6_czerwca_Zmienna-losowa.pdf
(
355 KB
)
Pobierz
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Zmienna losowa
Rozkłady zmiennych losowych
Joanna Konieczna-Sa
ł
amatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Podstawowe pojęcia – PRZESTRZEŃ PROBABILISTYCZNA
Przestrzeń probabilistyczna składa się z trzech elementów:
1. Zbiór wyników doświadczenia losowego (
przestrzeń zdarzeń elementarnych
)
Ω
= {
ω
1
,
ω
2
,
ω
3
, …,
ω
n
}
2. Zbiór
S
– ciało (zbiór) zdarzeń losowych. Zdarzenia losowe są zbiorami zdarzeń
elementarnych (czyli podzbiorami zbioru
Ω
).
3. Funkcja
P
, nazywana zwykle
prawdopodobieństwem
, która
zdarzeniom losowym
przypisuje liczby interpretowane zwykle jako
prawdopodobieństwo
.
Obiekty
Ω
, S
i
P
muszą spełniać warunki, określone przez aksjomaty rachunku
prawdopodobieństwa (patrz wykład nr 1).
Joanna Konieczna-Sa
ł
amatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Zmienna losowa
Funkcję, która każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowuje liczbę
rzeczywistą nazywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ
Przy czym dla każdej liczby rzeczywistej
r
muszą być spełnione warunki:
{
ω
:
X
(
ω
)
≤
r
}
∈
S
{
ω
:
X
(
ω
) <
r
}
∈
S
Oznacza to, że do zbioru zdarzeń losowych S muszą należeć wszystkie
zdarzenia typu
„zmienna losowa X przyjęła wartość mniejszą lub równą
r
”
oraz
„zmienna losowa
X
przyjęła wartość mniejszą niż
r”
.
Joanna Konieczna-Sa
ł
amatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Przykład
Rozpatrzmy następującą przestrzeń probabilistyczną:
Ω
= {a, b, c}
S
={{
a
}
,
{
b
,
c
},
∅
,
Ω
}
P
({
a
})= ½
P
({
b, c
})= ½
oraz następujące funkcje
X
(
ω
) i
Y
(
ω
) określone na przestrzeni
Ω
:
X
(
a
)=1
X
(
b
)=2
X
(
c
)=3
Y
(
a
)=1
Y
(
b
)=3
Y
(
c
)=3
Czy funkcje
X
i
Y
są zmiennymi losowymi?
Sprawdźmy dla
r
=2. Zbiór, który wyznacza
X
(
ω
)
≤
2 to zbiór {
a
,
b
}. Jak widać,
nie należy on do
S
. Funkcja X
NIE JEST ZMIENNĄ LOSOWĄ
Natomiast
Y
JEST ZMIENNĄ LOSOWĄ
, bo dla dowolnej wartości
r
, zbiorami,
które może wyznaczyć funkcja zdaniowa
Y
(
ω
)
≤
r
mogą być jedynie zbiory:
∅
,
gdy
r
< 1, {
a
}, gdy 1
≤
r
< 3 lub {
a
,
b
,
c
}=
Ω
, kiedy
r
≥
3 – a wszystkie te zbiory
należą do
S
.
Joanna Konieczna-Sa
ł
amatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Dystrybuanta zmiennej losowej
Rozważmy eksperyment polegający na serii trzech rzutów rzetelną monetą.
Zmienna losowa X jest zdefiniowana jako „liczba wyrzuconych orłów”. Zmienna
ta może przyjąć wartości ze zbioru: {0, 1, 2, 3}
Prawdopodobieństwa uzyskania każdej z tych wartości wyznaczamy
korzystając z tzw. schematu Bernoulliego.
Prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w serii n prób oblicza się ze
wzoru:
n
k
n
−
k
P
(
X
=
k
)
=
p
(
−
p
)
k
Joanna Konieczna-Sa
ł
amatin
Plik z chomika:
ccsocjologia
Inne pliki z tego folderu:
statystyka+egz+z+12.02.2011+-+rozwiazania.doc
(303 KB)
Zadanie.pdf
(826 KB)
egz-CC-2011-06-25(SdS).pdf
(674 KB)
wykład 1.docx
(13 KB)
TEST_egz-stat-dla-soc-rozw1.pdf
(345 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin