całki-ściaga.doc

(182 KB) Pobierz

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \qquad (n \neq -1)$

$\int (ax + b)^n dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} \qquad\mbox{(dla } n\neq -1\mbox{)}$

$\int \frac1x dx = \ln|x|$

$\int\frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$

$\int\sin cx\;dx = -\frac{1}{c}\cos cx$

$\int\sin^n cx\;dx = -\frac{\sin^{n-1} cx\cos cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(dla }n>0\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\ln \left|\tan\frac{cx}{2}\right|$

$\int\cos cx\;dx = \frac{1}{c}\sin cx$

$\int\cos^n cx\;dx = -\frac{\cos^{n-1} cx\sin cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(dla }n>0\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\tan\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|$

$\int\frac{dx}{1+\cos cx} = \frac{1}{c}\tan\frac{cx}{2}$

$\int\frac{dx}{1-\cos cx} = -\frac{1}{c}\cot\frac{cx}{2}$

$\int\tan cx\;dx = -\frac{1}{c}\ln|\cos cx|$

$\int\tan^n cx\;dx = \frac{1}{c(n-1)}\tan^{n-1} cx-\int\tan^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(dla }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{\tan cx + 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx + \cos cx|$

$\int\frac{dx}{\tan cx - 1} = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx - \cos cx|$

$\int\cot cx\;dx = \frac{1}{c}\ln|\sin cx|$

$\int\cot^n cx\;dx = -\frac{1}{c(n-1)}\cot^{n-1} cx - \int\cot^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(dla }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{1 + \cot cx} = \int\frac{\tan cx\;dx}{\tan cx+1}$

$\int\frac{dx}{1 - \cot cx} = \int\frac{\tan cx\;dx}{\tan cx-1}$

$\int\frac{dx}{\cos cx\pm\sin cx} = \frac{1}{c\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{cx}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|$

$\int\sin cx\cos cx\;dx = \frac{1}{2c}\sin^2 cx$

$\int e^{cx}\;dx = \frac{1}{c} e^{cx}$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} \qquad\mbox{(dla } a > 0,\mbox{ }a \ne 1\mbox{)}$

$\int a^{cx}\;dx = \frac{1}{c \ln a} a^{cx} \qquad\mbox{(dla } a > 0,\mbox{ }a \ne 1, c \ne 0\mbox{)}$

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \qquad (n \neq -1)$

$\int (ax + b)^n dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} \qquad\mbox{(dla } n\neq -1\mbox{)}$

$\int \frac1x dx = \ln|x|$

$\int\frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$

$\int\sin cx\;dx = -\frac{1}{c}\cos cx$

$\int\sin^n cx\;dx = -\frac{\sin^{n-1} cx\cos cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(dla }n>0\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\ln \left|\tan\frac{cx}{2}\right|$

$\int\cos cx\;dx = \frac{1}{c}\sin cx$

$\int\cos^n cx\;dx = -\frac{\cos^{n-1} cx\sin cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(dla }n>0\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\tan\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|$

$\int\frac{dx}{1+\cos cx} = \frac{1}{c}\tan\frac{cx}{2}$

$\int\frac{dx}{1-\cos cx} = -\frac{1}{c}\cot\frac{cx}{2}$

$\int\tan cx\;dx = -\frac{1}{c}\ln|\cos cx|$

$\int\tan^n cx\;dx = \frac{1}{c(n-1)}\tan^{n-1} cx-\int\tan^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(dla }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{\tan cx + 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx + \cos cx|$

$\int\frac{dx}{\tan cx - 1} = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx - \cos cx|$

$\int\cot cx\;dx = \frac{1}{c}\ln|\sin cx|$

$\int\cot^n cx\;dx = -\frac{1}{c(n-1)}\cot^{n-1} cx - \int\cot^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(dla }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{1 + \cot cx} = \int\frac{\tan cx\;dx}{\tan cx+1}$

$\int\frac{dx}{1 - \cot cx} = \int\frac{\tan cx\;dx}{\tan cx-1}$

$\int\frac{dx}{\cos cx\pm\sin cx} = \frac{1}{c\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{cx}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|$

$\int\sin cx\cos cx\;dx = \frac{1}{2c}\sin^2 cx$

$\int e^{cx}\;dx = \frac{1}{c} e^{cx}$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} \qquad\mbox{(dla } a > 0,\mbox{ }a \ne 1\mbox{)}$

$\int a^{cx}\;dx = \frac{1}{c \ln a} a^{cx} \qquad\mbox{(dla } a > 0,\mbox{ }a \ne 1, c \ne 0\mbox{)}$

$\operatorname {arctg} x$	$\frac {1} {1 + x^2}$
$\operatorname {arcctg} x$	$\frac {-1} {1 + x^2}$
$\sqrt x$	$\frac {1} {2 \sqrt x}$
$\sqrt[n]{x}$	$\frac {1} {n \sqrt[n]{x^{n-1}}}$
$\ln{\sqrt{\frac{1+x} {1-x}}}$	$\frac {1} {1-x^2}$
$\ln{\sqrt{\frac{x-1} {x+1}}}$	$\frac {1} {x^2-1}$
$\ln{(x+\sqrt{x^2\pm a^2})}$	$\frac {1} {\sqrt{x^2\pm a^2}}$

Styczna do wykresu funkcji f w punkcie P=(x0,y0) można opisać równaniem:
y - y0 = m ( x - x0)
gdzie m = f'(x0)

Kąt przecięcia krzywych

Przypuśćmy, że krzywe f(x) i g(x) przecinają się w punkcie P(x,y).
Niech m1=f'(x) i m2=g'(x).

Monotoniczność funkcji:

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym przedziale i dla każdego x z tego przedziału f'(x)<0 to funkcja jest malejąca w tym przedziale.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym przedziale i dla każdego x z tego przedziału f'(x)>0 to funkcja jest rosnąca w tym przedziale.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym przedziale i dla każdego x z tego przedziału f'(x)=0 to funkcja jest stała w tym przedziale.

Ekstrema funkcji

-Jeżeli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną to f'(x0)=0. Warunek ten zwany jest Warunkiem Koniecznym Ekstremum (WKE).

-Jeżeli funkcja ma w otoczeniu pochodną f'(x) i drugą pochodną f''(x), ciągłą w punkcie x0 o wartości różnej od zera, to funkcja f(x) ma w punkcie x0 ekstremum lokalne:
maksimum, gdy f''(x0)<0
minimum, gdy f''(x0)>0

$\operatorname {arctg} x$	$\frac {1} {1 + x^2}$
$\operatorname {arcctg} x$	$\frac {-1} {1 + x^2}$
$\sqrt x$	$\frac {1} {2 \sqrt x}$
$\sqrt[n]{x}$	$\frac {1} {n \sqrt[n]{x^{n-1}}}$
$\ln{\sqrt{\frac{1+x} {1-x}}}$	$\frac {1} {1-x^2}$
$\ln{\sqrt{\frac{x-1} {x+1}}}$	$\frac {1} {x^2-1}$
$\ln{(x+\sqrt{x^2\pm a^2})}$	$\frac {1} {\sqrt{x^2\pm a^2}}$

Styczna do wykresu funkcji f w punkcie P=(x0,y0) można opisać równaniem:
y - y0 = m ( x - x0)
gdzie m = f'(x0)

Kąt przecięcia krzywych

Przypuśćmy, że krzywe f(x) i g(x) przecinają się w punkcie P(x,y).
Niech m1=f'(x) i m2=g'(x).

Monotoniczność funkcji:

Ekstrema funkcji

-Jeżeli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną to f'(x0)=0. Warunek ten zwany jest Warunkiem Koniecznym Ekstremum (WKE).

całki-ściaga.doc

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: