3. Pochodne funkcji jednej zmiennej.doc

POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Załóżmy , że funkcja  jest określona na pewnym otoczeniu punktu  .

Ilorazem różnicowym  funkcji    w punkcie    odpowiadającym przyrostowi    zmiennej   niezależnej , gdzie  , nazywamy  liczbę   .

Definicja 1 .   Jeżeli funkcja  jest określona w pewnym otoczeniu punktu  i istnieje granica ilorazu różnicowego

                                ,

to    granicę tę nazywamy pochodną funkcji  w punkcie    i oznaczamy  , tzn.

                            .

Jeżeli  istnieje i jest skończona , to funkcję tę nazywamy różniczkowalną w punkcie  .

Przykład    Niech   ,  .        Wtedy mamy  :  

                                                             .

Zatem  .

Geometryczna interpretacja pochodnej  :  Jeżeli funkcja  ma w punkcie  pochodną, to prostą o współczynniku kierunkowym    przechodzącą przez punkt      nazywamy styczną     do krzywej      w  punkcie    .  Zatem   styczna  do krzywej    w punkcie o odciętej  ma równanie    

  .

Fizyczna interpretacja pochodnej :

Załóżmy , że punkt porusza się po prostej  ( osi liczbowej ) i jego położenie w chwili jest  .

Wtedy liczba     będąca stosunkiem drogi przebytej przez ten punkt od chwili  do chwili    do czasu jego przebycia    nazywamy średnią prędkością tego punktu w chwili  .

Podobnie zakładając , że prędkość punktu poruszającego się po prostej w chwili    jest  , liczbę      wyrażającą stosunek zmiany prędkości tego punktu od chwili  do chwili  do czasu  , w którym ta zmiana nastąpiła , nazywamy średnim przyspieszeniem tego punktu w chwili  .

Jest więc jasne , że jeżeli zmiany    są coraz mniejsze , to zarówno średnia prędkość i średnie przyspieszenie coraz lepiej oddają rzeczywistą prędkość oraz przyspieszenie danego punktu w chwili  .

Jeżeli więc istnieją granice : 

oraz              ,

to nazywamy je odpowiednio : prędkością chwilową i przyspieszeniem chwilowym w chwili  .

Niech    oznacza czas  ( liczony w sekundach od pewnej chwili początkowej ) , a  - ładunek elektryczny  ( mierzony w kulombach ) , jaki przepłynął przez dany przekrój przewodu w czasie od chwili początkowej do chwili  . Mamy tu funkcję   .

Iloraz różnicowy

jest   średnim natężeniem   prądu w przedziale czasu między chwilami    i  ,

a granica tego ilorazu przy , czyli pochodna

          jest natężeniem   prądu w chwili  .

Przykład .  Napisać równanie stycznej do paraboli    w punkcie  .

Mamy :    ,     ,  . Zatem szukana styczna ma postać :

                            .

Uwaga .  Funkcja różniczkowalna w punkcie    jest ciągła w tym punkcie .

Odwrotnie być nie musi (!)  , tzn. z ciągłości funkcji w punkcie nie wynika jej różniczkowalność funkcji w tym punkcie .

Istotnie , rozważmy funkcję   . Jak wiemy , jest ona ciągła w punkcie  .

Z drugiej strony mamy :          ,

                                               ,

co oznacza , że funkcja    nie jest różniczkowalna w punkcie  .

Twierdzenie 1 .   Jeżeli funkcje  i    mają skończone pochodne w punkcie  , to

( 1 )    ,

( 2 )    ,  gdzie    jest pewną stałą  ,

( 3 )      ,

( 4 )    ,   o ile    .

Przykłady

1)   

                                               =   =

                                               =   ,

2)    ,

3)   

=  .

Twierdzenie 2   ( O pochodnej funkcji złożonej )

Jeżeli funkcja  ma pochodną w punkcie  , zaś  funkcja  ma pochodną w punkcie  , to   funkcja  ma pochodną w punkcie    oraz zachodzi wzór

                              .

Przykłady :

1)    ,

2)    ,

3)      ,

4)      ,

5)      .

POCHODNE  WYŻSZYCH   RZĘDÓW

Definicja 2    Pochodną właściwą  - tego rzędu funkcji    w punkcie  definiujemy indukcyjnie :

                                dla     ,  gdzie   .

Ponadto   przyjmujemy     .

Przykłady  

1)    ,              ,              ,

,            ,,    … ,               dla   .

2)      ,            ,  ,  ,… ,

3)    ,              ,  ,  , 

                                          , , ,

Ogólnie :              ...