Wzory pomocnych całek:

Wzory trygonometryczne

cos2a=1-2sin2a=cos2a-sin2a

1-cosa=2sin2

sinx×cosx =

cos2x=

sin2a=2×sina×cosa

1+cosa = 2cos2

Zadania

1. Obliczyć podane całki krzywoliniowe niezorientowane po wskazanych łukach:

za y podstawiamy daną funkcję y=f(x)

2. Obliczyć długość łuku.

3. Obliczyć pole powierzchni bocznej np. walca x2+y2=R2 ograniczonej płaszczyzną np. z=0 oraz powierzchnią np. z=a

d(x,y) – powierzchnia ograniczająca z dołu

g(x,y) -       - / / -           - / / -             z góry

Następnie parametryzujemy biegunowo i podstawiamy za x,y ,  pamiętając że do dl podstawiamy parametry biegunowe.

4. Obliczyć masę łuku o gęstości liniowej masy l(x,y)=

5. Określić współrzędne środka masy ...

linia śrubowa yc ;  x=rcost, y=rsint,  z=bt    zc

6. Obliczyć moment bezwładności ...

Ix=- względem osi

- względem (0,0)

7. Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane z podanych pól wektorowych po wskazanych łukach (zorientowanych zgodnie z parametryzacją)

Przykład:

F(x,y)=(x,-y)

8. Obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną po łuku określonym równaniem, zorientowanym zgodnie ze wzrostem parametru x.

Do obliczenia całki zorientowanej z pola wektorowego F(x,y,)=(P(x,y),Q(x,y)) po łuku G: y=y(x), a£x£b, stosujemy wzór:

y podstawiamy do całki, a w drugiej części wzoru pochodna z y

9. Obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną  po  wskazanych łukach zamkniętych G:

Parametryzujemy łuk i podstawiamy do całki.

10. Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane z podanych potencjalnych pól wektorowych po dowolnym łuku o początku A i końcu B:

U(x,y,z)=

porównujemy z Q(x,y) i wyznaczamy j przedtem je całkując. Następnie bawimy się jeszcze pochodną po z (jak jest) i wyznaczamy w ten sposób y(y) + C. Gotową U(x,y,z) wykorzystujemy we wzorze:

11. Sprawdzić, że podane całki krzywoliniowe nie zależą od kształtu krzywej całkowania.

Całki nie zależą od kształtu krzywej całkowania, gdy w punktach tego obszaru spełniony jest warunek: (jest też warunkiem istnienia pola potencjalnego)

12. Wykorzystując twierdzenie Greena obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną.

13. Za pomocą całki krzywoliniowej zorientowanej obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi łukami zamkniętymi:

14. Obliczyć pracę w podanych polach wektorowych podczas ruchu po wskazanych łukach zorientowanych:

Można zbadać czy pole jest potencjalne i wtedy obliczać ( 11. i 10)

15. Obliczyć podane całki powierzchniowe niezorientowane po wskazanych płatach

np.  å: z=f(x,y)

16. Obliczyć pola powierzchni podanych płatów

17. Obliczyć masy podanych płatów o wskazanych gęstościach powierzchniowych

18. Znaleźć położenie środków masy podanych  jednorodnych płatów materialnych

19. Obliczyć momenty bezwładności  podanych jednorodnych płatów materialnych względem  wskazanych osi.