Równania różniczkowe i całkowe w fizyce i technice
S. Leble
2006
Zastosowanie szeregów potęgowych do rozwiązywania równań różniczkowych
Ogólny kształt równania liniowego drugiego rzędu jednorodnego o współczynnikach zmiennych ma postać:
(1)
Tego typu klasa równań obejmuje wiele zjawisk fizyki i techniki. Wśród nich znajduje się równanie postaci:
(2) określane jako stacjonarne równanie Schrödingera (używane w mechanice kwantowej). Tutaj u(x) ma sens energii potencjalnej (potencjał jednej cząstki punktowej). Np. jeżeli , wówczas otrzymujemy reprezentację przypadku oscylatora harmonicznego (kx2/2).
Analizę tego równania przeprowadzimy poprzez poszukiwanie takiej funkcji , gdzie λ oznacza parametr, od którego zależy rozwiązanie. Stosujemy zaawansowane metody, które pozwalają uzyskać nowe wyrażenia.
Jeżeli funkcja jest analityczna, to rozwijamy ją w szereg potęgowy postaci:
(3)
Poszukiwanie rozwiązania w takiej postaci jest podejściem ogólnym. Dlatego potrzebne są warunki początkowe i brzegowe, by takie równanie rozwiązać. Należy dokładnie przy tym podać, jakie są granice, odcinek rozwiązywania.
Niech . Zakładamy, że i pod takim właśnie warunkiem szukamy rozwiązania. Taki warunek ma swoje fizyczne uzasadnienie. ma sens prawdopodobieństwa odnalezienia cząstki w punkcie x. Stąd nakłada się pewne ograniczenie funkcji dane poprzez unormowanie danej funkcji:
(4)
Podstawmy wobec tego (3) do (1):
(5)
Uwzględniamy (2), co daje:
(6)
a różniczkowanie powyższego daje:
(7)
Z powyższych otrzymujemy:
(8)
Podstawą zastosowanej metody rozwiązywania jest stwierdzenie, że funkcje są liniowo niezależne ( ). Otrzymujemy zatem:
(9)
W wyrażeniu (6) każdy nawias zeruje się. W przypadku funkcji liniowo niezależnych można napisać, że:
(10)
Np. przy dowolnym n następujący szereg jest dowolnie określony.
Z powyższych rozważań widać, że rozwiązaniem y jest wielkość λ. Wprowadzamy nową funkcję:
(11)
Można udowodnić, że jest wielomianem dla . Szereg dla φ można wyprowadzić, powtarzając procedurę, przy czym szereg urywa się dla pewnych wartości λ. Wynika z tego, że , gdy . Taki warunek przy ∞ jest spełniony tylko dla szczególnych wartości λ. Są to wartości własne tego równania lub operatora H.
(12)
Takie podejście jest istotne, gdzie do analizy funkcji specjalnych stosuje się metodę rozwinięcia w szereg. Wprowadzane są tu funkcje Hermite’a .
Ogólnie Metoda szeregów potęgowych (tzw. metoda Frobeniusa (1873, patrz Ince, 365, 396))
Mając ogólne równanie różniczkowe zwyczajne jednorodne rzędu n:
(13)
chcemy znaleźć punkty, w których funkcja y dąży do ∞. Za pomocą przesunięcia można taki punkt sprowadzić do x=0.
Niech x=0 jest punktem, w którym , gdzie . Oznacza to, że w tym punkcie nie istnieje rozwinięcie w szereg Taylora, a w równaniu funkcja z(x) jest już funkcją regularną.
Twierdzenie Równanie (13) posiada rozwiązanie w postaci szeregu
(14)
jeżeli funkcje fk(x) mają osobliwości izolowane w zerze (x=0), bieguny rzędu n-k. Istnieje pewna wartość ε>0 taka, że szereg (14) jest zbieżny w .
Metoda faktoryzacji do równania oscylatora harmonicznego
(15)
Analizie poddajemy różnicę .
(16)
Ten operator w nawiasie jest równoważny do operatora (-1).
(17)
Wracamy do równania oscylatora
(18)
Z tożsamości (16) wynika:
(19)
Można sprawdzić, że
(20)
Pozwala to rozwiązać równanie w taki sposób, że wprowadza się operatory:
(21)
(22)
przy czym , gdzie jest rozwiązaniem równania z operatorem dla wartości własnej . Pamiętać należy, że daje wartość λ większą o n (), a obniża wartość λ o 1 ().
Stąd:
(23)
i
(24)
Równania (23) i (24) przedstawia zagadnienie o wartościach własnych dla rozwiązania równania.
Podsumowanie
Istnieją dwa sposoby tworzenia funkcji specjalnych:
1. za pomocą szeregów potęgowych
(25)
gdzie współczynniki określają funkcję (regularną), a w otoczeniu punktu x=0 szukamy rozwiązania równania różniczkowego.
2. za pomocą metody faktoryzacji
(26)
Tego typu operatory tworzą przestrzeń rozwiązań dla oscylatora kwantowego.
(27)
(28)
Mając równanie to mnożąc przez dostajemy:
(29)
(30)
(31)
(32)
Krok po kroku podwyższeniu ulega wartość E i w ten sposób otrzymujemy różne wartości parametrów. należy do przestrzeni fizycznej (poziomy energii oscylatora harmonicznego) w tym sensie, że .
Uwaga W ten sposób można wygenerować wielomiany Legendre’a i funkcje Bessela. Każda z tych funkcji specjalnych rozwiązuje pewne równania różniczkowe drugiego rzędu.
Rozwiązanie przybliżone. Metody numeryczne.
Wcześniej poznaliśmy sposób rozwiązania przybliżonego poprzez szeregi potęgowe. Pewne uogólnienie daje metoda Frobeniusa. Istnieje jednak jeszcze tzw. metoda kodów numerycznych. Oznacza to, że jego podstawą jest możliwość zastępstwa pochodnej przez różnicę :
, (1)
Istnieje możliwość korzystania z przybliżonego opisu pochodnej, ze wzoru Taylora. Mając funkcję , istnieje rozwinięcie w szereg Taylora obok punktu .
(2)
, (3)
Rozważmy następujące równanie różniczkowe pierwszego rzędu:
Równanie to można zastąpić przez
lub w postaci indeksów jako
Rozważając sytuację fizycznie, to gdy , punkty leżą gęsto na odcinku i to może stanowić już rozwiązanie. Pozostaje problem zbieżności.
Aby udowodnić, że równanie (6) jest rozwiązaniem (5) trzeba udowodnić, że przy . Musi dlatego istnieć przejście graniczne w tym sensie, że .
Wystąpić może pewien problem z określeniem punktów osobliwości. I stąd powstaje pytanie, czy ta metoda daje rozwiązanie tego równania. Podejście do problemu wymaga spełnienia trzech warunków: a) zbieżności, b) prędkości zbiegania, c) stabilności- każde rozwiązanie jest funkcją równania, a małe zmiany powodują małe zmiany rozwiązań.
Na postać zagadnienia fizycznego składa się równanie (5) (albo inne) oraz warunki brzegowe (początkowe).
Rozważmy poniższe zagadnienie brzegowe:
Dla równania pierwszego rzędu to jest układ warunków zawierających w sobie pełną informację. W takim przypadku można udowodnić twierdzenie o istnieniu i stabilności przy pewnych ograniczeniach na funkcji f. Rozwiązanie można zaznaczyć jako . Twierdzenie daje się udowodnić przez reprezentację równania (5) przez równanie algebraiczne (6). Korzystając z niego napiszemy:
To najprostszy algorytm do obliczenia. Poza tym łatwo spostrzec, że układ (8) daje się zastąpić przez (9).
Np. (10)
Czasami można wprost scałkować równanie numeryczne. Tak samo da się policzyć z powyższego
Poza tym występuje możliwość oceny błędu, dokonanego podczas wykonywania obliczeń. Na każdym kroku liczenia pojawia się błąd z nim związany
Algorytm jest taki, ze błąd wzrasta z każdym krokiem liczenia.
Rozwiązanie ogólne zależy od jednego parametru . Jeżeli druga pochodna istnieje i jest ograniczona, to gdy , to błąd również dąży do zera. Ważne bowiem jest, by nie tylko stworzyć wyniki, ale również i podać ocenę dokładności, z której można policzyć rozwiązanie na danym odcinku przy zadanych warunkach brzegowych.
Uwaga
1. W podobny sposób można rozważyć równanie drugiego rzędu, przy czym nie oznacza to jednoczesnej możliwości udowodnienia.
2. Istnieje inne podejście (klasyczne) do twierdzenia o istnieniu i o rozwiązaniu przybliżonym przez równanie całkowe.
Stabilność. Ruch chaotyczny.
Stabilność oznacza ciągłą zależność od warunków początkowych. W teorii równań różniczkowych zwyczajnych stabilność jest stabilnością fizyczną
Ciągłość i różniczkowalność rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
względem parametrów zagadnienia fizycznego ( równanie + warunki brzegowo- początkowe)
Rozważmy . Jest to równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu.
Rozwiązanie jest funkcją współrzędnej x i parametru . Jeżeli funkcja jest funkcją ciągłą o zmiennej , wtedy mówimy, że rozwiązanie jest ciągłym względem warunków brzegowych. Stwierdzenie to ważne jest od strony fizycznej zagadnienia, bowiem pomiary zawsze wykonywane są z pewną dokładnością. Oznacza to, że wartość jest ustalona z pewnym błędem pomiarowym.
Z kolei brak ciągłości oznacza brak możliwości przewidzenia przyszłości w zagadnieniu, co należy do przypadków szczególnych. Hadamard wprowadził tzw. zagadnienie źle uwarunkowane (ill-posed problem). Występują trzy sytuacje „problemowe”:
1.rozwiązanie nie istnieje w pewnych obszarach
2. nie ma jednego rozwiązania
3. rozwiązanie nie ciągle zależy od warunków początkowych albo brzegowych
Podobnie można mówić o zależności parametrów równania:
W tych przypadkach zagadnienie fizyczne jest źle uwarunkowane, lecz istnieje możliwość poprawy tego zagadnienia. Mówimy wówczas wówczas o tzw. zagadnieniach odwrotnych.
Równania różniczkowe cząstkowe
gdzie
Stabilność (statyczność)
Przykład: zegar wahadłowy
...
mhead