1_1_Matematyka s1 WSB2009 2010.pdf

(311 KB) Pobierz
1_1_Matematyka s1 WSB2009 2010
MATEMATYKA
ROZDZIAŁ II
GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
I. Granica ciągu liczbowego
Niech g R
Î
. Otoczeniem liczby g nazywamy przedział
(
g
- e + e
;
g
)
, gdzie
e >
0
.
Definicja 1.
Mówimy, że liczba g R
Î
jest granicą ciągu liczbowego
( )
a , co zapisujemy lim n
n
a g
®¥
=
,
jeżeli dla każdego
e >
0
istnieje liczba
d
taka, że wyrazy ciągu
a o wskaźnikach n
> d
spełniają nierówność
g
- e < < + e
a g
n
, co można zapisać w równoważnej postaci:
- < e .
Zatem:
(
lim n
a g
=
)
Û
" $ "
a g
- < e
.
n
®¥
e>
0
d
n
>d
Uwaga. Sens powyższej definicji jest następujący: w dowolnym otoczeniu granicy g
znajdują się „prawie wszystkie wyrazy ciągu
( )
a ” tj. tylko skończona liczba wyrazów nie
należy do otoczenia
(
g
- e + e
;
g
)
.
Inaczej : wyrazy ciągu
( )
a „skupiają się” wokół liczby g .
a , który ma sko ń czon ą granic ę g nazywamy ci ą giem zbie ż nym , a granic ę g
nazywamy granicą właściwą.
( )
a przez usunięcie lub
dołączenie skończonej liczby wyrazów jest też zbieżny i ma tę samą granicę tj.
lim
( )
a jest zbieżny, to ciąg
( )
a ¢
powstały z ciągu
( )
n
®¥
a
¢ =
lim
®¥
a
n
.
Twierdzenie 1.
Ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę (nie może mieć dwóch różnych granic).
1
( )
a g
n
Definicja 2.
Ci ą g
Uwaga.
Jeżeli ciąg
n
n
391811991.011.png
Definicja 3.
Ciąg
( )
a , który nie ma granicy nazywamy ciągiem rozbieżnym .
Wśród ciągów rozbieżnych wyróżniamy ciągi rozbieżne do
+¥
i ciągi rozbieżne do
-¥
.
Definicja 4.
Mówimy, że ciąg
( )
a jest rozbieżny do
+¥
, co zapisujemy lim n
n
a
®¥
= +¥
, jeżeli dla każdej
liczby rzeczywistej M istnieje liczba
d
taka, że dla każdej liczby naturalnej n
> d
wyrazy
ciągu
( )
a spełniają nierówność n
a M
>
.
Zatem:
(
lim n
a
= +¥ Û
)
" $ "
a M
n
>
.
n
®¥
M
d
n
>d
Definicja 5.
Mówimy, że ciąg
( )
a jest rozbieżny do
-¥
, co zapisujemy lim n
n
a
®¥
= -¥
, jeżeli dla każdej
liczby rzeczywistej M istnieje liczba
d
taka, że dla każdej liczby naturalnej n
> d
wyrazy
ciągu
( )
a spełniają nierówność n
a M
<
.
Zatem:
(
lim n
a
= -¥ Û
)
" $ "
a M
n
<
.
n
®¥
M
d
n
>d
Uwaga.
Jeżeli ciąg jest rozbieżny do +¥ lub do -¥ to +¥ lub do -¥ nazywamy granic ą
niewłaściwą .
Twierdzenia o ciągach
Twierdzenie 1 . ( o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych )
Jeżeli ciągi
( ) ( )
a
n
,
b są zbieżne do granic właściwych lim n
n
n
a a
®¥
=
, lim n
n
b b
®¥
=
, to
1.
lim n
®¥
(
a b
+
n
)
= +
a b
,
2.
lim
®¥ ×
(
c a
n
)
= ×
c a
,
c
¹
0
.
3.
lim n
®¥
(
a b
×
n
)
= ×
a b
.
4. lim
a
n
=
a
,
b
¹
0
.
n
®¥
b
b
n
Twierdzenie 2. ( o trzech ciągach )
Jeżeli ciągi
( ) ( )
a
n
,
b ,
n
( )
c spełniają warunki:
1. n
a b c
£ £
n
n
dla każdego
n n
³
0
,
2 lim
a
n
=
lim
c g
n
=
,
n
®¥
n
®¥
to lim n
n
®¥ =
b g
.
Twierdzenie 3. ( o ciągu monotonicznym i ograniczonym )
Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
2
n
n
n
391811991.012.png
Wyróżniamy tutaj dwa przypadki:
1. Jeżeli ciąg
( )
a jest niemalejący dla
n n
³
0
oraz jest ograniczony z góry, to jest zbieżny do
granicy właściwej.
2. Jeżeli ciąg
( )
a jest nierosnący dla
n n
³
0
oraz jest ograniczony z dołu, to jest zbieżny do
granicy właściwej.
jest rosnący i ograniczony z góry, a zatem jest
zbieżny. Granicę tego ciągu oznaczamy przez e . Tak więc
( )
e dany wzorem
e
= +
( )
1
1
n
n
n
e
=
lim 1
( )
+
1
n
.
n
n
®¥
Liczba e w przybliżeniu wynosi
e
»
2, 71828
.
Wniosek ( o ciągach zbieżnych związanych z liczbą e )
1. Jeżeli ciąg
( )
a o wyrazach dodatnich ma granicę niewłaściwą lim n
n
a
= ¥
, to
®¥
lim 1
( )
+
1
a
n
=
e
.
a
n
®¥
n
( )
2. Jeżeli ciąg
a
n
o wyrazach dodatnich ma granicę właściwą lim
n ®¥ a =
n
0
, to
(
)
1
lim 1
+ a
=
e
n
a
n
n
®¥
Wzory.
1.
lim
1
=
0 ,
k
>
0.
n
®¥
n
k
0
dla q
dla q
<
1,
2.
lim
q
n
=
1
=
1,
n
®¥
dla q
nie istnieje dla q
>
1.
£ -
1.
3. lim
n
a
=
1,
a
>
0,
lim
n
n
=
1
.
n
®¥
n
®¥
1
n
a
n
4.
lim 1
+
=
e
,
gdzie
e
»
2, 72
, lim 1
+
=
e
a
,
n
n
n
®¥
n
®¥
3
Twierdzenie 4. ( określenie liczby e )
Ciąg
def
¥
391811991.013.png 391811991.014.png 391811991.001.png 391811991.002.png
Przykłady.
1. Niech
( )
a będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie
q ¹
1
. Wiadomo, że suma n
S
a
1 1
1
( )
-
q
n
n - początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem
S
=
.
n
-
Jeżeli
q
<
1
to istnieje granica
a
( )
1
-
q
n
a
1
lim
S
=
lim
=
1
.
n
1
-
q
1
-
q
n
®¥
n
®¥
gdyż na podstawie wzoru 2. lim
q
n
=
0
. Granicę
a
1
nazywamy sumą wyrazów
n
®¥
1
-
q
nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego (szeregu geometrycznego) i oznaczamy
literą S . Zatem
S
=
a
1
,
q
<
1.
1
-
q
Zadanie.
Rozwiąż równania, których lewe strony są sumami wyrazów nieskończonego ciągu
geometrycznego zbieżnego (szeregiem geometrycznym) :
a)
1
+
1
+
1
+ = -
... 1 2
x
; b)
cos
x
+
cos
3
x
+
cos
5
x
+ =
...
1
.
1
-
x
( ) ( )
-
x
2
1
-
x
3
sin
x
Rozwiązanie
a) Składniki sumy tworz ą ci ą g geometryczny, w którym 1
a
=
1
oraz
q
=
1
.
1
-
x
1
-
x
Warunek zbieżności
q
<
1
jest równoważny nierówności
1 x <
1
1
.
-
Nierówność ta jest spełniona dla
x
<
0
lub
x
>
2
. Zatem lewa strona jest równa
a
1
1 .
S
=
1
=
1
-
x
= -
1
-
q
1
-
1
x
1
-
x
Otrzymujemy równanie:
- = -
1
1 2 x
, którego pierwiastkiem spełniającym warunki zadania
x
1 .
2
jest liczba
x
= -
b) Składniki sumy tworzą ciąg geometryczny, w którym 1 cos
a
=
x
oraz
q
=
cos
2
x
.
Warunek zbieżności
q
<
1
jest równoważny nierówności
cos
2
x
<
1
.
Nierówność ta jest spełniona dla
x k
¹ × p
,
k
Î ℤ . Zatem lewa strona jest równa
S
=
a
1
=
cos
x
=
cos
x
.
1
-
q
1 cos
-
2
x
sin
2
x
Otrzymujemy równanie:
cos
x
x =
1
sin
. Jest ono równoważne równaniu cos
x
=
sin
x
.
sin
2
x
Rozwiązaniami tego równania spełniającymi warunki zadania, są liczby
1
4
x
= p + × p
k
,
k
Î ℤ .
4
1
391811991.003.png 391811991.004.png 391811991.005.png 391811991.006.png
2. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić, że
lim
2
n
=
2
.
n
®¥
n
+
1
Mamy pokazać, że
" $ "
2
n
- < e
2
.
n
+
1
e>
0
d
n
>d
Niech
e
będzie dowolną liczbą dodatnią. Musimy znaleźć taką liczbę
d
, że dla każdego
n
> d
spełniona będzie nierówność
n - < e
2
n
2
.
+
1
Mamy
2
n
- =
2
2
< e Û
n
> -
2
1.
n
+
1
n
+
1
e
Zatem możemy przyjąć
d = -
e
2
1
. Istotnie, dla każdego
e >
0
istnieje liczba
d = -
e
2
1
taka,
że każdej liczby naturalnej n
> d
spełniona jest nierówność
n - < e
2
n
2
.
+
1
2
n n
n
2
- +
5
n
2
(2
- +
1
5
)
2
- +
1
5
2 0 0 2
- +
3.
lim
=
lim
n
n
2
=
lim
n
n
2
=
=
.
n
®¥
3
2
+
1
n
®¥
n
2
(3
+
1
)
n
®¥
3
+
1
3 0
+
3
n
2
n
2
4. Obliczyć lim 3 4 5
n n
+ +
n
n
.
n
®¥
Zau ważmy na jpier w, że dla ka żde go n N
Î
mam y
5
=
n
0 0 5
+ + £
n
n
3 4 5
n
+ + £
n
n
n
5 5 5 5 3
n
+ + =
n
n
n
.
Ponieważ lim 5 5
n ®¥ =
, lim 5 3 5
n
=
więc z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy
n ®¥
lim 3 4 5 5
n n
+ + =
n
n
.
n
®¥
3
n
1
+
n
+
3
n
n
e
3
5.
lim
=
lim
=
=
e
2
.
n
®¥
n
+
1
n
®¥
1
n
e
1
+
n
6.
(
)
(
n
2
+ -
4
n n
)(
n
2
+ +
4
n n
)
lim
n
2
+ - =
4
n n
lim
=
2
n
®¥
n
®¥
n
+ +
4
n n
n
2
+ -
4
n n
2
4
n
4
lim
=
lim
==
lim
=
2.
2
2
4
n
®¥
n
+ +
4
n n
n
®¥
n
+ +
4
n n
n
®¥
1
+ +
1
n
3
n
-
2
n
9 2
n
-
n
(9 2 ) : 9
n
-
n
n
1
-
( )
2
9
n
1 0 1
-
7.
lim
=
lim
=
lim
=
lim
=
=
n ®¥
5 2 9
n
+ ×
n
n ®¥
5 2 9
n
+ ×
n
(5 2 9 ) : 9
n
+ ×
n
n
( )
n
0 2 2
+
n
®¥
n
®¥
5
9
+
2
5
391811991.007.png 391811991.008.png 391811991.009.png 391811991.010.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin