geometria analityczna.pdf

(99 KB) Pobierz

721576640 UNPDF

materiałpochodzizestrony matematyka.pisz.pl

k¡tnachyleniaprostejdoosi Ox

Funkcjaliniowa(równaniekierunkoweprostej)

y

+ b

Funkcjaliniowato funkcja danawzorem:

x

a

współczynnikkierunkowy prostej

=

y

y = a x + b

1

x

y = a x + b

a –współczynnikkierunkowy

Monotoniczno±¢ : a > 0 –rosn¡ca a < 0 –malej¡ca a =0 –stała

jestrównytangensowinachylenia

prostejdoosi Ox

a =tg

b –współrz¦dnapunktuprzeci¦ciazosi¡ Oy : (0 , b )

przykłady:

Wykresfunkcjiliniowej:

y

y

y

y

+ b

y

− 1

y

= − x + 2

y

x

= 2 x

y = 1 3 x + 1

a

+ 3

=

3

2 y=2

y

y

135

= 2 x

1

63

1

x

x

x

1

1

1

x

1

x

1

x

y

a>0

a<0

a=0

Współczynnikkierunkowy:

a =2 a = − 1 3

2 tg63

− 1=tg135

0=tg0

a =0

Monotoniczno±¢ :

rosn¡ca malej¡ca stała

Prosterównoległeiprostopadłe

y Proste równoległe maj¡

tensam współczynnikkierunkowy .

Punktprzeci¦ciawykresuzosi¡ Oy :

2

a 1 = a 2

(0 , 3 ) (0 , 1 ) (0 , 2 )

+ 2 x

1

1

= 2 x

k¡tnachyleniaprostejdoosi x

y

1

= 2 x

y

— matematyka.pisz.pl — 1 — matematyka.pisz.pl —

721576640.253.png

721576640.264.png

721576640.275.png

721576640.286.png

721576640.001.png

721576640.012.png

721576640.023.png

721576640.034.png

721576640.044.png

721576640.055.png

721576640.066.png

721576640.077.png

721576640.088.png

721576640.099.png

721576640.110.png

721576640.121.png

721576640.132.png

721576640.143.png

721576640.154.png

721576640.165.png

721576640.176.png

721576640.187.png

721576640.198.png

721576640.209.png

721576640.220.png

721576640.224.png

721576640.225.png

721576640.226.png

721576640.227.png

721576640.228.png

721576640.229.png

721576640.230.png

721576640.231.png

721576640.232.png

721576640.233.png

721576640.234.png

721576640.235.png

721576640.236.png

721576640.237.png

721576640.238.png

721576640.239.png

721576640.240.png

721576640.241.png

721576640.242.png

721576640.243.png

721576640.244.png

721576640.245.png

721576640.246.png

721576640.247.png

721576640.248.png

721576640.249.png

721576640.250.png

721576640.251.png

721576640.252.png

721576640.254.png

721576640.255.png

721576640.256.png

721576640.257.png

721576640.258.png

721576640.259.png

721576640.260.png

721576640.261.png

721576640.262.png

721576640.263.png

721576640.265.png

721576640.266.png

721576640.267.png

721576640.268.png

721576640.269.png

y =

2 x

3

y

Proste prostopadłe maj¡

współczynnikikierunkowe spełniaj¡cewzór:

Mog¦te»skorzysta¢zewzoru:

y = 1 2 x 1

1

1

x

a 1 · a 2 = − 1

y

3

B =( x 2 ,y 2 ) Równanieprostejprzechodz¡cjeprzezdwa

punkty A =( x 1 ,y 1 ) i B =( x 2 ,y 2 )

np. − 2 · 1 2 = − 1

A =( x 1 ,y 1 )

x

( x 2 − x 1 )( y − y 1 )=( y 2 − y 1 )( x − x 1 )

równanieogólneprostej

Ax + By + C =0

współczynniki A i B niemog¡by¢jednocze±nierówne 0

Przykład:

przykładyrówna« :

Prostaprzechodz¡caprzezpunkty A =( 2 , 5 ) i B =( 3 , 7 ) marównanie:

3 x + y − 1=0 − x +2 y =0 4 x − y +3=0

przykładywykresów :

y

− 1

= 0

y

y

( 3 − 2 )( y − 5 )=( 7 − 5 )( x − 2 )

1( y − 5)=2( x − 2)

y − 5=2 x − 4

y =2 x − 4+5

y =2 x +1

− y

x =1

2 y =2

2 x

1

x

1

x

1

x

Równanieprostejprzechodz¡cejprzezdwapunkty

Równanieprostejprzechodz¡cejprzezdwapunktymog¦wyznaczy¢,rozwi¡zuj¡cukładrówna«.

Przykład .

— matematyka.pisz.pl — 2 — matematyka.pisz.pl —

721576640.270.png

721576640.271.png

721576640.272.png

721576640.273.png

721576640.274.png

721576640.276.png

721576640.277.png

721576640.278.png

721576640.279.png

721576640.280.png

721576640.281.png

721576640.282.png

721576640.283.png

721576640.284.png

721576640.285.png

721576640.287.png

721576640.288.png

721576640.289.png

721576640.290.png

721576640.291.png

721576640.292.png

721576640.293.png

721576640.294.png

721576640.295.png

721576640.296.png

721576640.002.png

721576640.003.png

721576640.004.png

721576640.005.png

721576640.006.png

721576640.007.png

721576640.008.png

721576640.009.png

721576640.010.png

721576640.011.png

721576640.013.png

721576640.014.png

721576640.015.png

721576640.016.png

721576640.017.png

721576640.018.png

721576640.019.png

721576640.020.png

721576640.021.png

721576640.022.png

721576640.024.png

721576640.025.png

721576640.026.png

721576640.027.png

721576640.028.png

721576640.029.png

721576640.030.png

721576640.031.png

721576640.032.png

721576640.033.png

odległo±¢dwóchpunktówodsiebie

Współrz¦dne±rodkaodcinkaoko«cach A =( − 2 , 3 ) i B =( 4 , − 9 )

y

S =

− 2 + 4

2 , 3 +( − 9 )

=(1 , − 3)

odległo±¢punktów A =( x 1 ,y 1 ) i B =( x 2 ,y 2 )

odsiebieliczymyzewzoru

2

B =( x 2 ,y 2 )

d

A =( x 1 ,y 1 )

d = p ( x 2 − x 1 ) 2 +( y 2 − y 1 ) 2

x

Odległo±¢punktuodprostej

przykład:

y Odległo±¢punktu P =( x 0 ,y 0 ) odprostej

o równaniuogólnym Ax + By + C =0

mo»emypoliczy¢zewzoru

P =( x 0 ,y 0 )

odległo±¢punktów A =( 2 , 5 ) i B =( 5 , 9 ) odsiebiewynosi

x

d = | Ax 0 + By 0 + C |

p

A 2 + B 2

d = p ( 5 − 2 ) 2 +( 9 − 5 ) 2

d = p 3 2 +4 2

d =

p

9+ 16

p

Przykład:

d =

25=5

Odległo±¢punktu A =( 5 , 2 ) odprostejorównaniu 3 x + 4 y +5=0 wynosi:

Odp.odległo±¢punktów A i B odsiebiewynosi 5

d = | 3 · 5 + 4 · 2 +5 |

p

3 2 + 4 2

Współrz¦dne±rodkaodcinka

d = | 15+8+5 |

p 9+16

y

Współrz¦dne±rodkaodcinka oko«cach

A =( x 1 ,y 1 ) i B =( x 2 ,y 2 )

B =( x 2 ,y 2 )

d = | 28 |

25 = 28

p

5

S

x 1 + x 2

2 , y 1 + y 2

S =

2

d =5 , 6

A =( x 1 ,y 1 )

x

Okr¡gwukładziewspółrz¦dnych

Przykład

— matematyka.pisz.pl — 3 — matematyka.pisz.pl —

A x + B y + C = 0

721576640.035.png

721576640.036.png

721576640.037.png

721576640.038.png

721576640.039.png

721576640.040.png

721576640.041.png

721576640.042.png

721576640.043.png

721576640.045.png

721576640.046.png

721576640.047.png

721576640.048.png

721576640.049.png

721576640.050.png

721576640.051.png

721576640.052.png

721576640.053.png

721576640.054.png

721576640.056.png

721576640.057.png

721576640.058.png

721576640.059.png

721576640.060.png

721576640.061.png

721576640.062.png

721576640.063.png

721576640.064.png

721576640.065.png

721576640.067.png

721576640.068.png

721576640.069.png

721576640.070.png

721576640.071.png

721576640.072.png

721576640.073.png

721576640.074.png

721576640.075.png

721576640.076.png

721576640.078.png

721576640.079.png

721576640.080.png

721576640.081.png

721576640.082.png

721576640.083.png

721576640.084.png

721576640.085.png

721576640.086.png

721576640.087.png

721576640.089.png

721576640.090.png

721576640.091.png

721576640.092.png

721576640.093.png

721576640.094.png

721576640.095.png

721576640.096.png

721576640.097.png

721576640.098.png

721576640.100.png

721576640.101.png

721576640.102.png

721576640.103.png

y

Wyznaczamwspółrz¦dnewektoraopocz¡tku A iko«cu B .

A =( 1 , 2 ) B =( 5 , 4 ) −− AB =[ 5 − 1 , 4 − 2 ]=[4 , 2]

Równanieokr¦guo±rodku S =( a,b ) ipromieniu r

r

( x − a ) 2 +( y − b ) 2 = r 2

A =( 3 , 7 ) B =( 0 , 9 ) −− AB =[ 0 − 3 , 9 − 7 ]=[ − 3 , 2]

S=(a;b)

A =( − 4 , 8 ) B =( 2 , 1 ) −− AB =[ 2 − ( − 4 ) , 1 − 8 ]=[6 , − 7]

x

Współrz¦dnewektorównajłatwiejodczyta¢zrysunku:

a

d

e =[0 , 2]

4

b

c

f =[0 , − 1]

Kołowukładziewspółrz¦dnych

3

a =[3 , 4]

b =[ − 3 , 2]

c =[ − 2 , − 3]

d =[2 , − 1]

g =[ − 2 , 0]

y

Nierówno±¢opisuj¡cakołoo±rodku S =( a,b )

ipromieniu r

r

Długo±¢wektora

( x − a ) 2 +( y − b ) 2 ¬ r 2

S=(a;b)

x

y

Maj¡c współrz¦dnewektora mog¦policzy¢

jegodługo±¢.

| a | = p a 2 1 + a 2 2

a =[ a 1 ,a 2 ]

x

Współrz¦dnewektora

przykłady

y

A =( x 1 ,y 1 ) –pocz¡tekwektora

B =( x 2 ,y 2 ) –koniecwektora

a

a =[4 , 3]

p

4 2 +3 2 = p 16+9=

p

B =( x 2 ,y 2 )

| a | =

25=5

A =( x 1 ,y 1 )

Współrz¦dnewektora:

−− AB =[ x 2 − x 1 ,y 2 − y 1 ]

x

b

b =[ − 2 , 1]

| b | = p ( − 2) 2 +1 2 = p 4+1=

p

5

Przykłady

— matematyka.pisz.pl — 4 — matematyka.pisz.pl —

d

d

d

721576640.104.png

721576640.105.png

721576640.106.png

721576640.107.png

721576640.108.png

721576640.109.png

721576640.111.png

721576640.112.png

721576640.113.png

721576640.114.png

721576640.115.png

721576640.116.png

721576640.117.png

721576640.118.png

721576640.119.png

721576640.120.png

721576640.122.png

721576640.123.png

721576640.124.png

721576640.125.png

721576640.126.png

721576640.127.png

721576640.128.png

721576640.129.png

721576640.130.png

721576640.131.png

721576640.133.png

721576640.134.png

721576640.135.png

721576640.136.png

721576640.137.png

721576640.138.png

721576640.139.png

721576640.140.png

721576640.141.png

721576640.142.png

721576640.144.png

721576640.145.png

721576640.146.png

721576640.147.png

721576640.148.png

721576640.149.png

721576640.150.png

721576640.151.png

721576640.152.png

721576640.153.png

721576640.155.png

721576640.156.png

721576640.157.png

721576640.158.png

721576640.159.png

721576640.160.png

721576640.161.png

721576640.162.png

721576640.163.png

721576640.164.png

721576640.166.png

721576640.167.png

721576640.168.png

721576640.169.png

721576640.170.png

721576640.171.png

721576640.172.png

721576640.173.png

721576640.174.png

721576640.175.png

c

c =[ − 2 , − 3]

| c | = p ( − 2) 2 +( − 3) 2 =

p

p

Dodaniewektorów a i b zapomoc¡ regułyrównoległoboku poleganapoł¡czeniupocz¡tków a

i b ,anast¦pnienarysowaniuprzek¡tnejtakutworzonego równoległoboku .

4+9=

13

a =[5 , 0] b =[1 , 3]

b

c

c = a + b =[5 , 0]+[1 , 3]=[5+1 , 0+3]=[6 , 3]

| d | =3

d

a

m =[4 , − 3] n =[1 , 2]

| e | =1

n

p = m + n =[4 , − 3]+[1 , 2]=

=[4+1 , − 3+2]=[5 , − 1]

e

p

m

Dodawaniewektorów

Dodaniewektora a i b poleganaprzesuni¦ciu b doko«ca a ipoł¡czeniupocz¡tku a zko«cem b .

Odejmowaniewektorów

Odj¦cieodwektora a wektora b polegana dodaniu dowektora a wektora przeciwnego do b

czyli ( − b ) .

b

a =[2 , 3] b =[4 , 1] (dodawaniena współrz¦dnych )

a =[3 , 2] b =[ − 1 , 3] (odejmowaniena współrz¦dnych )

c = a + b =[2 , 3]+[4 , 1]=[2+4 , 3+1]=[6 , 4]

a

a

− b

b

c

c = a − b =[3 , 2] − [ − 1 , 3]=[3 − ( − 1) , 2 − 3]=[4 , − 1]

c

b

a =[0 , 2] b =[ − 4 , 0]

b

a =[4 , 2] b =[5 , 0]

c = a + b =[0 , 2]+[ − 4 , 0]=[0+( − 4) , 2+0]=[ − 4 , 2]

c

a

− b

c = a − b =[4 , 2] − [5 , 0]=[4 − 5 , 2 − 0]=[ − 1 , 2]

c

a

c

a =[ − 2 , 2] b =[1 , 2] c =[4 , 1]

a =[4 , 0] b =[1 , 2] ( regułarównoległoboku )

b

d

d = a + b + c =[ − 2 , 2]+[1 , 2]+[4 , 1]=

=[ − 2+1+4 , 2+2+1]=[3 , 5]

b

a

− b

c = a − b =[4 , 0] − [1 , 2]=[4 − 1 , 0 − 2]=[3 , − 2]

a

c

— matematyka.pisz.pl — 5 — matematyka.pisz.pl —

721576640.177.png

721576640.178.png

721576640.179.png

721576640.180.png

721576640.181.png

721576640.182.png

721576640.183.png

721576640.184.png

721576640.185.png

721576640.186.png

721576640.188.png

721576640.189.png

721576640.190.png

721576640.191.png

721576640.192.png

721576640.193.png

721576640.194.png

721576640.195.png

721576640.196.png

721576640.197.png

721576640.199.png

721576640.200.png

721576640.201.png

721576640.202.png

721576640.203.png

721576640.204.png

721576640.205.png

721576640.206.png

721576640.207.png

721576640.208.png

721576640.210.png

721576640.211.png

721576640.212.png

721576640.213.png

721576640.214.png

721576640.215.png

721576640.216.png

721576640.217.png

721576640.218.png

721576640.219.png

721576640.221.png

721576640.222.png

721576640.223.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

geometria analityczna.pdf (99 KB)
trójkąty opisane w okręgu.ppt (473 KB)
dydaktyczna tabliczka mnożenia - forma gry.doc (89 KB)

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin