04.pdf

(630 KB) Pobierz
PRZEDMOWA
4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH
1
4.
METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH
4.1. Uwagi wstępne i koncepcje podstawowe
W wielu przypadkach, ważnych z punktu widzenia zastosowań technicznych, znalezienie rozwiązania
równania różniczkowego w postaci analitycznej jest trudne lub wręcz niemożliwe do osiągnięcia. Taka
sytuacja towarzyszy znacznej większości przypadków, szczególnie gdy w problemach mechaniki ośrodka
ciągłego mamy do czynienia z nieregularną geometrią układów, bądź gdy właściwości materiałów są
funkcjami zmiennych pól. Takie problemy nazywamy zadaniami nieliniowymi. Metoda elementów
skończonych często w środowisku inżynierów bywa utożsamiana ze sposobem rozwiązywania problemów
mechaniki, przy czym zapomina się że wszystkie te zagadnienia modelowane są za pomocą równań
różniczkowych. Poniżej pragniemy pokazać, że metoda elementów skończonych jest przede wszystkim
metodą rozwiązywania dowoln
Spośród metod znajdowania rozwiązań przybliżonych, które są użyteczne dla lepszego zrozumienia
istoty MES, chcemy zwrócić uwagę na następujące
- metoda Ritza,
- metoda wariacyjna Rayleigha - Ritza,
- metody ważonych reziduów.
Wymieniane powyżej metody znajdywania przybliżonych rozwiązań równań różniczkowych są
metodami całkowymi, gdyż opierają się na formach całkowych, nie zaś bezpośrednio na równaniach
różniczkowych.
Metoda Ritza jest na tyle prosta, że nie wymaga dodatkowych informacji poszerzających klasyczny
kurs matematyki. Metody wariacyjne, operujące pojęciami klasycznego rachunku wariacyjnego, wymagają
choćby znajomości podstawowych formuł tego rachunku. Nie będziemy ich tutaj przedstawiali, jedynie
zaproponujemy Czytelnikowi zapoznanie się z fragmentami literatury źródłowej
Zanim przedstawimy metody Ritza i Rayleigha-Ritza, spróbujmy na przykładzie prostego problemu
brzegowego prześledzić ideę koncepcji generalnej. Nasze rozważania zilustrujemy przykładem prostego
przypadku pojedynczego równania różniczkowego z jedną tylko zmienną niezależną. By przedstawić różnice
między kolejno omawianymi metodami będziemy analizować zawsze to samo równanie różniczkowe,
którego rozwiązanie analityczne jest proste do osiągnięcia. Tym samym łatwo nam będzie porównać
dokładność otrzymywanych przez aproksymację wyników z rozwiązaniami do
Przyjmijmy równanie różniczkowe zapisane symbolicznie:
ych równań różniczkowych.
:
.
kładnymi.
f
( =
T
(
x
))
0
(4.1)
opisujące dowolne zagadnienie w przestrzeni Ω , gdzie T opisuje funkcję zmian (może to być np.
temperatura, funkcja ugięcia belki), z Ω jest obszarem działania funkcji rządzonej przez prawo
zdefiniowane za pomocą operatora różniczk we
x
aś
o
go
f .
Warunki brzegowe zapiszemy w postaci:
g
1
(
T
(
x
))
=
0
na obszarze ,
Γ
(4.2)
g
(
T
(
x
))
=
0
na obszarze
Γ
2
gdzie i zawierają te części , które ograniczają brzeg ( rys. 4.1).
Γ
Ω
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
Γ
269457371.007.png
4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH
2
Rys. 4.1 Obszar jednowymiarowy działania funkcji
f
( x
T
(
))
Określmy rozwiązanie równania (4.1) łącznie z warunkami (4.2) w postaci funkcji:
∑ =
n
T
'
=
T
(
x
,
a
1
,
a
2
,...,
a
n
)
=
a
i
⋅
N
i
(
x
)
,
(4.3)
i
1
która ma jedną bądź więcej niewiadomych , zaś funkcje spełniają dokładnie warunki brzegowe (4.2).
Funkcje nazywamy funkcjami próbnymi. Problem redukuje się więc do trafnego wyboru funkcji prób-
nych i znalezienia parametrów . Ogólnie należy się więc spodziewać, że ciąg przyjętych aproksyma-
cji
a
i
N
i
N
i
N
i
a
i
T
'
= )
T
'
(
x
,
a
i
=
a
i
⋅
N
i
dla
i
=
1
2
,...,
n
(4.4)
polepsza rozwiązanie wraz ze wzrostem liczby stosowanych funkcji próbnych . Przyjmowane funkcje
muszą być ciągłe i różniczkowalne do najwyższego rzędu występującego w całkowej formie równania.
N
i
N
i
Nie powinno nikogo zaskoczyć, że ' , zastępujące w (4.1) funkcję T
T
( x
)
, nie spełnia dokładnie tegoż
równania, to znaczy, że
f
( ≠
'
)
0
. Różnicę między rozwiązaniem dokładnym a przybliżonym oznaczymy
przez
R
( i
,
a
)
i zapiszemy:
f
(
T
'
(
x
,
a
i
))
=
R
(
x
,
a
i
)
(4.5)
Rezidua zależą od oraz . Z dokładnym rozwiązaniem mamy do czynienia wtedy, gdy
dla wszystkich punktów obszaru . Dla rozwiązań przybliżonych zasadniczo różni się od zera,
jakkolwiek w wybranych punktach obszaru warunek ten może być spełniony.
R
x
a
Ω
i
R
=
0
R
Ω
4.1.1 Metoda Ritza
Podstawowa metoda Ritza wymaga, by dla aproksymacji rzędu był spełniony następujący warunek:
I
∫ Ω
R
( a
x
,
)
= 0
.
(4.6)
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
'
T
x
269457371.008.png 269457371.009.png
4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH
3
Powyższe wyrażenie prowadzi do równania algebraicznego z niewiadomym parametrem . Dla poprawnie
postawionego problemu z dobrze dobraną funkcją próbną rozwiązanie zawsze istnieje. Za funkcje
przyjmowane mogą być wielomiany, funkcje cykliczne oraz inne funkcje ciągłe i różniczkowalne. Zilustruj-
my to, co dotąd powiedziano następującym przykładem.
a
a
N i
( x
)
Przykład. Rozwiążmy równanie różniczkowe zwyczajne o postaci:
d
2
T
+ x
1000
2
=
0
dla
0 ≤
≤ x
1
(4.7)
dx
2
przy zachowaniu następujących warunków brzegowych:
T
0( =
0
oraz T
( =
0
(4.8)
Za funkcję próbną przyjmijmy funkcję nie zakłócającą problemu, spełniającą deklarowane warunki
brzegowe:
N
=
x
⋅
(
−
x
2
)
.
(4.9)
1
Poszukiwane rozwiązanie przyjmujemy wiec w postaci:
T
'
=
a
⋅
N
(
x
)
=
a
⋅
x
⋅
(
−
x
2
)
.
(4.10)
1
1
1
Podstawiając je do równania wyjściowego (4.7), rezidua wynoszą:
d
2
T
'
d
2
T
'
R
=
+
1000
⋅
x
2
, gdzie
=
−
6
⋅
x
⋅
a
,
(4.11)
dx
2
dx
2
1
tak więc w końcu
R
(
x
,
a
)
=
−
6
⋅
a
⋅
x
+
1000
⋅
x
2
.
(4.12)
i
1
Spełnienie wymagania (4.6) pociąga konieczność dobrania współczynnika na podstawie równania:
a
1
(
) 0
∫
−
6
⋅
a
⋅
x
+
1000
⋅
x
2
dx
=
(4.13)
1
0
skąd otrzymujemy jedno równanie algebraiczne z niewiadomą w postaci:
a
x
3
1
−
3
⋅
a
⋅
x
+
1000
=
0
,
(4.14)
1
3
0
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
269457371.010.png 269457371.001.png 269457371.002.png
4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH
4
z którego wynika, że
a
1 =
1000
, wobec czego otrzymane rozwiązanie przybliżone ma następująca formę:
9
T
'
=
1000
⋅
x
⋅
(
−
x
2
)
.
(4.15)
9
Warto w tym miejscu uzmysłowić sobie, że rozwiązanie równania różniczkowego przerodziło się nie-
postrzeżenie z problemu analizy matematycznej w problem algebraiczny. Otrzymany wynik będzie porów-
nany z rozwiązaniem dokładnym. W tym miejscu prosi się dociekliwego Czytelnika, by zechciał samodziel-
nie znaleźć rozwiązanie nieskomplikowanego przecież równania (4.7).
Rys. 4.2 Interpretacja wydajności źródła ciepła i warunków brzegowych
x
Wyższych temperatur należy się spodziewać bliżej końca, dla , chociaż na obu brzegach
powinien być spełniony warunek T . Miejsce maksymalnej temperatury wypada dla . Należy
podkreślić, że funkcje próbne, które w tym przypadku rozciągnięte są nad całym analizowanym obszarem,
nie powinny zaburzać opisywanego zjawiska fizycznego, ale powinny dokładnie spełniać warunki brzegowe.
W przyszłości technika MES wykaże, że można wyeliminować powyższe ograniczenia nakładane na funkcje
próbne, które to ograniczenia są trudne do spełnienia w większości praktycznych problemów technicznych.
2
x
=
1
=
0
x
=
0
.
577
4.1.2. Metoda wariacyjna Rayleigha-Ritza
T
( x
)
Typowy problem jednowymiarowego rachunku wariacyjnego polega na znalezieniu takiej funkcji
, by zminimalizować bądź zmaksymalizować całkę:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
Analizowane równanie Jest formą równania przewodnictwa cieplnego w izolowanym pręcie, z we-
wnętrznym źródłem energii. Wydajność tego źródła jest proporcjonalna do (rys.4.2).
269457371.003.png 269457371.004.png
4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH
5
b
I
=
∫
F
(
x
,
T
(
x
),
T
x
(
x
))
dx
,
(4.16)
a
gdzie
dT
T x = zaś jest funkcjonałem (funkcją, której argumentami są funkcje). Można wykazać, że
F
funkcjonał odpowiadający równaniu z poprzedniego przykładu ma postać:
1
dT
2
F
=
−
+
1000
⋅
x
2
⋅
T
(4.17)
2
dx
Konsekwentne sformułowanie wariacyjne problemu z analizowanego przykładu wymaga więc ekstremaliza-
cji następującego wyrażenia:
1
1
dT
2
I
=
∫
−
+
1000
⋅
x
2
⋅
T
dx
(4.18)
2
dx
0
Idea polega więc na znalezieniu takiej funkcji T , która minimalizuje . Zanim pokażemy, w jaki sposób
powyższe równanie może być używane do znalezienia przybliżonego rozwiązania analizowanego problemu,
zauważmy, że:
( x
)
I
- funkcja , która ekstremalizuje wyrażenie na , jest funkcją spełniającą równanie różniczkowe
i zadane warunki brzegowe,
T
( x
)
I
- wyjściowe równanie różniczkowe zawiera wyrażenie drugiego rzędu, a sformułowanie wariacyjne -
tylko pochodne pierwszego rzędu (jest to tzw. słabe sformułowanie).
Przykład (cd.). Przyjmijmy, podobnie jak poprzednio, funkcję próbną w postaci:
T
'
=
a
⋅
N
(
x
)
=
a
⋅
x
⋅
(
−
x
2
)
;
(4.19)
1
1
1
podstawiając to wyrażenie do wzoru (4.18), otrzymujemy:
1
1
dT
'
2
aI ∫
)
=
−
+
1000
⋅
x
2
⋅
T
'
dx
.
(4.20)
1
2
dx
0
Zależność ta jest funkcją jedynej niewiadomej a . Stacjonarność będzie zapewniona przez spełnienie
warunku
1
dI
=
0
.
(4.21)
da
1
Wobec tego, że
dT
'
=
(
−
3
⋅
x
2
+
1
⋅
a
,
da
1
1
ostatecznie otrzymujemy (4.20) w jawnej postaci:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
dx
(
269457371.005.png 269457371.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin