listy_zadan_8-14 i odp.pdf

AnalizaMatematycznaMAEW101

WydziałElektroniki

Listyzada«nr8-14(cz¦±¢II)

na podstawie skryptów:

M.Gewert,ZSkoczylas,AnalizaMatematyczna1.Przykładyizadania,

GiS,Wrocław2005

M.Gewert,ZSkoczylas,AnalizaMatematyczna2.Przykładyizadania,

GiS,Wrocław2006

Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz

Lista8.

Zadanie 8.1

Obliczy¢ podane całki nieoznaczone z funkcji wymiernych

(a)

Z x 2 dx

x + 1

(c)

Z (4 x + 1) dx

2 x 2 + x + 1

( x − 1) x 2

(5 − 4 x ) dx

x 2 − 4 x + 20

(b)

(d)

Zadanie 8.2

Obliczy¢ podane całki nieoznaczone z funkcji trygonometrycznych

sin x + tg x

1 + 2 cos 2 x

(a)

(c)

cos x

3 sin x + 4 cos x + 5

(b)

(d)

Lista9.

Zadanie 9.1

Korzystajac z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczy¢ podane całki oznaczone

2 Z

p x +

p x

9 Z

x 2 + 9

(a)

(b)

(c)

sin 2 x cos x dx

Zadanie 9.2

Metod¡ całkowania przez cz¦±ci obliczy¢ podane całki oznaczone

1 Z

(a)

x 2 e 2 x dx

(c)

ln xdx

ln x dx

x 2

2 Z

(b)

(d)

e x cos( x ) dx

p e

Zadanie 9.3

Obliczy¢ podane całki oznaczone dokonuj¡c wskazanych podstawie«

6 Z

1 + p 3 x − 2 , y = p 3 x − 2

(a)

(c)

ln xdx , y = ln x

1 Z

3 p

x − x 3 dx

x 4 , y =

x 2

2 Z

1 + x

1 − x dx , x = cos y

(b)

(d)

Zadanie 9.4

Wykorzystuj¡c własno±ci całek z funkcji parzystych, nieparzystych, okresowych uzasadni¢ podane

równo±ci

1 Z

x 5 dx

3 Z

sin 7 x

4 + cos x dx = 0

(a)

p 3 − x 2 = 0

(b)

x ( x 3 + x ) dx = 2

x ( x 3 + x ) dx (c)

− 1

− 3

Zadanie 9.5

Obliczy¢ podane całki oznaczone

1 Z

(

2 Z

e x dla x 6 = 0

0 dla x = 0

(c)

|| x |− 1 | dx

(a)

g ( x ) dx , gdzie g ( x ) =

− 2

− 1

3 Z

(

1 − x dla x ¬ 1

1 dla x > 1

(b)

g ( x ) dx , gdzie g ( x ) =

Lista10.

Zadanie 10.1

Korzystaj¡c z deﬁnicji zbada¢ zbie»no±¢ podanych całek niewła±ciwych pierwszego rodzaju

(a)

2 − x dx

0 Z

x 2 + 4

(d)

−1

(b)

x sin xdx

(e)

x 2 e − x 3 dx

3 p 3 x + 5

−1

(c)

Zadanie 10.2

Korzystaj¡c z kryterium porównawczego (punkty (a), (b), (c)) lub ilorazowego (pozostałe punkty)

zbada¢ zbie»no±¢ podanych całek niewła±ciwych pierwszego rodzaju

p x − 3

x 2 dx

(a)

(d)

p x 5 − 3

(1 + sin x ) dx

x 3

− 1

( e − 2 x + 1) dx

e − x − 1

(b)

(e)

−1

xdx

sin 2 1

(c)

3 p

(f)

x 7 + 1

Zadanie 10.3

Obliczy¢ pole obszaru D ograniczonego podanymi krzywymi

(a) y = 2 x − x 2 ,x + y = 0

(b) yx 4 = 1 ,y = 1 ,y = 16

Zadanie 10.4

Obliczy¢ długo±¢ podanej krzywej

(a) : y = 2

x 3 , 0 ¬ x ¬ 11

(b) : y = e x , ln 2

2 ¬ x ¬ ln 3

Zadanie 10.5

Obliczy¢ obj¦to±¢ bryły V powstałej przez obrót podanej ﬁgury D wokół wskazanej osi

(a) D : 0 ¬ x ¬ 2 , 0 ¬ y ¬ 2 x − x 2 wokół osi Ox

(b) D : 0 ¬ x ¬ p

5 , 0 ¬ y ¬

x 2 + 4 wokół osi Oy

Zadanie 10.6

Obliczy¢ pole powierzchni powstałej przez obrót podanej krzywej wokół wskazanej osi

(a) : − 3 ¬ x ¬ 2 ,y = p 4 + x wokół osi Ox

(b) : 0 ¬ x ¬ 1 ,y = x 2 + 1 wokół osi Oy

Lista11.

Zadanie 11.1

Korzystaj¡c z kryterium całkowego zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów

(a)

n 2 + n

n =1

(b)

n 2 + 4

n =1

(c)

ln n

n 2

n =2

Zadanie 11.2

Korzystaj¡c z kryterium porównawczego (punkty (a), (b), (c)) lub ilorazowego (pozostałe punkty)

zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów

(a)

n 2 + 2

(d)

n 2 + n + 1

2 n 3 − 1

n =1

(b)

2 n + sin( n !)

3 n

(e)

2 n − 1

3 n − 1

n =0

n =1

(c)

3 − 2 cos( n 2 )

p n

(f)

arctg

n 2

n =1

Zadanie 11.3

Korzystaj¡c z kryterium d’Alemberta (punkty (a), (b), (c)) lub Cauchy’ego (pozostałe punkty) zba-

da¢ zbie»no±¢ podanych szeregów

(a)

n n

3 n n !

(d)

2 n + 3 n

3 n + 4 n

n =1

(b)

2 n + 1

n 5 + 1

(e)

3 n n n 2

( n + 1) n 2

n =1

(c)

n 2 sin

2 n

(f)

n p

2 − 1 n

n =1

n =2

Zadanie 11.4

Korzystaj¡c z kryterium Leibniza uzasadni¢ zbie»no±¢ podanych szeregów

(a)

( − 1) n n

n 2 + 1

n =2

(b)

( − 1) n n p

3 − 1

n =2

(c)

( − 1) n +1

2 n + 1

n =1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: