listy_zadan_1-7 i odp.pdf

AnalizaMatematycznaMAEW101

WydziałElektroniki

Listyzada«nr1-7(cz¦±¢I)

na podstawie skryptów:

M.Gewert,ZSkoczylas,AnalizaMatematyczna1.Przykładyizadania,

GiS,Wrocław2005

M.Gewert,ZSkoczylas,AnalizaMatematyczna2.Przykładyizadania,

GiS,Wrocław2006

Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz

Lista1.

Zadanie 1.1

Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic oraz o granicach niewła±ciwych ci¡gów obliczy¢ podane

granice

n 3 +2 n 2 +1

n − 3 n 3

3 · 5 n +2 n +3

5 n − 4 n

(a) lim

n !1

(f) lim

n !1

3 p

( n 20 +2) 3

( n 3 +1) 20

8 n +1 +3

2 n +1

(b) lim

n !1

(g) lim

n !1

n 3 +1

n !1 ( n 4 − 3 n 3 − 2 n 2 − 1)

n !1

3 p n 5 +1+1

n +1

2 n

n 2 +4 n +1 − p

(i) lim

n !1

(d) lim

n 2 +2 n )

n !1 ( 4 p n 4 +16 − n )

(j) lim

n !1

1 − ( n +1)!

n !+2

Zadanie 1.2

Korzystaj¡c z twierdze« o trzech i o dwóch ci¡gach znale¹¢ podane granice

2 n +3 n

5 n +4 n

2 n +( − 1) n

3 n +2

(a) lim

n !1

(d) lim

n !1

(b) lim

n !1

n p n 2 n +1

n !1 (sin n ! − 2) n 2

@ 1

n 3 +1 + 1

n 3 +2 + ... + 1

1 k + 1

2 k + ... + 1

n !1

3 p

(f) lim

n !1

j p

b p n c

n 3 + n

Zadanie 1.3

Korzystaj¡c z deﬁnicji liczby e obliczy¢ podane granice

5 n +2

5 n +1

15 n

(a) lim

n !1

3 n

3 n +1

(b) lim

n !1

n 2

n 2 +2

! n 2

n !1

(h) lim

n !1 (

(e) lim

Lista2.

Zadanie 2.1

Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic oraz o granicach niewła±ciwych funkcji obliczy¢ podane

granice

p x − 2 − 2

x − 6

(a) lim

x !1

x 2 − 5 x +4

x ( x − 5)

(f) lim

x ! 6

tg 2 x +1

tg 2 x +5

(b) lim

x !1

2 x +1

3 x +2

(g) lim

x ! 2 −

(h) lim

x 2 +2 − x )

x 3 − 1

x 4 − 1

x ! 1

x !−1 (4 x 4 − 3 x 3 +2 x 2 − x +1)

3 p x − 4

(d) lim

x ! 64

p x − 8

x 2 − 1

(j) lim

x ! 0

p 1+ x − p 1 − x

2 x

(e) lim

x ! 0

(k) lim

x !− 1

3 x +2

x 2 +2 x +1

Zadanie 2.2

Korzystaj¡c z twierdze« o trzech i o dwóch funkcjach uzasadni¢ podane równo±ci:

(a) lim

x !1

2+sin x

x 2 =0

x ! 0 x 2 1

(b) lim

x !−1

2 − x +sin x

2 − x +cos x =1

(e) lim

x !1

b x 2 +1 c

b x c = 1

x ! 0+

p x cos

x 2

(f) lim

x ! 0 −

3 − cos

x 3 = −1

Zadanie 2.3

Korzystaj¡c z granic podstawowych wyra»e« nieoznaczonych obliczy¢ podane granice funkcji

(a) lim

x ! 0

sin 2 (3 x )

x 2

x ! 0+

2 x − 1

ln(1+2 x )

3 · 2 x

(b) lim

x ! 0

e 3 x − 1

sin(2 x )

(d) lim

x !−1

x ! 0 (1+sin x ) 1 / (3 x )

Zadanie 2.4

Obliczaj¡c granice jednostronne zbada¢, czy istniej¡ podane granice funkcji

(a) lim

x ! 2

x 2 − 4

| x − 2 |

x ! 0 2 1 x 3

x ! 3

x 2

x − 3

Zadanie 2.5

Uzasadni¢, »e podane granice nie istniej¡

1 p x

x !1 e x cos x

x ! 0+ sin

x !1 (

(i) lim

(d) lim

p x − 1

(e) lim

(b) lim

(a) lim

(b) lim

Lista3.

Zadanie 3.1

Znale¹¢ asymptoty pionowe i uko±ne podanych funkcji

(a) f ( x )= x 3 + x 2

x 2 − 4

(b) f ( x )= sin x

x −

p 9 − x 2

Zadanie 3.2

Zbada¢ ci¡gło±¢ podanej funkcji we wskazanym punkcie, przy czym w przypadku nieci¡gło±ci okre±li¢

jej rodzaj:

x cos

dla x < 0

e 1 x +2

e 1 x +1 dla x 6 =0

e dla x =0 ,

0 dla x =0

p x sin

(a) f ( x )=

1 p x

dla x > 0

x 0 =0

| x | + x

x 2 dla x 6 =0

0 dla x =0

(b) f ( x )=

x 2 − 1

p x − 1 dla x 2 (0 , 1) [ (1 , 1 )

3 dla x =1

(d) f ( x )=

x 0 =0

x 0 =1

Zadanie 3.3

Dobra¢ parametry a , b 2 R tak, aby podana funkcja była ci¡gła w obu wskazanych punktach:

2 dla x ¬ 0

a x + b dla0 < x < 1 ,

3 dla x 1

(a) f ( x )=

x 1 =0oraz w x 2 =1

(b) f ( x )=

( x 2 + ax + b dla | x | < 2

x p x 2 − 4dla | x | 2 ,

x 1 = − 2oraz w x 2 =2

Zadanie 3.4

Korzystaj¡c z twierdzenia Darboux uzasadni¢, »e podane równanie ma jednoznaczne rozwi¡zanie we

wskazanym przedziale. W punkcie (c) wyznaczy¢ to rozwi¡zanie z dokładno±ci¡ 0,125.

(a) x 3 +6 x − 2=0,(0 , 1)

(b)1= sin x

0 ,

2 + x ,

Lista4.

Zadanie 4.1

Korzystaj¡c z deﬁnicji zbada¢, czy istnieje pochodna wła±ciwa lub niewła±ciwa podanej funkcji we

wskazanym punkcie

(a) f ( x )= | x | sin x , x 0 =0

( x 2 dla x ¬ 2

2 x dla x > 2 , , x 0 =2

(d) f ( x )=

| sin x | , x 0 =0

Zadanie 4.2

Korzystaj¡c z reguł ró»niczkowania obliczy¢ pochodne podanych funkcji

(a) f ( x )=

x 3 + 1

x 2

e x

(e) f ( x )=(1+ 4 p x )tg( p x )

(b) f ( x )= sin x

x 4 +4

arcsin( x 2 )

(f) f ( x )= 2 sin 2 x

3 cos 2 x

(g) f ( x )= x tg x

(h) f ( x )= x p x

(d) f ( x )= arctg x

3 x

Zadanie 4.3

Korzystaj¡c z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczy¢

(a)( f − 1 ) 0 ( e +1)dla f ( x )= x +ln x

(b)( f − 1 ) 0 (4)dla f ( x )= x 3 +3 x

Zadanie 4.4

Obliczy¢ f 0 ( x ), f 00 ( x ), f 000 ( x )dla podanej funkcji f ( x )

(a) f ( x )= x 3 − 2

(b) f ( x )= x sin x

(d) f ( x )=sin 3 x +cos 3 x

Zadanie 4.5

Napisa¢ równanie stycznej do wykresu podanej funkcji we wskazanym punkcie

(a) f ( x )= p 2 x +1,(3 ,f (3))

(b) f ( x )= 2 x

1+ x 2 ,( p 2 ,f ( p 2))

(b) f ( x )=

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: