Zadania - podstawy.pdf

(101 KB) Pobierz
747336333 UNPDF
Zadanie1
Funkcjarozk“aduprawdopodobie«stwadyskretnejzmiennejlosowejXokre-
–lonajestnastƒpuj¡co:
x i 5 3 1 2 4
p i 1 9 2 9 1 6 1 3 1 6
a).obliczP(X < 0),P(3 X < 2),P(X 2)
b).obliczwarto–¢oczekiwan¡EX
c).obliczwariancjƒV arXorazodchyleniestatndardowe
Rozwi¡zanie
a).Obliczamyprawdopodobie«stwawnastƒpuj¡cyspos ó b:
P(X < 0) = P((X = 5) _ (X = 3)) = P(X = 5) + P(X = 3)
3 ;
P(3 X < 2) = P(X = 3) + P(X = 1) =
=
9 + 2
= 1
9
9 + 1
7
18 ;
=
6
P(X 3) = P(X = 4) = 1
6 :
b).Obliczamywarto–¢oczekiwan¡zewzoruEX = x i p i .
EX = 5 1
9 + (3) 2
9 + (1) 1
6 + 2 1
3 + 4 1
6
=
5
18
c).ObliczymyV arXkorzystaj¡czewzoruV arX = EX 2 (EX) 2 . EX
zosta“oobliczonewpoprzednimpunkcie,brakujenamwarto–ci EX 2 .
EX 2 = x 2 i p i = (5) 2 1
9 + (3) 2 2
9 + (1) 2 1
6 + 2 2 1
3 + 4 2 1
6
=
161
18 :
Podstawiamyobliczonewarto–cidowzorunaV arXiotrzymujemy
161
18
5
18
2
2873
324 :
V arX =
=
1
1
2
747336333.005.png 747336333.006.png
 
Odchyleniestandardowejestr ó wne
=
p
V arX =
p 2873
18
:
Zadanie2
Dystrybuantarozk“aduprawdopodobie«stwadyskretnejzmiennejlosowejX
okre–lonajestnastƒpuj¡co:
8
<
0; x 2 (1;5]
1 = 6 ; x 2 (5;3]
2 = 6 ; x 2 (3;1]
3 = 6 ; x 2 (1; 2]
5 = 6 ; x 2 (2; 4]
1; x 2 (4;1)
F(x) =
:
ObliczP(X < 2),P(6 X < 3),P(X 2).
Rozwi¡zanie
Korzystamyzewzor ó w
P(X < a) = F(a); P(a X < b) = F(b) F(a):
Azatem
6 ;
P(6 X < 3) = F(3) F(6) =
P(X < 2) = F(2) = 1
6 ;
P(X 3) = 1 P(X < 3) = 1 F(3) = 1 5
6
6 0 = 5
1
6 :
=
2
5
747336333.007.png
Zadanie3
Funkcjagƒsto–cirozk“aduprawdopodobie«stwaci¡g“ejzmiennejlosowej X
okre–lonajestwzorem
f(x) =
0; 6 + 0; 3x 0; 3x 2 ; x 2 [0; 2]
0;
x 2 [0; 2]
a).obliczP(X < 1),P(0; 5 < X < 1),P(1 X < 3),P(X > 0; 5)
b).obliczEX,V arXoraz
Rozwi¡zanie
a).Korzystamyzewzor ó w
Z a
Z b
P(X < a) = P(X a) =
f(x)dx; P(a < X < b) = P(a X b) =
f(x)dx:
1
a
Azatem
Z 1
Z 0
Z 1
P(X < 1) =
f(x)dx =
0dx +
(0; 6 + 0; 3x 0; 3x 2 )dx =
1
1
0
= 0 + (0; 6x + 0; 3 x 2
2 0; 3 x 3
3
)
1
0 = 0; 6 + 0; 15 0; 1 0 = 0; 65
Z 1
Z 1
P(0; 5 < X < 1) =
f(x)dx =
(0; 6 + 0; 3x 0; 3x 2 )dx =
0 ; 5
0 ; 5
= (0; 6x + 0; 3 x 2
1
0 ; 5 = 0; 6 + 0; 15 0; 1 +
(0; 3 + 0; 0375 0; 0125) = 0; 65 0; 025 = 0; 625
2 0; 3 x 3
3
)
Z 3
Z 2
Z 3
P(1 X < 3) =
f(x)dx =
(0; 6 + 0; 3x 0; 3x 2 )dx +
0dx =
1
1
)
2
= (0; 6x + 0; 3 x 2
2
1 + 0 = 1; 2 + 0; 6 0; 8 +
(0; 6 + 0; 15 0; 1) = 1 0; 65 = 0; 35
2 0; 3 x 3
3
Z 1
P(X > 1) = 1 P(X 1) = 1
f(x)dx = 1 0; 65 = 0; 35
1
3
b).Korzystamyzewzor ó w
Z 1
EX =
xf(x)dx;
1
V arX = EX 2 (EX) 2 ;
Z 1
EX 2 =
x 2 f(x)dx;
p
1
=
V arX:
Azatemwarto–¢oczekiwanawynosi
Z 1
Z 0
Z 2
EX =
xf(x)dx =
x 0dx +
x 0; 3(2 + xx 2 )dx +
1
Z 1
1
Z 2
0
+
x 0dx = 0 + 0; 3
(2x + x 2 x 3 )dx + 0 =
2
)
0
= 0; 3(x 2 + x 3
3 x 4
0 = 0; 3(4 + 8
3 4) =
10 8
=
8
10
= 0; 8:
4
3
Wceluobliczeniawariancjimusimyobliczy¢
Z 1
Z 0
Z 2
EX 2 =
x 2 f(x)dx =
x 2 0dx +
x 2 0; 3(2 + xx 2 )dx
1
Z 1
1
Z 2
0
+
x 2 0dx = 0 + 0; 3
(2x 2 + x 3 x 4 )dx + 0 =
2
0
= 0; 3( 2x 3
3
4 x 5
)
0 = 0; 3( 16
+ 4 32
5
) =
10 44
=
22
25
= 0; 88:
5
3
15
Podstawiamyuzyskanewynikidowzorunawariancjƒ
V arX = EX 2 (EX) 2 = 0; 88 (0; 8) 2 = 0; 88 0; 64 = 0; 24:
Obliczamyodchyleniestandardowe
=
p
V arX = p 0; 24:
4
3
2
+ x 4
3
2
747336333.001.png 747336333.002.png 747336333.003.png 747336333.004.png
Zadanie4
Dystrybuantaci¡g“ejzmiennejlosowejXokre–lonajestwzorem:
8
<
0; x 2 (1;1]
3 + 1 3 ; x 2 (1; 2]
1; x 2 (2;1)
a).obliczP(X < 1),P(0; 5 < X < 1),P(1; 5 X < 3),P(X > 0)
F(x) =
x
:
b).wyznaczkwantylrzƒdu 1 = 3 orazmedianƒ
Rozwi¡zanie
a).Korzystamyzewzor ó w
P(X < a) = P(X a) = F(a); P(a < X < b) = P(a X b) = F(b)F(a):
Azatem
P(X < 1) = F(1) =
3 + 1
=
2
3
3
3 + 1
3 ( 1
6 + 1
1
6
P(0; 5 < X < 1) = F(1) F(0; 5) =
3 ) =
P(1; 5 X < 3) = F(3) F(1; 5) = 1 ( 1
2 + 1
3 ) = 1
3
P(X > 0) = 1 P(X 0) = 1 F(0) = 1 1
3
2
3
=
b).Wyznaczamykwantylx p rzƒduprozwi¡zuj¡cr ó wnanie
F(x p ) = p:
Azatem
F(x 1 = 3 ) =
1
3
x 1 = 3
3
+ 1
3
1
3
=
x 1 = 3
3 = 0
x 1 = 3 = 0
5
1
1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin