z1_11.doc

Wprowadzenie do systemów telekomunikacyjnych

Seminarium Z1/11

Dominik Swałdek

III rok E/T spec Tel.                                                                                                  Prowadzący

Nr ind. 88587                                                                                                                dr inż.  W. J. Krzysztofik

Trać zadania:

Określić całkowitą energię znormalizowaną oraz transformatę Fouriera impulsu ekspotencjalnego.

Impuls ten doprowadzono do wejścia filtru górno przepustowego. Określić funkcję widmową gęstości energii na wyjściu filtra oraz wykazać, że jeśli  a=1/RC, to całkowita energia znormalizowana f(wy) jest równa połowie dostarczonej.

I.                 Teoria:

·        Transformata Fouriera

·        Moc, gęstość widmowa energii

Niech funkcja f(t) będzie sygnałem wejściowym na filtrze RC, zaś funkcja g(t) będzie sygnałem wyjściowym, wtedy:

Na podstawie twierdzenie Parsevala całkowita energia dostarczona (funkcji f(t)) może być wyrażona jako:

(1.1)
 

Można zdefiniować nową zmienną podcałkową yf zwaną gęstością widmową sygnału wejściowego funkcji f(t), zatem:

Energia zaś sygnału wyjściowego (funkcji f(g)) wynosi:

Wykonując identyczne podstawienie jak we wzorze (1.1) otrzymujemy wzór na gęstość widmową sygnału wyjściowego.

Wykorzystując właściwości splotu możemy transformatę Fouriera G(w) zapisać wzorem:

G(w) = F(w)*H(w)                            , gdzie H(w) to transmitancja czwórnika RC

Z tego wynika, że:

W celu udowodnienia zależności energii wejściowej do wyjściowej dla stałej a=1/RC należy sprawdzić czy zachodzi poniższa równość.

W zadaniu wykorzystuję następujące wzory matematyczne:

II.             Rozwiązanie:

·        Wyznaczam transformatę Fouriera dla impulsu wykładniczego
f(t)=exp(-at) dla t0

·        Wyznaczam całkowitą energię sygnału wejściowego f(t).

Jeżeli               ,              to              

Z czego wynika, że funkcja f(t) jest sygnałem o skończonej energii, możemy, zatem wyznaczyć gęstość widmową energii sygnału wyjściowego.

· Wyznaczam gęstość widmową sygnału wejściowego.

Jeżeli ,                            to             

· Wyznaczam transmitancję czwórnika RC.

· Wyznaczam gęstość widmową sygnału wyjściowego g(t):

· Wyznaczam całkowitą energię znormalizowaną sygnału wyjściowego g(t):

Rozwiązuję otrzymane całki:

Zatem powracając do naszego wyrażenia otrzymujemy:

· Udowadniam, że dla a=1/RC całkowita energia znormalizowana sygnału wyjściowego jest równa połowie energii dostarczonej.

IV.              Wnioski

Dzięki odpowiedniemu dobraniu stałej a czyli 1/RC  sprawność czwórnika pasywnego wynosi 50%.