POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Załóżmy , że funkcja jest określona na pewnym otoczeniu punktu .
Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie odpowiadającym przyrostowi zmiennej niezależnej , gdzie , nazywamy liczbę .
Definicja 1 . Jeżeli funkcja jest określona w pewnym otoczeniu punktu i istnieje granica ilorazu różnicowego
,
to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie i oznaczamy , tzn.
.
Jeżeli istnieje i jest skończona , to funkcję tę nazywamy różniczkowalną w punkcie .
Przykład Niech , . Wtedy mamy :
Zatem .
Geometryczna interpretacja pochodnej : Jeżeli funkcja ma w punkcie pochodną, to prostą o współczynniku kierunkowym przechodzącą przez punkt nazywamy styczną do krzywej w punkcie . Zatem styczna do krzywej w punkcie o odciętej ma równanie
Fizyczna interpretacja pochodnej :
Załóżmy , że punkt porusza się po prostej ( osi liczbowej ) i jego położenie w chwili jest .
Wtedy liczba będąca stosunkiem drogi przebytej przez ten punkt od chwili do chwili do czasu jego przebycia nazywamy średnią prędkością tego punktu w chwili .
Podobnie zakładając , że prędkość punktu poruszającego się po prostej w chwili jest , liczbę wyrażającą stosunek zmiany prędkości tego punktu od chwili do chwili do czasu , w którym ta zmiana nastąpiła , nazywamy średnim przyspieszeniem tego punktu w chwili .
Jest więc jasne , że jeżeli zmiany są coraz mniejsze , to zarówno średnia prędkość i średnie przyspieszenie coraz lepiej oddają rzeczywistą prędkość oraz przyspieszenie danego punktu w chwili .
Jeżeli więc istnieją granice :
oraz ,
to nazywamy je odpowiednio : prędkością chwilową i przyspieszeniem chwilowym w chwili .
Niech oznacza czas ( liczony w sekundach od pewnej chwili początkowej ) , a - ładunek elektryczny ( mierzony w kulombach ) , jaki przepłynął przez dany przekrój przewodu w czasie od chwili początkowej do chwili . Mamy tu funkcję .
Iloraz różnicowy
jest średnim natężeniem prądu w przedziale czasu między chwilami i ,
a granica tego ilorazu przy , czyli pochodna
jest natężeniem prądu w chwili .
Przykład . Napisać równanie stycznej do paraboli w punkcie .
Mamy : , , . Zatem szukana styczna ma postać :
Uwaga . Funkcja różniczkowalna w punkcie jest ciągła w tym punkcie .
Odwrotnie być nie musi (!) , tzn. z ciągłości funkcji w punkcie nie wynika jej różniczkowalność funkcji w tym punkcie .
Istotnie , rozważmy funkcję . Jak wiemy , jest ona ciągła w punkcie .
Z drugiej strony mamy : ,
co oznacza , że funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie .
Twierdzenie 1 . Jeżeli funkcje i mają skończone pochodne w punkcie , to
( 1 ) ,
( 2 ) , gdzie jest pewną stałą ,
( 3 ) ,
( 4 ) , o ile .
Przykłady
1)
= =
= ,
2) ,
3)
= .
Twierdzenie 2 ( O pochodnej funkcji złożonej )
Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie , zaś funkcja ma pochodną w punkcie , to funkcja ma pochodną w punkcie oraz zachodzi wzór
Przykłady :
1) ,
3) ,
4) ,
5) .
POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
Definicja 2 Pochodną właściwą - tego rzędu funkcji w punkcie definiujemy indukcyjnie :
dla , gdzie .
Ponadto przyjmujemy .
1) , , ,
, ,, … , dla .
2) , , , ,… ,
3) , , , ,
, , ,
Ogólnie : ...
chocholzg