WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE:
Jest to uogólnienie wyników otrzymanych w próbie na populacje generalną.
ESTYMACJA – próba losowa prosta
x – zmienna losowa określona w populacji generalnej
DEFINICJA 1: (x1, x2, ..., xn)
xi – zmienne niezależne, mają ten sam rozkład co zmienna losowa x
(x1, x2, ..., xn)® (x1, x2, ..., xn) – realizuje próby losowej prostej
DEFINICJA 2: przestrzeń prób
KI={(x1, x2, ..., xn)} i = 1, 2, ..., n
DEFINICJA 3:
Statystyką nazywamy funkcje określoną na próbie losowej prostej.
U = f(x1, x2, ..., xn)
U – statystyka z próby
np. (x1, x2, ..., xn)
U = f(x1, x2, ..., xn) = xi
UWAGA:
Rozkład statystyk z próby zależy od:
§ rozkładu zmiennej losowej
§ liczebności z próby
PRZYKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK:
1. Rozkład średniej arytmetycznej z próby:
a). x: N(m,s)
(x1, x2, ..., xn) – próba losowa prosta
m x
statystyka
b). s - nieznane
ma rozkład studenta o (n-1) stopniach swobody
S – odchylenie standardowe z próby losowej prostej
(n ®a) Þ Tn-1 » N(0,1)
2. Rozkład wariancji z próby:
x: N(m,s)
statystyka ma rozkład
WNIOSEK:
n > 30
ESTYMACJA – szacowanie parametrów lub rozkłądów populacji generalnej na podstawie wyników zaobserwowanych w próbie
§ estymacja parametryczna (określenie parametrów rozkładu)
§ estymacja nieparametryczna (typ funkcji gestości lub funkcji rozkłądu prawdopod. określ.)
ESTYMACJA PARAMETRYCZNA:
§ estymacja punktowa polega na oszacowaniu parametru podając jego wartość
§ estymacja przedziałowa podaje przedział, w którym ten parametr się znajduje
Estymatorem parametru Q nazywamy statystykę
zn = f(x1, x2, ..., xn), której rozkład zależy od szacowanego parametru.
Estymator jest zmienną losową.
Rozkład zn zalezy od szacowanego parametru.
zn = f(x1, x2, ..., xn) – ocena parametru Q
Wartość estymatora dla dowolnego elementu przestrzeni prób jest to ocena param. Q.
d = zn – Q – błąd estymatora
D = E(zn – Q)2 – miara błędu estymatora
Ezn = 0 Þ D = D2zn
Dzn – średni błąd szacunku param. Q
WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW:
§ nieobciążność
§ zgodność
§ efektywność
§ dostateczność
Estymator param. Q jest nieobciążony jeśli Ezn = Q
Ezn – Q = s (2n) s (2n) – obciążoność estymatora
PRZYKŁAD 1:
x – zmienna losowa o nieznanym rozkładzie
Q = EX
zn :
zn = xi EXi = EX
PRZYKŁAD 2: (wariancja estymatora)
D2X = Q
S2 =
DEFINICJA 1:
- estymator asymptotycznie nieobciążony
DEFINICJA 2:
Estymator param. Q jest zgodny jeśli: ;
e - dowolne
Jeżeli zn jest estymatorem zgodnym to jest estymatorem nieobciążonym. Jeżeli zn jest nieobciążony i to zn jest estymatorem zgodnym
EFEKTYWNOŚĆ:
Niech {zn1, zn2, ..., znk}; Ezni = Q
l = 1, ..., k
Estymator zn* spełniający warunek: min{D2(znl)} = D2(zn*) ; 1 £ i k
zn* - najefektywniejszy estymator param. Q
NIERÓWNOŚĆ RAO – GAMERA:
f – funkcja gęstości zm. los. x
efektywność zni
e (.) Î (0,1>
zn asymptotycznie najefektywniejszy
Zn - dostateczna, jeżeli zawiera wszystkie informacje dotyczące parametru Q wystepującego w próbie losowej prostej
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA:
Przedziałem ufności param.Q nazywamy przedział spełniający nastepujący warunek:
P{g1(zn) < Q < g2(zn)} = 1- a
[g1(zn) ; g2(zn)] – przedział ufności
1 - a - współczynnik ufności
(1 - a = 0,90 Ú 0,95 Ú 0,99)
Przedział ufności dla średniej w populacji normalnej.
A: x: N(m,s) m=? s - znane
1 - a - zadany
Zn:
P{-za < z < za} = 1 - a
f(x)
1 - a
- za za z
() – przedział ufności dla EX
(x1, x2, ..., xn) Î kl Þ
- liczbowy przedział ufności
f(x) xn
xn
WZGLĄDNA PRECYZJA SZACUNKU:
5%< £ 10% - uogólnianie wyników z próby na populacje; dobrac ostroznie
> 10% - nie przeprowadzać uogólnień
aisza24