Matematyka dyskretna - Zadania.pdf
(
107 KB
)
Pobierz
185316242 UNPDF
MATEMATYKADYSKRETNA1,studiadzienne,listazada«1
1.Okre±li¢warto±¢logiczn¡zda«zło»onych:
a)Liczba4jestdodatnialubliczba4jestujemna.
b)Liczba4jestdodatniailiczba4jestujemna.
c)Je±li4jestpodzielneprzez2to8jestpodzielneprzez2.
d)Je±li4jestpodzielneprzez3to6jestpodzielneprzez3.
e)Je±li6jestpodzielneprzez3to4jestpodzielneprzez3.
2.Niechwaluacjazda«
p,q,r,t
b¦dzienast¦puj¡ca:1,0,0,1.Znale¹¢warto±¢
logiczn¡ka»degoznast¦puj¡cychzda«:
a)(
p
_
q
)
_
r
; b)
q
)
(
p
^
r
);
c)
q
)
(
p
)
r
); d)
p
_
q
,
q
^¬
t
;
e)(
p
,
t
)
)
(
¬
p
,
t
); f)(
q
^¬
t
)
)
(
p
,
t
);
h)(
p
_¬
q
)
_
r
)
(
t
^¬
t
).
3.Wiadomo,»ezdanie(
p
)
q
)jestfałszywe.Podajwarto±¢logiczn¡
zda«:
a)
p
^
q
, b)
p
^
(
¬
q
)
c)
p
_
q
, d)
q
)
p.
4.Wiadomo,»ezdanie(
p
^
q
)
)
r
jestfałszywe.Podajwarto±¢logiczn¡
zda«:
a)(
p
_
q
)
)
r
, b)(
p
)
q
)
)
r
,
c)(
p
^
r
)
)
q
, d)
p
)
(
q
_
r
).
5.Podajzaprzeczeniazda«:
a)Produktprzechowywa¢wtemperaturze15-25
o
C.
b)Bezpłatnyprzejazdprzysługujeosobompowy»ej75roku»yciaimieszka«com
Polkowic.
c)Obni»kao10%przysługujenawydawnistwaPWNlubWNT.
d)Nabaga»,któregoprzynajmniejjedenwymiarprzekracza50cmnale»y
wykupi¢biletbaga»owy.
6.Niechzdanie
p
oznacza"jestemwswetrze",
q
-"jestemwd»insach,"
r
-"jestemwadidasach".Przeczyta¢nast¦puj¡cezdaniaorazichzaprzeczenia
(wykorzysta¢prawadeMorgana):
a)
p
_
q
; b)
p
_
q
_
(
¬
r
);
c)
p
^
q
; d)(
¬
p
)
^
q
^
r
;
1
7.Dlanast¦puj¡cychzda«sprawdzi¢:czyinformacja,»ezdanie
p
ma
warto±¢logiczn¡0wystarczydowyznaczeniawarto±cilogicznejpodanych
zda«zło»onych.Je±litak,towyliczy¢t¦warto±¢;je±linietopokaza¢,»eobie
warto±cis¡mo»liwe:
a)(
p
)
q
)
)
r
; b)
p
^
(
q
)
r
);
c)
¬
(
p
_
q
)
,¬
p
^¬
q
; d)(
p
^
q
)
)
(
p
_
r
)
e)(
p
^¬
p
)
)
q
; f)
p
)
(
q
)
p
).
8.Uzasadni¢nast¦puj¡ceprawalogiczne:
a)[
p
^
(
q
_
r
)]
,
[(
p
^
q
)
_
(
p
^
r
)] (rozdzielno±¢koniunkcjiwzgl¦dem
alternatywy);
b)[
p
_
(
q
^
r
)]
,
[(
p
_
q
)
^
(
p
_
r
)];(jaknazywasi¦toprawo?)
c)[(
p
)
q
)
^
(
q
)
r
)]
)
(
p
)
r
);(przechodnio±¢);
d)(
p
)
q
)
,
[(
¬
q
)
)
(
¬
p
)](prawokontrapozycji);
e)[
p
^
(
p
)
q
)]
)
q
;(regułaodrywania)
f)(
p
)
q
)
,
(
¬
p
_
q
)
,
[
¬
(
p
^¬
q
)]
.
g)[(
p
^
q
)
)
r
]
,
[
p
)
(
q
)
r
)]
h)[(
p
)
q
)
^
(
q
)
r
)]
)
[
p
)
(
q
^
r
))]
.
i)((
¬
p
)
)
p
)
)
p
.
9.Niech
P
(
x
)oznacza"
x
jestpolitykiem",a
Q
(
x
)oznacza-"
x
jest
muzykalny".
Zapisa¢zwykorzystaniemkwantyfikatorówirachunkuzda«nast¦puj¡cezdania:
a)Niektórzypolitycys¡muzykalni.
b)Niektórzypolitycynies¡muzykalni.
c)Wszyscypolitycys¡muzykalni.
d)adenpolitykniejestmuzykalny.
e)Tylkopolitycys¡muzykalni.
f)Nietylkopolitycys¡muzykalni.
10.Wykorzystuj¡ckresk¦Scheera(
p
|
q
,¬
(
p
^
q
))zapisa¢nast¦puj¡ce
operacje:
¬
p
,
p
_
q
,
p
^
q
,
p
)
q
.
LISTAZADA2
1.Zapisa¢zwykorzystaniemkwantyfikatorówisymboliorazpoda¢zaprzeczenia:
a)S¡liczbynaturalnepodzielneprzez5ipodzielneprzez4.
b)Pot¦gastopniaparzystegodowolnejliczbyrzeczywistejjestliczb¡nieujemn¡.
2.Korzystaj¡czprawdeMorganadlakwantyfikatorówprzekształci¢
wyra»enia::
2
a)
¬
(
8
x
x
2
>x
);
b)
¬
(
9
x
sin
x>
1+
x
2
);
c)
¬
(
9
x
tg
x<x
_
x>
0);
d)
8
x
¬
(1
<x
2
<
5);
e)
9
x
¬
(
x>
0
_
sin
x<x
)
.
3.Poda¢przykłady,»eniezachodz¡nast¦puj¡ceimplikacje:
a)
9
x
p
(
x
)
^9
x
q
(
x
)
)9
x
(
p
(
x
)
^
q
(
x
));
b)
8
x
p
(
x
)
_
q
(
x
)
)8
x
p
(
x
)
_8
x
q
(
x
).
4.Zbada¢prawdziwo±¢zda«;
a)
8
x
8
y
(
x
−
y
)
2
=
x
2
−
y
2
;
b)
9
x
8
y
(
x
−
y
)
2
=
x
2
−
y
2
;
c)
8
x
9
y
(
x
−
y
)
2
=
x
2
−
y
2
;
d)
9
x
9
y
(
x
−
y
)
2
=
x
2
−
y
2
.
5.Czymo»nazmieni¢kolejno±¢kwantyfikatorówwnast¦puj¡cychformach:
a)
8
x
9
y
(
x>y
^
x
2
<y
2
);
b)
9
k
8
a
2
A
(
−
k<a<k
).
6.Poda¢zaprzeczeniaformzzad.5orazform:
a)
9
x
9
y
x
2
+(
y
−
1)
2
=4;
b)
8
x
8
y
(
x
3
>y
3
_
y>x
).
7.Wnast¦puj¡cymtwierdzeniu:"Je±liliczbanauralnajestpodzielna
przez15tojestpodzielnaprzez5":
a)poda¢warunekwystarczajacypodzielno±ciprzez5;
b)poda¢warunekkoniecznypodzielno±ciprzez15;?
c)czyprawdziwejesttwierdzenieodwrotne?
8.Odpowiedzie¢napytaniajakwzad.13dlatwiedzenia"Je±liwielomian
stopniadrugiegomadwaró»nepierwiastkitojegowyró»nikjestdodatni."
9.Przeprowadzi¢dowodytwierdze«iwskaza¢metod¦dowodzenia:
a)Je±liliczbanaturalnajestpodzielnaprzez12tojestpodzielnaprzez3.
b)Je±likwadratliczbynaturalnejjestliczb¡parzyst¡toliczbatajestparzysta.
LISTAZADA3
1.Wyznaczy¢dopełnienie,sum¦,iloczyn,ró»nic¦,ró»nic¦symetryczn¡
zbiorów
A
oraz
B
je±li:
3
a)
A
=[0
,
3],
B
=(1
,
4),
b)
A
=(1
,
3],
B
=(
−1
,
5)
c)
A
=
{
n
2
N
:3
|
n
}
,
B
=
{
n
2
N
:2
|
n
}
,
d)
A
=
{
(
x,y
):
x
+
y<
0
}
,
B
=
{
(
x,y
):
y>x
2
−
1
}
.
2.Pokaza¢,korzystaj¡czdiagramówVienna,»ezachodz¡nast¦puj¡ce
własno±ci:
a)
A
[
(
B
[
C
)=(
A
[
B
)
[
C
,
b)
A
[
(
B
\
C
)=(
A
[
B
)
\
(
A
[
C
),
c)(
A
−
B
)
−
C
=
A
−
(
B
[
C
),
3.Ud
ow
od
nij
l
ubpoka»kontrprzykład:
a)
A
[
B
=
A
\
B
,
b)
A
\
B
=
A
\
B
.
4.Wyznaczy¢zbioryrozwi¡za«iprzedstawi¢wukładziewspółrz¦dnych:
x
+
y
6
=0,
b
−
2
¬
0,
c)
x
2
−
4
y
2
>
0.
5.Przeanalizujponi»szezdania.Wska»te,któres¡prawdziwe.Podaj
kontrprzykładdlafałszywych.
a)
A
\
B
=
A
\
C
implikuje
B
=
C
,
b)
A
[
B
=
A
[
C
implikuje
B
=
C
,
c)(
A
[
B
)
A
\
B
implikuje
A
=
B
.
6.Uzasadni¢,»e
a)(
A
×
B
)
[
(
A
×
C
)=
A
×
(
B
[
C
),
b)(
A
×
B
)
\
(
A
×
C
)=
A
×
(
B
\
C
)
7.Zapomoc¡operacjisumy,iloczynu,ró»nicy,dopełnienianazbiorach
A
=
{
1
,
2
,
6
,
7
,
8
}
,
B
=
{
2
,
3
,
4
,
7
,
8
}
,
C
=
{
4
,
5
,
6
,
7
,
8
}
wyznaczy¢zbiór
D
=
{
4
}
.
LISTAZADA4
1.Niech
{
X
=
a,b,c,d
}
,
Y
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
}
,dlarelacji
R
=
{
(
a,
1)
,
(
b,
2)
,
(
b,
5)
,
(
c,
4)
,
(
d,
3)
}
;
a)okre±li¢obrazyzbiorów
A
=
{
b,c
}
,
B
=
{
c,d
}
,
A
[
B
,
A
\
B
;
4
a)
x
−
y
b)
a
+3
b)okre±licprzeciwobrazyzbiorów
W
=
{
2
,
5
}
,
Z
=
{
1
,
3
,
5
}
,
W
[
Z
,
W
\
Z
;
c)okre±li¢relacj¦odwrotn¡
R
−
1
;
d)czyrelacja
R
jest"na"
e)czyrelacja
R
jestfunkcj¡?
2.Niech
X
=
Y
=R,gdzieRoznaczazbiórliczbrzeczywistych,dla
relacji
R
=
{
(
x,x
2
)
}
a)okre±li¢obrazyzbiorów
A
=(
−1
,
−
2),
B
=(
−
4
,
−
1)
[
(1
,
2],
A
[
B
,
A
\
B
;
b)okre±li¢przeciwobrazyzbiorów
W
=[1
,
4],
Z
=(0
,
1),
U
=(9
,
1
),
W
[
Z
,
W
\
Z
;
c)okre±li¢relacj¦odwrotn¡
R
−
1
;
d)czyrelacja
R
jest"na"
e)czyrelacja
R
jestfunkcj¡?
f)czyrelacja
R
−
1
jestfunkcj¡?
3.Niech
X
=
Y
=R,gdzieRoznaczazbiórliczbrzeczywistych,dla
relacji
R
1
=
{
(
x,x
3
+1)
}
odpowiedzie¢napytaniaoda)dof)podanewzad.2.
4.Okre±li¢zło»enierelacji
R
R
1
oraz
R
1
R
.Czyzło»eniates¡funkcjami?
5.Dlaka»dejzpodanychponi»ejrelacjisprawdzi¢czyjestzwrotna,
symetryczna,przechodnia,słaboantysymetryczna,spójna:
a)
X
=
{
1
,
3
,
6
}
,
R
=
{
(1
,
1)
,
(1
,
3)
,
(1
,
6)
,
(3
,
3)
,
(3
,
1)
,
(3
,
6)
,
(6
,
1)
,
(6
,
3)
,
(6
,
6)
}
;
b)
X
=
{
1
,
3
,
6
}
,
R
=
{
(1
,
1)
,
(1
,
3)
,
(1
,
6)
,
(3
,
6)
,
(6
,
3)
,
(6
,
6)
}
;
c)
X
=R,
xRy
,
x
¬
y
;
d)
X
=Z,gdzieZjestzbioremliczbcałkowitych,
xRx
,
x
−
y
jestpodzielne
przez5;
e)
X
jestzbioremprostych,
xRy
,
x
jestrównoległado
y
;
f)
X
jestzbioremprostych,
xRy
,
x
jestprostopadłado
y
;
g)
X
jestzbioremwszystkichpodzbiorówpewnegozbioru
ARB
,
A
B
.
6.Wskaza¢,którazrelacjiopisanychwprzykładachoda)dog)wzad.5
jestrelacj¡równowa»no±ci.Okre±li¢klasyabstrakcjiwtychrelacjach.
LISTAZADA5
1.Sprawdzi¢,którazrelacjijestcz¦±ciowymporz¡dkiemwzbiorze
X
=
{
a,b,c,d
}
a)
R
=
{
(
a,a
)
,
(
b,b
)
,
(
c,c
)
,
(
d,d
)
,
(
a,c
)
,
(
b,c
)
,
(
c,d
)
,
(
a,d
)
}
;
b)
R
1
=
{
(
a,a
)
,
(
b,b
)
,
(
c,c
)
,
(
d,d
)
,
(
a,b
)
,
(
a,c
)
,
(
a,d
)
,
(
b,d
)
,
(
c,d
)
}
;
5
Plik z chomika:
Ravel25
Inne pliki z tego folderu:
Matematyka dyskretna - Zadania.pdf
(107 KB)
Inne foldery tego chomika:
Algebra
Analiza II
Analiza Matematyczna 1 - Definicje, Twierdzenia, Wzory - Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas
Analiza Matematyczna 1 - Kolokwia i Egzaminy - Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas
Analiza Matematyczna 1 - Przykłady i Zadania - Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin