Wielościany, graniastosłupy, ostrosłupy, bry ły obrotowe- szkoła średnia.doc

Wielościanem nazywamy bryłę ze wszystkich stron ograniczoną płaszczyznami.

Płaszczyzny, które ograniczają wielościan, nazywamy jego ścianami, odcinki linii przecięcia ścian krawędziami wielościanu, a punkty przecięcia krawędzi wierzchołkami.

Wielościan nazywamy wypukłym, jeżeli leży po jednej stronie każdej ze swoich ścian. Nadal mówić będziemy jedynie o wielościanach wypukłych.

Przekątną wielościanu nazywamy odcinek linii prostej, który łączy dwa wierzchołki nie położone na tej samej ścianie.

Jedną ze ścian wielościanu uważamy za podstawę, wtedy pozostałe nazywamy ścianami bocznymi.

W niektórych wielościanach będziemy wyróżniać dwie ściany jako podstawy, zwykle te, które są przystające i równoległe.

Sumę pól ścian bocznych nazywamy polem powierzchni bocznej wielościanu albo krócej powierzchnią boczną, a sumę pól wszystkich ścian bez wyjątku polem powierzchni całkowitej albo krócej powierzchnią całkowitą.

365. Określenia. Graniastosłup jest to wielościan ograniczony z dwóch stron przystającymi do siebie wielokątami o odpowiednich bokach równoległych, a z pozostałych stron równoległobokami (rys. 331).

O istnieniu takiej bryły możemy się z łatwością przekonać, biorąc dowolny wielokąt ABCDE i prowadząc przez wszystkie jego wierzchołki równoległe do siebie proste AA', BB' itd., przecinając je płaszczyzną równoległą do ABCDE i wreszcie przez każdą parę prostych: AA' i BB', BB' i CC' itd. przesuwając płaszczyznę.

Wielokąty ABCDE i A'B'C'D'E' nazywamy podstawami graniastosłupa, a równoległoboki ABB'A', BCC'B' itd. ścianami bocznymi.

Wysokością graniastosłupa nazywamy odcinek prostopadły do obu podstaw.

Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są sobie równe jako odcinki równoległe, zawarte pomiędzy równoległymi płaszczyznami.

Płaszczyznę poprowadzoną przez dwie krawędzie boczne graniastosłupa, nie położone na tej samej ścianie, nazywamy płaszczyzną przekątną.

Graniastosłup jest prosty lub pochyły zależnie od tego, czy krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, czy pochyłe.

W graniastosłupie prostym każda ze ścian bocznych jest prostokątem, a każda z krawędzi bocznych wysokością graniastosłupa.

Jeżeli graniastosłup pochyły przetniemy płaszczyzną prostopadłą do krawędzi bocznych, to wielokąt abcde, który otrzymamy w przecięciu, nazywamy przekrojem prostopadłym. Boki tego wielokąta są oczywiście prostopadłe do krawędzi bocznych.

Graniastosłup prosty nazywamy graniastosłupem prawidłowym, jeżeli ma za podstawę wielokąt foremny.

Graniastosłup nazywamy trójkątnym, czworokątnym itd., jeżeli ma za podstawę trójkąt, czworokąt itd.

366. Twierdzenie. Pole powierzchni bocznej graniastosłupa równa się iloczynowi krawędzi bocznej i obwodu przekroju prostopadłego.

Niech będzie dany graniastosłup pochyły BD' (rys. 332) i niech wielokąt abcd będzie jego przekrojem prostopadłym.

Powierzchnia boczna równać się będzie sumie pól wszystkich ścian bocznych, a że ab jest prostopadłe do AA', bc do BB' itd., więc będzie równa AA' × ab + BB' × bc + CC' × cd + DDv × ad = (ab + bc + cd + ad) × AA', cbdd.

Wniosek 1. W graniastosłupie prostym przekrój prostopadły jest przystający do podstawy, a więc pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego równa się iloczynowi krawędzi bocznej i obwodu podstawy.

Jeżeli więc obwód podstawy jest równy P, a wysokość graniastosłupa h, to pole powierzchni bocznej:

S = P × h.

Wniosek 2. Aby znaleźć pole powierzchni całkowitej, należy do powierzchni bocznej dodać pola obu podstaw. Jeżeli więc pole podstawy jest równe B, to pole powierzchni całkowiej

S' = S + 2B.

Wniosek 3. Jeżeli graniastosłup jest prawidłowy, to pole podstawy

gdzie P oznacza obwód, a r promień okręgu wpisanego w podstawę, mamy wtedy

S' = S + P × r

czyli

S' = P × h + P × r = P × (h + r).

Przykład. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym podstawa ma bok a = 5 m, a wysokość h = 12 m.

Wtedy pole powierzchni bocznej

S = P × h = 3a × h = 180 m2.

Podwojone pole podstawy:

2B = = 21,65 m2,

a więc pole powierzchni całkowitej wynosi

S' = 180 + 21,65 = 201,65 m2.

Rys. 333

367. Określenia. Graniastosłup, który ma za podstawę równoległobok, nazywamy równoległościanem (rys. 333).

Z tego określenia widzimy, że w równoległościanie wszystkie ściany są równoległobokami, każda z nich może być uznana za podstawę.

W równoległościanie prostym podstawy są równoległobokami, a ściany boczne prostokątami.

Równoległościan prosty, który ma za podstawę prostokąt, nazywamy prostopadłościanem. Trzy krawędzie, wychodzące z jednego punktu, nazywamy jego wymiarami (długość, szerokość i wysokość). Prostopadłościan, którego wymiary są równe, nazywamy sześcianem.

Łatwo zrozumieć, że w każdym równoległościanie przeciwległe ściany są przystające i równoległe.

Tak np. ściany ADD'A' i BCC'B' są przystające i równoległe, dlatego że kąty A'AD i B'BC są równe i leżą na płaszczyznach równoległych, a krawędzie boczne są równe.

W sześcianie wszystkie ściany są przystające i wszystkie krawędzie są równe.

368. Twierdzenie. W każdym równoległościanie przekątne przecinają się w jednym punkcie i dzielą się na połowy.

W równoległościanie AC' (rys. 334) zauważmy najpierw dwie przekątne AC' i BD'. Jeżeli przez dwie równoległe DA i C'B' poprowadzimy płaszczyznę, to w przecięciu z równoległościanem otrzymamy czworokąt DAB'C', który jest równoległobokiem, bo DA II C'B', a DC' II AB', jako przecięcia dwóch płaszczyzn równoległych.

Proste AC' i DB' są przekątnymi tego równoległoboku, a zatem przecinają się i dzielą na połowy.

Biorąc teraz przekątną AC' i jedną z następnych, w podobny sposób przekonamy się, że one w tym samym punkcie dzielą się na połowy. Punkt ten nazywamy środkiem równoległościanu.

Uwaga. W prostopadłościanie wszystkie cztery przekątne są sobie równe, dlatego że w prostokącie przekątne są sobie równe.

Jeżeli w prostopadłościanie AC' (rys. 335) poprowadzimy przekątną D'B, to z trójkąta prostokątnego DD'B otrzymujemy

D'B2 = D'D2 + DB2,

ale znowu z trójkąta ADB mamy

DB2 = AD2 + AB2,

więc

D'B2 = D'D2 + AD2 + AB2,

tj. w prostopadłościanie kwadrat przekątnej równa się sumie kwadratów jego trzech wymiarów.

§ 73. Ostrosłup, pole jego powierzchni

Rys. 336

369. Określenia. Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego podstawą jest wielokąt, a ścianami bocznymi są trójkąty o wspólnym wierzchołku, np. SABCDE (rys. 336).

Wspólny punkt S wszystkich trójkątów nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.

Prostopadłą poprowadzoną z wierzchołka ostrosłupa do podstawy nazywamy jego wysokością.

Płaszczyznę poprowadzoną przez dwie krawędzie boczne nie położone na jednej ścianie ostrosłupa nazywamy płaszczyzną przekątną.

Ostrosłup nazywamy trójkątnym, czworokątnym itd., jeżeli ma za podstawę trójkąt, czworokąt itd.

Wysokość każdego z trójkątów, które służą za ściany boczne, nazywamy wysokością ściany bocznej.

Ostrosłup nazywamy prostym, jeżeli w jego podstawę można wpisać koło, a spodek jego wysokości jest środkiem tego koła. Wszelki inny ostrosłup, który powyższych warunków nie spełnia, nazywamy pochyłym.

Łatwo wywnioskować, że w ostrosłupie prostym wszystkie wysokości ścian bocznych są sobie równe.

Ostrosłup prosty nazywamy prawidłowym, jeżeli ma za podstawę wielokąt foremny.

W ostrosłupie prawidłowym:

1) ścianami bocznymi są trójkąty równoramienne przystające do siebie;

2) wysokość ściany bocznej dzieli bok podstawy na połowy;

3) spodek wysokości jest środkiem podstawy (tj. środkiem koła wpisanego w podstawę).

370. Twierdzenie. Jeżeli ostrosłup przetniemy płaszczyzną równoległą do podstawy, to:

1) krawędzie boczne, wysokość ścian bocznych i wysokość podzielą się na odcinki do siebie proporcjonalne;

2) podstawa i przekrój będą wielokątami podobnymi;

3) pola podstawy i przekroju będą proporcjonalne do kwadratów ich odległości od wierzchołka ostrosłupa.

Rys. 337

Ostrosłup SABCDE (rys. 337) przetniemy płaszczyzną równoległą do podstawy. Niech wielokąt abcde będzie przekrojem.

1) Z jednokładności otrzymanych figur mamy:

Ale opuściwszy wysokość SO, otrzymamy znowu

a więc będzie

W tym samym stosunku będą oczywiście wysokości ścian bocznych

2) Z poprzednio otrzymanych stosunków będziemy mieli

Ponadto, jak łatwo zauważyć, A = a, B = b itd., więc wielokąty ABCDE i abcde są podobne.

3) Pola wielokątów podobnych są proporcjonalne do kwadratów odpowiednich boków, więc

ale

bo każdy z tych stosunków, jak widzieliśmy, był równy ; zatem

Wniosek. Jeżeli dwa ostrosłupy mają wysokości równe, a podstawy równoważne, to ich przekroje jednakowo od wierzchołków ostrosłupów odległe są równoważne.

Niech będą dane dwa ostrosłupy S i S' (rys. 338) o wysokości KL. Przetnijmy je płaszczyzną Q, równoległą do płaszczyzny podstaw P, w odległości KM od wierzchołków.

Rys. 338

Niech pola podstaw będą równe B i B', a pola przecięć b i b', wtedy w pierwszym ostrosłupie będzie

W drugim

skąd

a ponieważ B = B', więc b = b', cbdd.

371. Określenia. Część ostrosłupa zawarta między dwoma równoległymi przekrojami nazywamy ostrosłupem ściętym np. AC' (rys. 339).

Wielokąty ABC i A'B'C' są podstawami ostrosłupa ściętego, odległość OO' pomiędzy nimi jego wysokością.

Ostrosłup ścięty jest prosty lub pochyły, zależnie od tego, czy go otrzymano z ostrosłupa prostego czy pochyłego.

Ostrosłup ścięty prosty nazywamy prawidłowym, jeżeli ma za podstawy wielokąty foremne. Ścianami bocznymi są wówczas trapezy równoramienne, a wysokość ostrosłupa przechodzi przez środki podstaw.

Z poprzedniego twierdzenia wnosimy, że w ostrosłupie ściętym podstawy są do siebie podobne.

372. Twierdzenie. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prostego równa się połowie iloczynu obwodu podstawy i wysokości ściany bocznej ostrosłupa.

Dany jest ostrosłup prosty SABCDE (rys. 340). Opuśćmy wysokości ścian bocznych SK, SL, SM itd., wtedy

pole ...