06.pdf

(571 KB) Pobierz
PRZEDMOWA
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
1
PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
6.
6.1. Podsumowanie równań opisujących płaskie stany
Przypomnienie najważniejszych zależności opisujących podstawy liniowej mechaniki ciała stałego dla
ogólnego przypadku przestrzennego zawarto w rozdziale 5. Ponieważ wiele technicznie ważnych zagadnień
ogranicza się do opisu dwuwymiarowego zestawimy poniżej znane z kursów wytrzymałości materiałów i
podstaw liniowej teorii sprężystości podstawowe formuły opisujące równowagę, związki geometryczne i
fizyczne, wykorzystywane w zadaniu dwuwymiarowym. Analizując stan naprężenia, posługiwać się bę-
dziemy składowymi tensora naprężenia, zapisanymi w postaci wektora:
σ
=
σ
x
,
σ
y
,
τ
xy
]
.
(6.1)
Rys. 6.1. Znakowanie składowych naprężeń
Za dodatnie składowe uznamy te, których zwrot jest zgodny ze zwrotem składowych zaznaczonych na
rysunku 6.1.
Wartości składowych naprężenia, odniesione do układu obróconego o kąt a, wyrażone są za pomocą
następujących wzorów transformacyjnych:
σ
=
σ
⋅
cos
2
α
+
σ
⋅
sin
2
α
+
2
⋅
τ
⋅
cos
α
sin
α
,
x
'
x
y
xy
σ
=
σ
⋅
sin
2
α
+
σ
⋅
cos
2
α
−
2
⋅
τ
⋅
cos
α
⋅
sin
α
,
(6.2)
y
'
x
y
xy
( )
(
α
τ
=
−
σ
−
σ
⋅
sin
α
⋅
cos
α
+
τ
⋅
cos
2
α
−
sin
2
x
'
y
'
x
y
xy
lub krócej w postaci macierzowej
σ
'
= T
α ⋅
σ
,
(6.3)
gdzie wektory i opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych obróco-
nych
σ
σ
(
)
(
x 0 )
x
' y
'
i wyjściowych
y
. Macierz transformacji T przyjmuje postać:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
[
⋅
269457771.006.png 269457771.007.png
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
2
c
2
s
2
2
⋅
s
⋅
c
T α
=
s
2
c
2
2
⋅
s
⋅
c
(6.4)
−
s
⋅
c
s
⋅
c
c
2
−
s
2
Niekiedy wygodnie jest przedstawić te same zależności transformacyjne, wykorzystując wzory na kąty
podwójne. Otrzymujemy wówczas:
σ
=
σ
x
+
σ
y
+
σ
x
−
σ
y
⋅
cos
() ()
2
α
+
τ
⋅
sin
2
α
,
x
'
2
2
xy
σ
=
σ
x
+
σ
y
−
σ
x
−
σ
y
⋅
cos
() ()
2
α
−
τ
⋅
sin
2
α
,
(6.5)
y
'
2
2
xy
τ
=
−
σ
x
−
σ
y
⋅
sin
() ( α
2
α
+
τ
⋅
cos
2
x
'
y
'
2
xy
Oczywiście muszą być spełnione znane warunki niezmienniczości:
σ
x
+
σ
y
=
σ
x
'
+
σ
y
'
=
const
,
(6.6)
σ
⋅
σ
−
τ
2
=
σ
⋅
σ
−
τ
2
=
const
.
x
y
xy
x
'
y
'
x
y
'
Kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne wartości naprężeń głównych otrzymamy, szukając eks-
tremum (6.5) względem a, co po prostym różniczkowaniu i porównaniu do zera prowadzi do
tg
( )
2
α
=
2
⋅
τ
xy
.
(6.7)
gl
σ
−
σ
x
y
σ
−
σ
−
σ
σ
2
σ
=
x
y
±
x
y
+
τ
2
=
σ
.
(6.8)
I
,
II
2
2
xy
max,
min
Rys. 6.2. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
'
269457771.008.png
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3
Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych, obróconego o n/4 w sto-
sunku do układu osi głównych i ich wartości wynoszą:
−
σ
σ
2
τ
'
=
x
y
+
τ
2
.
(6.9)
max
2
xy
Mówiąc o stanie odkształcenia, będziemy się posługiwać wektorem opisującym składowe odniesione
do układu (
y
)
w postaci:
ε
=
[
ε
x
,
ε
y
,
γ
xy
]
.
(6.10)
Znane zależności geometryczne (związki Cauchy'ego) z zastosowaniem opisu przemieszczeń i ,
odpowiednio w kierunkach osi i , wyrażają się teraz w postaci:
x y
u v
ε
=
∂
u
,
ε
=
∂
v
,
γ
=
∂
u
+
∂
v
.
(6.11)
x
∂
x
y
∂
y
xy
∂
y
∂
x
Stosowne zależności między przemieszczeniami, a odkształceniami pokazano na rysunku 6.2. W zapi-
sie macierzowym związki (6.10) można również przedstawić jako
ε ,
L ⋅
u
(6.12)
gdzie wektor
u
,= ]
u
v
T
, zaś operator różniczkowy dla problemu dwuwymiarowego ma postać:
L
∂
0
∂
x
∂
L
=
0
.
(6.13)
∂
y
∂
∂
∂
y
∂
x
Interesujące są również wartości składowych odkształceń w układzie obróconym . Aby je wy-
znaczyć, porównajmy wyrażenia na energię odkształcenia wyrażoną w układach osi wyjściowym i obróco-
nym. Otrzymujemy następującą sekwencję wzorów:
(
x
' y
'
)
( ) ( ) ε
δ
'
T
⋅
ε
'
=
δ
T
⋅
,
a ponieważ
δ
'
= T
α ⋅
δ
, więc ( )
δ
T
⋅
T
T
⋅
ε
'
=
( ) ε
T
⋅
,
α
z czego wynika, że:
T
T
⋅ '
ε
=
ε
oraz
ε
'
=
T
− T
⋅
ε
,
α
α
gdzie macierz transformacji ma postać:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
x 0
[
δ
269457771.009.png
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
4
c
2
s
2
s
⋅
c
T
−
T
=
s
2
c
2
−
s
⋅
c
.
(6.14)
α
−
2
⋅
s
⋅
c
2
⋅
s
⋅
c
c
2
−
s
2
Podobnie jak poprzednio dla stanu naprężenia można przedstawić wzory na kierunki i wartości głów-
nych odkształceń.
Załóżmy teraz, że materiał jest izotropowy i wyprowadźmy stosowne wzory opisujące zależności
między wektorami stanu naprężenia i odkształcenia dla przypadków analizy płaskiego stanu
naprężenia i odkształcenia.
σ
ε
Płaski stan naprężenia, występujący w płaszczyźnie
x 0
y
, charakteryzuje się tym, że następujące
składowe tego stanu są równe zeru:
σ
z
=
τ
xy
=
τ
yz
=
0
, co pociąga za sobą, że również składowe odkształ-
ceń są równe zeru :
γ
=
γ
yz
=
0
oraz
ε
≠
0
. Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco:
ε
=
1
⋅
( ) ( ) ,
−
ν
⋅
σ
,
ε
=
1
⋅
σ
−
ν
⋅
σ
x
E
x
y
y
E
y
x
( )
(6.15)
1
2
⋅
1
+
ν
oraz ( ) ,
ν
γ
=
⋅
τ
=
⋅
τ
ε
=
−
⋅
σ
+
σ
xy
G
xy
E
xy
z
E
x
y
lub w postaci odwrotnych relacji:
σ
=
E
⋅
( )
ε
−
ν
⋅
ε
,
ε
=
E
⋅
( ) ,
ε
−
ν
⋅
ε
x
1
−
ν
2
x
y
y
1
−
ν
2
y
x
(6.16)
E
E
⋅
λ
τ
=
⋅
γ
=
⋅
γ
xy
2
⋅
( )
1
+
ν
xy
1
−
ν
2
xy
gdzie stałą można wyrazić za pomocą liczby Poissona w postaci:
ν
λ
=
1 ν
−
2
Powyższe zależności można zapisać macierzowe w następujący sposób:
1
1
−
ν
0
ε ⋅
= C gdzie
σ
C
=
⋅
−
ν
1
0
(6.17)
E
0
0
2
⋅
(
+
ν
)
lub odwrotnie
E
1
ν
0
σ ⋅
= D gdzie
ε
D
=
C
−
1
=
⋅
ν
1
0
(6.18)
1
−
ν
2
0
0
λ
W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru:
ε
z
=
γ
xy
=
γ
=
0
, co powodu-
je, że odpowiednie składowe stanu naprężenia
τ
xz
=
τ
yz
=
0
oraz
σ
≠
0
. Odpowiednie zależności fizyczne
przedstawiają się następująco:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
xz
σ
λ
yz
269457771.001.png 269457771.002.png 269457771.003.png
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
5
ε
=
1
⋅
σ
−
ν
⋅
σ
−
ν
⋅
σ
) (
,
ε
=
1
⋅
σ
−
ν
⋅
σ
−
ν
⋅
σ
)
x
E
x
y
z
y
E
y
x
z
(6.19)
γ
=
2
⋅
( )
1
+
ν
⋅
τ
xy
E
xy
oraz
ε
=
1
⋅
(
−
ν
⋅
σ
−
ν
⋅
σ
+
σ
) ,
skąd
σ
=
ν
⋅
( )
+
σ
.
(6.20)
z
E
x
y
z
z
x
y
Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (6.18), otrzymujemy ostatecznie :
ε
=
1
+
ν
⋅
[
( )
1
+
ν
⋅
σ
−
ν
⋅
σ
]
,
ε
=
1
+
ν
⋅
[
( )
1
+
ν
⋅
σ
−
ν
⋅
σ
]
,
x
E
x
y
y
E
y
x
(6.21)
γ
=
2
⋅
( )
1
+
ν
⋅
τ
xy
E
xy
lub odwracając zależności
σ
=
( ) ( ) ( )
E
⋅
[
1
+
ν
⋅
ε
−
ν
⋅
ε
]
,
ε
=
( ) ( ) ( )
E
⋅
[
1
+
ν
⋅
ε
−
ν
⋅
ε
]
x
1
+
ν
⋅
1
−
2
ν
x
y
y
1
+
ν
⋅
1
−
2
ν
y
x
(6.22)
τ
=
E
⋅
γ
.
xy
2
⋅
( )
1
+
ν
xy
W zapisie macierzowym macierze analogiczne do tych, które występują we wzorach (6.16) i (6.17),
mają teraz następującą postać:
1
+
ν
1
−
ν
−
ν
0
C
=
⋅
−
ν
1
−
ν
0
E
0
0
2
oraz
(6.23)
1
−
ν
ν
0
E
D
=
C
−
1
=
⋅
ν
1
−
ν
0
( ) ( )
1
+
ν
⋅
1
−
2
⋅
ν
1
−
2
⋅
ν
0
0
2
6.2. Elementy trójkątne płaskiego stanu naprężeń i odkształceń
6.2.1. Trójwęzłowy element o stałych odkształceniach
Jednym z pierwszych elementów służących do opisu dwuwymiarowego kontinuum jest element trój-
kątny o stałych odkształceniach, w literaturze znany pod skrótową nazwą CST (Constant Strain Triangle). W
elemencie tym wyróżnia się trzy węzły (wierzchołki trójkąta), które mają po dwa translacyjne stopnie swo-
body. Przemieszczenie dowolnego punktu elementu opisane jest w układzie
x 0
y
za pomocą dwóch skład-
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
(
,
σ
,
269457771.004.png 269457771.005.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin