY ZESPOLONE
Definicja 1.
Liczbą zespoloną z nazywamy parę liczb . Pierwszy element pary to
część rzeczywista liczby zepolonej z (Re z ) a drugi nazywamy częścią
urojoną z (Im z )
z :=(x, y)
x,y ∈
x=Rez, y=Imz,
i:=(0, 1) – jednostka urojona
DZIAŁANIA NA LICZBACH ZESPOLONYCH
z 1 =(x 1 , y 1 )
z 2 =(x 2 , y 2 )
1 o z 1 = z 2 :<=> x 1 =x 2 ^ y 1 =y 2
2 o z 1 + z 2 :<=> (x 1 =x 2 , y 1 +y 2 )
3 o z 1 * z 2 :<=> (x 1 x 2 - y 1 y 2 , x 1 y 2 - x 2 y 1 )
UWAGA
Przyjmując oznaczenie z=(x, 0)=x zauważmy, że:
z 1 =(x 1 , 0)= x 1 , z 2 =(x 2 , 0)= x 2
to: z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 , 0)= x 1 +x 2
z 1 *z 2 =(x 1 x 2 , 0)= x 1 x 2
y oś urojonych
Z(x,y)
0
x
oś rzeczywista
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 11
Część 1 – Wstęp i liczby zespolone
11843055.001.png
Uwaga:
1) z=(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = z = x+iy
Jest to postać algebraiczna liczby zespolonej.
2) i 2 =i*i=(0, 1)(0, 1) = (-1, 0) =-1
WŁASNOŚCI DZIAŁAŃ NA LICZBACH ZESPOLONYCH
1 o Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych jest przemienne.
z 1 + z 2 = z 2 + z 1 ^ z 1 z 2 = z 2 z 1
2 o Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych jest łączne.
(z 1 + z 2 )+z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) = z 1 + z 2 + z 3
(z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) = z 1 z 2 z 3
3 o Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania
(z 1 +z 2 )z 3 = z 1 z 3 +z 1 z 3
WNIOSEK
Wszystkie własności i twierdzenia dla wynikające z powyższych
własności są również prawdziwe dla .
PRZYKŁAD 1.
z 1 =2-3i
z 2 =1+2i
z 1 *z 1 = (2-3i)(1+2i)=2 + 4i - 3i - 6i 2 = 8 + i
UWAGA
1) x, y
∈
x 2 + y 2 = (x + iy)(x – iy)
2) z n = z*z*z*…*z
n
n 2
i
≥
n
3)
i 1 = i
i 2 = -1
i 3 = i 2 i = -i
i 4 = i 2 i 2 = 1
i 5 = i 4 i = i
4) z = (x, y) = x + iy
-z = (-x, -y) = -x – iy
- liczba przeciwna
5) DZIELENIE
zxy
z xyz ≠
=
=
(, )
(, )
1 1
zxiy
zxiy
1
=+
=+
1
1
2
2 2
∧
2
0
2
2
2
i
zxiyxiyxiy xy xy
=
1
+
1
=
(
1
+ −
1 2
)(
2
)
=
1 2
+
1 2
+
2 1
+
1
2
+
(
+ −
)(
)
2
+
2
2
+
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 11
Część 1 – Wstęp i liczby zespolone
1
zxiyxiyxiyxxyyxyxy
1
11843055.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin