7. Równania fizyczne.pdf

(100 KB) Pobierz
Microsoft Word - 07rowfiz.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Równania fizyczne.
7. RÓWNANIA FIZYCZNE
7.1. Zwi Ģ zki mi ħ dzy stanem odkształcenia i napr ħŇ enia. I i II posta ę równa ı Hooke’a
Zale Ň no Ļę deformacji bryły od obci ĢŇ e ı zewn ħ trznych narzuca istnienie zale Ň no Ļ ci mi ħ dzy
odkształceniami i napr ħŇ eniami. B ħ dziemy si ħ starali ustali ę te zale Ň no Ļ ci dla przestrzennych
stanów odkształcenia i napr ħŇ enia. Jest rzecz Ģ powszechnie znan Ģ , Ň e konstrukcje o tej samej
geometrii, obci ĢŇ eniach i wi ħ zach, wykonane z ró Ň nych materiałów, doznaj Ģ ró Ň nych
deformacji wi ħ c jest oczywiste, Ň e poszukiwane zale Ň no Ļ ci musz Ģ by ę oparte na
do Ļ wiadczeniach.
Wyobra Ņ my sobie dowolnie mały
sze Ļ cian o Ļ ciankach równoległych do
płaszczyzn układu współrz ħ dnych i
poddajmy go działaniu napr ħŇ enia
normalnego s , równomiernie
rozło Ň onego na dwóch przeciwległych
Ļ ciankach. Do Ļ wiadczenia pokazuj Ģ , Ň e
w przypadku materiału spr ħŇ ystego i
izotropowego napr ħŇ enia te nie
wywołaj Ģ Ň adnych odkształce ı
k Ģ towych sze Ļ cianu, a odkształcenia
liniowe b ħ d Ģ miały warto Ļ ci:
Z
s
s
s
s
Y
s
s
X
Rys. 7.1
e
=
s
x
,
e
=
e
=
−
n
=
−
n
x
x
E
y
z
x
E
gdzie: E oraz n stałe materiałowe nosz Ģ ce odpowiednio nazwy moduł spr ħŇ ysto Ļ ci (moduł
Younga) i liczba Poissona.
Je Ň eli nasz sze Ļ cian poddamy działaniu jedynie napr ħŇ enia normalnego s , równomiernie
rozło Ň onego na dwóch przeciwległych Ļ ciankach to wywoła ono jedynie odkształcenia
liniowe:
e
=
s
y
,
e
=
e
=
−
n
=
−
n
y
.
y
E
x
z
y
E
I analogicznie, przy działaniu równomiernie rozło Ň onego napr ħŇ enia normalnego s ,
otrzymamy:
e
=
s
z
,
e
=
e
=
−
n
=
−
n
z
.
z
x
y
z
E
E
Nasuwa si ħ teraz pytanie, czy w przypadku jednoczesnego działania tych trzech napr ħŇ e ı
liniowe odkształcenia w danym kierunku b ħ dzie mo Ň na przedstawi ę jako sum ħ algebraiczn Ģ
odkształce ı przy oddzielnym działaniu tych napr ħŇ e ı (tzn. jako dodanie do siebie efektów
trzech jednoosiowych stanów napr ħŇ enia). Odpowied Ņ na to pytanie jest pozytywna,
potwierdzaj Ģ j Ģ do Ļ wiadczenia i formułuje zasada superpozycji:
skutek w okre Ļ lonym kierunku, wywołany przez zespół przyczyn działaj Ģ cych
równocze Ļ nie jest równy algebraicznej sumie skutków wywołanych w tym kierunku
przez ka Ň d Ģ z przyczyn działaj Ģ cych oddzielnie.
Nale Ň y w tym miejscu podkre Ļ li ę , Ň e stosowalno Ļę zasady superpozycji ograniczona jest
dwoma warunkami:
60
88670256.034.png 88670256.035.png 88670256.036.png 88670256.037.png 88670256.001.png 88670256.002.png 88670256.003.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Równania fizyczne.
• warunkiem proporcjonalno Ļ ci – wymagaj Ģ cym, aby poszczególne skutki były liniowo
zale Ň ne od przyczyn, które je wywołały,
• warunkiem niezale Ň no Ļ ci działania – wymagaj Ģ cym, aby Ň aden ze skutków nie wpływał
na sposób działania pozostałych przyczyn.
Przyj ħ te przez nas zało Ň enia odno Ļ nie materiału oraz mało Ļ ci przemieszcze ı i odkształce ı
prowadz Ģ do spełnienia tych warunków.
Tak wi ħ c, wykorzystuj Ģ c zasad ħ superpozycji mo Ň emy zapisa ę :
e
=
1
[
s
−
n
(
s
+
s
)
]
x
E
x
y
z
1
[
]
e
=
s
−
n
(
s
+
s
)
(7.1)
y
E
y
x
z
1
[
(
)
]
e
=
s
−
n
s
+
s
z
z
x
y
E
Powy Ň sze równania pokazuj Ģ , Ň e zwi Ģ zki mi ħ dzy odkształceniami liniowymi i napr ħŇ eniami
normalnymi okre Ļ lone s Ģ poprzez dwie stałe materiałowe E i n . Do okre Ļ lenia zwi Ģ zków
mi ħ dzy odkształceniami k Ģ towymi i napr ħŇ eniami stycznymi mog Ģ równie Ň słu Ň y ę te same
stałe. Aby tego dowie Ļę rozwa Ň my stan napr ħŇ enia okre Ļ lony macierz Ģ :
Ä
0
0
0
Ô
T
=
Å
0
s
0
Õ
.
s
Å
Õ
Æ
0
0
−
s
Ö
Jest to płaski stan napr ħŇ enia w płaszczy Ņ nie ( Y, Z ) i - jak pokazano na rys. 7.2 - na
płaszczyznach nachylonych pod k Ģ tem 45 do osi ( Y, Z ) wyst ħ puj Ģ jedynie napr ħŇ enia styczne
s
Z
Odkształcenia liniowe w kierunkach
osi układu wynosz Ģ :
s
Y
e
=
1
+
n
y
E
,
e
2
t=
s
1
+
n
e
=
−
z
E
90
A
−
g
a k Ģ towe jest rowne zeru.
Odkształcenie k Ģ towe g osi
obróconych o k Ģ t 45° wynosz Ģ :
( )
s
Y
s
Y
1
Y
g
=
−
e
y
−
e
z
sin
−
90
A
=
1
+
n
,
2
2
E
ale s
t= st Ģ d:
( ) t
e
2
2
1
+
n
g
=
.
s
Y
E
e
e
Oznaczaj Ģ c przez
1
2
2
E
G
=
, ostatecznie mo Ň emy
( n
2
1
+
Rys. 7.2
zapisa ę zwi Ģ zek mi ħ dzy odkształceniem k Ģ towym i napr ħŇ eniem stycznym w formie:
61
Å
Õ
t= (por. przykład 5.4.2).
88670256.004.png 88670256.005.png 88670256.006.png 88670256.007.png 88670256.008.png 88670256.009.png 88670256.010.png 88670256.011.png 88670256.012.png 88670256.013.png 88670256.014.png 88670256.015.png 88670256.016.png 88670256.017.png 88670256.018.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Równania fizyczne.
t
g= ,
G
(7.2)
gdzie stała materiałowa G nazywana jest modułem Ļ cinania lub Kirchhoffa albo modułem
spr ħŇ ysto Ļę i poprzecznej.
Z
Powracaj Ģ c do rozwa Ň anego na pocz Ģ tku
sze Ļ cianu poddajmy go teraz kolejno działaniu
równomiernie rozło Ň onych napr ħŇ e ı stycznych
pokazanych na rys. 7.3. W przypadku spr ħŇ ystego
ciała izotropowego nie wywołaj Ģ one odkształce ı
liniowych a k Ģ towe b ħ d Ģ równe:
t
zy
t
zx
t
yz
t
xz
g =
t
xy
,
xy
t
G
t
yx
Y
t
xy
yz
g =
, (7.3)
yz
G
g =
t
xz
.
X
Rys. 7.3
xz
G
Równania (7.1) i (7.3) okre Ļ laj Ģ ce zwi Ģ zki mi ħ dzy odkształceniami i napr ħŇ eniami nazywaj Ģ
si ħ równaniami Hooke’a lub zwi Ģ zkami konstytutywnymi lub fizycznymi. T ħ posta ę równa ı
fizycznych w których odkszałcenia s Ģ funkcjami napr ħŇ e ı nazwiemy I postaci Ģ równa ı
Hooke’a.
Poniewa Ň rozwa Ň amy materiały z załozenia izotropowe to wyst ħ puj Ģ w nich tylko dwie stałe
materiałowe które nale Ň y wyznaczy ę do Ļ wiadczalnie. Sposób ich wyznaczenia podany
zostanie w toku dalszych wykładów.
Udowodnimy teraz wa Ň ne twierdzenie: w ciele spr ħŇ ystym i izotropowym kierunki napr ħŇ e ı
głównych pokrywaj Ģ si ħ z kierunkami odkształce ı głównych.
Dowód: niech osie X, Y i Z to osie głównych napr ħŇ e ı . Je Ļ li tak to napr ħŇ enia styczne
0
t
xy
=
t
yz
=
t
zx
=
a dalej z (7.3)
g
xy
=
g
yz
=
g
zx
=
0
co dowodzi, Ň e te osie s Ģ osiami
odkształce ı głównych.
Aby wyprowadzi ę zwi Ģ zki mi ħ dzy napr ħŇ eniami i odkształceniami nale Ň y odwróci ę równania
(7.1) i (7.3). Odwrócenie tych drugich jest spraw Ģ bardzo prost Ģ . Pierwsze odwrócimy
kolejno wykonuj Ģ c:
(
e
x
=
s
x
−
n
s
y
+
s
z
)
,
E
e
y
=
s
y
−
n
(
s
x
+
s
z
)
,
E
e
z
=
s
z
−
n
(
s
x
+
s
y
)
.
Dodanie stronami tych trzech równa ı daje zale Ň no Ļę :
(
s
+
s
+
s
)
=
E
(
e
+
e
+
e
)
.
(7.4)
x
y
z
1
−
2
n
x
y
z
Przekształcamy pierwsze równanie dodaj Ģ c i odejmuj Ģ c po prawej stronie:
E
e
x
=
s
x
−
n
(
s
y
+
s
z
)
−
n
x
+
n
x
®
E
e
x
=
( )
1
+
n
s
x
−
n
(
s
x
+
s
+
s
z
)
Wstawienie (7.4) daje:
62
E
y
88670256.019.png 88670256.020.png 88670256.021.png 88670256.022.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Równania fizyczne.
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
) Ù
×
i post ħ puj Ģ c analogicznie z nast ħ pnymi napr ħŇ eniami
x
1
+
n
x
1
−
2
n
x
y
z
normalnymi dostajemy równania wi ĢŇĢ ce je z odkształceniami liniowymi.
II posta ę równa ı fizycznych Hooke’a :
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
) Ù
×
x
1
+
n
x
1
−
2
n
x
y
z
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
) Ù
×
(7.5)
y
1
+
n
y
1
−
2
n
x
y
z
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
) Ù
×
z
1
+
n
z
1
−
2
n
x
y
z
t
xy
=
G
g
xy
,
t
yz
=
G
g
yz
,
t
zx
=
G
g
zx
7.2. III posta ę równa ı Hooke’a - prawo zmiany obj ħ to Ļ ci i prawo zmiany postaci
Przyjmijmy na mocy definicji:
e
m def
e
x
+
e
y
+
e
z
,
s
m def
s
x
+
s
y
+
s
z
(7.6)
3
3
=
=
jako odkształcenie Ļ rednie i napr ħŇ enie Ļ rednie. Przy tych oznaczeniach wzór (7.4) mo Ň emy
zapisa ę w formie:
s 3
m
=
K e
m
(7.7)
gdzie:
K
=
E
jest stał Ģ materiałow Ģ i nazywana jest modułem obj ħ to Ļ ciowej
(
2
3 −
1
Ļ ci Ļ liwo Ļ ci spr ħŇ ystej lub modułem Helmholtza.
Dokonajmy rozkładu macierzy napr ħŇ e ı na dwie cz ħĻ ci
T
s
=
A
s
+
D
s
Ä
s
x
t
xy
t
xz
Ô
Ä
s
m
0
0
Ô
Ä
s
x
−
s
m
t
xy
t
Ô
Å
t
s
t
Õ
=
0
s
0
+
Å
t
s
−
s
t
Õ
Å
Õ
yx
y
yz
m
yx
y
m
yz
Å
Õ
Å
Õ
Å
Õ
Æ
t
t
s
Ö
Æ
0
0
s
Ö
Æ
t
t
s
−
s
Ö
zx
zy
z
m
zx
zy
z
m
gdzie:
A - aksjator napr ħŇ e ı , D - dewiator napr ħŇ e ı ;
i analogicznie macierzy odkształce ı :
T
e
=
A
e
+
D
e
63
Ç
Ç
Ç
Ç
xz
Å
Õ
Å
Õ
Å
Õ
88670256.023.png 88670256.024.png 88670256.025.png 88670256.026.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Równania fizyczne.
Ä
e
1
g
1
g
Ô
Ä
e
0
0
Ô
Ä
e
−
e
1
g
1
g
Ô
Å
x
2
xy
2
xz
Õ
Å
m
Õ
Å
x
m
2
xy
2
xz
Õ
Å
1
g
e
1
g
Õ
=
0
e
0
1
1
+
Å
g
e
−
e
g
Õ
Å
Õ
yx
y
yz
m
yx
y
m
yz
2
2
2
2
Å
Õ
Å
Õ
Å
Õ
Æ
1
g
1
g
e
Ö
Æ
0
0
e
Ö
Æ
1
g
zx
1
g
zy
e
z
−
e
m
Ö
2
zx
2
zy
z
m
2
2
gdzie:
A - aksjator odkształce ı , D - dewiator odkształce ı .
Łatwo sprawdzi ę , Ň e zachodz Ģ poni Ň sze zwi Ģ zki mi ħ dzy aksjatorami i dewiatorami napr ħŇ e ı i
odkształce ı :
A
s
=
3
K
A
e
,
(7.8)
D
s
=
2
G
D
e
,
(7.9)
które stanowi Ģ III posta ę równa ı Hooke’a i nosz Ģ nazwy prawa zmiany obj ħ to Ļ ci i prawa
zmiany postaci.
Uzasadnienie tych nazw nie jest trudne. Działanie aksjatora napr ħŇ e ı wywołuje jedynie
zmian ħ obj ħ to Ļ ci, a odkształcenia postaciowe s Ģ równe zeru. Natomiast pod działaniem
dewiatora napr ħŇ e ı powstaj Ģ odkształcenia postaciowe, a suma odkształce ı liniowych na
przek Ģ tnej dewiatora odkształce ı jest równa zeru, co dowodzi, Ň e nie ma zmiany obj ħ to Ļ ci.
Wró ę my jeszcze do równania (7.7). Wykorzystuj Ģ c, Ň e zmiana obj ħ to Ļ ci jest równa:
D
=
e
x
+
e
y
+
e
z
=
3
e
m
,
mo Ň emy zapisa ę :
D
=
3
1
−
2
.
m
E
1
Je Ļ li
s
>
0
, to oczywi Ļ cie D>0, a wi ħ c musi zachodzi ę : 1-2 n > 0, czyli
n
£
.
2
Maksymalna zmiana obj ħ to Ļ ci b ħ dzie zachodzi ę dla materiału którego
n
=
0
, materiał
1
którego
n
=
jest nie Ļ ci Ļ liwy. Guma ma liczb ħ Poissona blisk Ģ 0.5, a korek blisk Ģ 0.
2
7.3. Przykłady
Przykład 7.3.1. Jakie obci ĢŇ enie sze Ļ cianu o boku a wykonanego z materiału spełniaj Ģ cego
równania Hooke’a, powoduje przemieszczenia dowolnego jego punktu okre Ļ lone funkcjami:
Z
u
=
−
C
x
,
v
=
−
C
y
,
Y
w
=
−
C
z
,
je Ļ li stałe materiałowe s Ģ równe E i n .
a
a
X
a
64
88670256.027.png 88670256.028.png 88670256.029.png 88670256.030.png 88670256.031.png 88670256.032.png 88670256.033.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin