Matematyka dyskretna 2002 - 04 Rachunek prawdopodobieństwa.pdf - Skrypty - namanjali

Matematyka Dyskretna

Andrzej Szepietowski

25 czerwca 2002 roku

Rozdział 1

Rachunek prawdopodobie nstwa

1.1 Zdarzenia

Podstawowym pojeciem rachunku prawdopodobie nstwa jest przestrze n zdarze n elemen-

tarnych , która najczesciej bedziemy oznaczac przez

. W tej ksiazce ograniczymy sie do

jest zbiorem sko nczonym. Dzieki temu bedziemy mogli ograniczy c

sie to prostych rozwaza n.

Elementy przestrzeni

nazywamy zdarzeniami elementarnymi.

Przestrze n zdarze n czesto zwiazana jest z jakims eksperymentem losowym (probabi-

listycznym).

Przykład 1.1 a) Przypuscmy, ze rzucamy monet a. Przestrze n zdarze n elementarnych

moze byc wtedy okreslona jako

, gdzie

oznacza wypadniecie orła, a

reszki.

b) W przypadku rzutu dwoma (rozróznialnymi) monetami przestrze n zdarze n elemen-

tarnych moze byc okreslona jako

, gdzie

oznacza, ze

wypadły dwa orły;

, ze na pierwszej monecie wypadł orzeł, a na drugiej reszka;

, ze na pierwszej reszka, a na drugiej orzeł; a

, ze na obu monetach wypadły

reszki.

c) Przypuscmy, ze mamy urne z szescioma ponumerowanymi kulami, i ze kule o nu-

merach 1 i 2 s a białe, a kule o numerach 3,4,5 i 6 s a czarne. Przestrze n zdarze n

elementarnych moze byc zdeniowana jako

d) Przy rzucie kostk a

e) Przy rzucie dwiema (rozróznialnymi) kostkami

. Zda-

rzenie

odpowiada wynikowi, gdzie na pierwszej kostce wypadło

oczek, a na

drugiej

f) Przy rzucie monet a i kostk a

;

na przykład

opisuje wynik, gdzie na monecie wypadł orzeł, a na kostce 6 oczek.

przypadków, gdy

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie nstwa

g) W przypadku rzutu (rozróznialnymi) monetami przestrze n zdarze n elementarnych

. Przestrzeni a

zdarze n elementarnych moze tu byc albo zbiór dwuelementowych podzbiorów zbio-

ru kul, lub zbiór dwuelementowych ci agów bez powtórze n. Zalezy to od tego, czy

bedziemy rozpatrywac zdarzenia, w których rozrózniamy wylosowane kule, czy nie

rozrózniamy.

Mozna tez rozpatrywac przestrzenie zdarze n nie zwiazane z eksperymentem:

Przykład 1.2 Przestrzeni a zdarze n elementarnych moze byc:

a) Zbiór liter lub słów wystepuj acych w jakims tekscie, ksi azce lub liscie.

b) Zbiór mozliwych haseł potrzebnych do uzyskania dostepu do danych lub systemu.

Jezeli zbiór mozliwych haseł jest zbyt mały, to łatwo mozna złamac zabezpieczenia.

c) Zbiór mozliwych wylicze n algorytmu probabilistycznego (algorytmu, który korzysta

z funkcji losuj acej).

nazywamy zdarzeniem . Pamietajmy, ze rozwazamy tyl-

ko sko nczone przestrzenie zdarze n elementranych. W przypadku, gdy

Dowolny podzbior

nie jest zbiorem

nazywamy zdarzeniem

pewnym , a zbiór pusty zdarzeniem niemozliwym . Zdarzenia rozłaczne,

, na-

zywamy wykluczaj acymi sie . Zdarzenie

nazywamy zdarzeniem przeciwnym

do zdarzenia

Przykład 1.3

a) W przykładzie 1.1b, z rzutem dwoma monetami,

mamy

zdarze n. Zbiór

jest zdarzeniem polegaj acym na

tym, ze na pierwszej monecie wypadł orzeł.

b) W przykładzie 1.1e, z rzutem dwoma kostkami, mamy

zdarze n. Zbiór

jest zdarzeniem, ze suma oczek na obu kostkach wynosi 5.

c) W przykładzie 1.1c, z kulami,

oznacza zdarzenie, ze wylosowano kule

biał a.

d) Rzut czteroma monetami, przykład 1.1g z

, zdarzenie, ze na pierwszej i trzeciej

monecie wypadły orły to

, a zdarzenie, ze na

pierwszej i trzeciej monecie wypadło to samo to

moze byc okreslona jako zbiór wszystkich elementowych ci agów z wartosciami

lub

h) Przypuscmy, ze mamy urne z dwoma kulami białymi i trzema czarnymi, i ze losu-

jemy dwie kule z tej urny. Oznaczmy te kule przez

sko nczonym, konieczna jest inna denicja zdarzenia. Cały zbiór

1.2. Prawdopodobie nstwo

1.2 Prawdopodobie nstwo

Denicja 1.4 Prawdopodobie nstwo, lub rozkład prawdopodobie nstwa, jest funkcj a okreslon a

na zbiorze zdarze n (w naszym przypadku na zbiorze wszystkich podzbiorów

). Kazde-

mu zdarzeniu

przypisujemy liczbe rzeczywist a

, jego prawdopodobie nstwo.

Funkcja ta musi spełniac warunki:

’ -

Aksjomaty prawdopodobie nstwa

A1)

dla kazdego

’ - 5

A2)

’, -

A3) Jezeli zdarzenia

s a rozł aczne, to

’

- ’ -

’ -

wraz z okreslonym na nim prawdopodobie nstwem bedziemy

nazywac przestrzeni a probabilistyczn a. W przypadku, gdy przestrze n zdarze n elemen-

tarnych jest zbiorem sko nczonym, wystarczy okreslic prawdopodobie nstwa dla zdarze n

elementarnych. Musza byc tylko spełnione dwa warunki:

A4)

dla kazdego

’ - $

A5)

Prawdopodobie nstwo dowolnego zdarzenia jest wtedy równe

’ -

’

’ -

Łatwo mozna sprawdzic, ze tak zdeniowane prawdopodobie nstwo spełnia aksjomaty

denicji 1.4.

W przypadku, gdy przestrze n zdarze n elementarnych jest zbiorem wszystkich moz-

liwych wyników jakiegos eksperymentu, najczesciej przyjmuje sie, ze funkcja prawdo-

podobie nstwa przypisuje, kazdemu zdarzeniu elementarnemu taka sama wartosc. Mamy

wtedy do czynienia z klasyczna denicja prawdopodobie nstwa. W tej ksiazce bedziemy

najczesciej uzywac klasycznej denicji, a w razie odstepstwa od tej umowy, bedziemy to

specjalnie zaznaczac.

Denicja 1.5 Rozkład prawdopodobie nstwa, w którym kazde zdarzenie elementarne

ma takie samo prawdopodobie nstwo

’ -

nazywamy rozkładem jednostajnym.

Przykład 1.6 a) Dla rzutu dwoma monetami (przykład 1.1b mozemy okreslic praw-

dopodobie nstwo według klasycznej denicji: mamy wtedy

’, - #

’ - 5

’ - #

’ -

Zbiór zdarze n elementarnych

Matematyka dyskretna 2002 - 04 Rachunek prawdopodobieństwa.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: