Sformułowanie zadania interpolacyjnego
Danych jest n+1 różnych punktów x0, x1, ... , xn z przedziału [a,b], które nazywamy węzłami
interpolacji, oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach
y0 = f(x0) , y1 = f(x1) , .... , yn = f(xn).
Zadanie interpolacji polega na znalezieniu funkcji F, zwanej funkcją interpolującą, która w
węzłach xi , i = 0, 1, ... ,n , pokrywa się z funkcją f
F(xi) = f(xi) dla i = 0, 1, ... , n .
Rozważamy zadanie interpolacji liniowej, tj. zadanie w którym funkcja interpolująca przedstawiana
jest w postaci kombinacji liniowej
gdzie j , j = 0,1, ... ,n są funkcjami określonymi na przedziale [a,b]. Poszukiwanymi są tutaj
współczynniki kombinacji liniowej aj , j = 0, 1, ... ,n. Pytania o istnienie i jednoznaczność funkcji
interpolującej sprowadzają się do tego, czy układ równań liniowych
dla i = 0,1, .... , n (*)
ma rozwiązanie oraz, czy to rozwiązanie jest jedyne.
Zadanie intepolacyjne Lagrange'a polega na znalezieniu wielomianu Ln , stopnia nie wyższego
niż n, spełniającego warunki interpolacji
Ln(xi) = f(xi) dla i = 0,1, ... ,n .
Wielomian Ln nazywamy wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a funkcji f opartym na
węzłach x0, x1, ... , xn .
Interpolacja
Oznaczymy
Odpowiedź na powyższe pytania zależy od wyznacznika macierzy A. Jeżeli , to układ (*)
ma jednoznaczne rozwiązanie. Znalezienie tego rozwiązania daje funkcję interpolującą.
Interpolacja Lagrange'a
TWIERDZENIE. Zadanie interpolacyjne Lagrange'a na jednoznaczne rozwiązanie.
Wielomian interpolacyjny Ln można przedstawić w postaci
,
gdzie układ funkcji 0, 1, ... , n stanowi bazę przestrzeni Wn (przestrzeni wielomianów stopnia
nie wyższego niż n).
Rozpatrzymy
(a) bazę naturalną : 1, x , x2, ... , x n
(b) bazę wielomianów Newtona : , , j = 1, ... , n
W przypadku (a) mamy do czynienia z postacią naturalną wielomianu interpolacyjnego
W przypadku (b) współczynniki
a0 = y0 oraz aj = f 0,1, ... ,j , j = 1, ... ,n
są ilorazami różnicowymi określonymi poniżej.
Wyrażenia
, . . . . ,
nazywamy ilorazami różnicowymi 1-go rzędu. Analogicznie definiujemy ilorazy różnicowe 2-go rzędu
, . . . .
Ogólnie iloraz różnicowy rzędu k tworzymy z ilorazów różnicowych rzędu k-1 za pomoca wzoru
rekurencyjnego
Wobec tego
Ln(x) = y0 + f 0, 1 p1(x) + f 0, 1, 2 p2(x) + .... + f 0,1, ... , n pn(x)
Jest to tzw. postać Newtona wielomianu interpolacyjnego.
Dla n =1 (2 węzły)
Dla n =2 (3 węzły)
Algorytm obliczania n-tego ilorazu różnicowego można zapisać w postaci tablicy trójkątnej
W celu oszacowania błędu interpolacji możemy posłużyć się twierdzeniem
TWIERDZENIE. Jeżeli funkcja f jest klasy Cn+1([a,b]), to dla
gdzie M n+1 = | f (n+1) (x)|.
W sformułowanym zadaniu interpolacyjnym wyznaczamy wielomian w oparciu o
dane wartości funkcji f w (n+1) różnych węzłach. Powstaje pytanie, czy wielomian
ten będzie coraz lepiej przybliżał funkcję f wraz ze zwiększeniem liczby węzłów ?
Oczywiście, większa liczba zmierzonych wartości funkcji zawiera w sobie dokładniejszą
informację o tej funkcji.
W przypadku stosowania wielomianów jako funkcji interpolujących, często występuje
zjawisko pogarszania się przybliżenia przy zwiększaniu się liczby węzłów interpolacyjnych.
Dokładniej oznacza to, że ciąg ( Ln ) wielomianów interpolacyjnych nie będzie zbieżny
do funkcji f na przedziale [a,b]. Problemy te nie występują, gdy do interpolacji będziemy
stosować funkcje kawałkami "sklejane" z wielomianów niskich stopni.
mhead