środki ciężkości.pdf

(374 KB) Pobierz
36695223 UNPDF
4.1. Środek ciężkości i środek masy
Rozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach m k (k = 1, 2, . . . , n), na
które działają siły ciężkości G k (rys. 4.1). Niech położenie tych punktów względem
punktu odniesienia O określają wektory wodzące r k , jak na rysunku. Wiadomo, że
siły ciężkości poszczególnych punktów są równe iloczynowi masy przez
przyśpieszenie ziemskie, G k = m k g , i są skierowane do środka kuli ziemskiej.
Ponieważ wymiary układów materialnych rozpatrywanych w zastosowaniach
technicznych są pomijalnie małe w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej, siły
ciężkości możemy uważać za siły równoległe. Punkt C położenia wypadkowej sił
ciężkości G nazywamy środkiem ciężkości układu lub ciała materialnego. Punkt
ten nie zależy od obrotu układu lub ciała materialnego.
Skoro siły ciężkości są siłami równoległymi, to do określenia położenia środka
ciężkości C możemy wykorzystać wzory wyprowadzone w p. 3.9.1 na środek
układu sił równoległych. Wektor wodzący r C środka ciężkości C układu punktów
materialnych zgodnie ze wzorem (3.54) będzie wyrażał związek:
1
n
r
kk
G
r
=
k
=
. .)
C
G
Współrzędne środka ciężkości C w prostokątnym układzie współrzędnych
otrzymamy ze wzorów (3.55):
n
n
n
xG
yG
kk
zG
x
=
k
=
1
,
y
=
k
=
1
,
z
=
k
=1
. (4.2)
C
G
C
G
C
G
We wzorach (4.1) i (4.2) G jest ciężarem całkowitym układu materialnego:
1
n
G k
k
=
.
=
W przypadku ciała materialnego o ciągłym rozmieszczeniu masy, jakim jest
bryła, dzielimy je myślowo na n małych elementów o masach ∆m k i ciężarach ∆G k
(rys. 4.2). Po podstawieniu do wzorów (4.1) i (4.2) ∆G k zamiast G k otrzymamy
wzory na przybliżone położenie środka ciężkości bryły:
n
r
k
G
k
r
=
k
=
1
, .)
C
G
kk
kk
36695223.005.png
n
n
n
xG
k
k
yG
k
k
zG
k
k
x
=
k
=
1
,
y
=
k
=
1
,
z
=
k
=
1
. (4.4)
C
G
C
G
C
G
z
m k
m 2
z
m 1
r 2
G 2
r k
G k
C
∆m k
G 1
r 1
r C
C
r C
r k
m n
r n
O
G k
G n
G
y
O
G
y
x
x
Rys. 4.2. Wyznaczanie środka
ciężkości dowolnej bryły
Rys. 4.1. Siły ciężkości jako siły równoległe
Dokładny wzór na promień wodzący r C środka ciężkości C otrzymamy, biorąc
granicę sumy występującej we wzorze (4.3) przy liczbie elementów n dążącej do
nieskończoności i ich wymiarach dążących do zera. Wtedy w miejsce sumy
otrzymamy całkę rozciągniętą na całą bryłę. Zatem wektor wodzący środka
ciężkości C
∑∫
n
n
lim
→∞
r
k
G
k
r
dG
r
=
k
=
1
=
G
. .)
C
G
G
Z kolei współrzędne prostokątne środka ciężkości bryły są określone wzorami:
xdG
ydG
zdG
x
=
G
,y
=
G
,
z
=
G
. (4.6)
C
G
C
G
C
G
Załóżmy obecnie, że pole sił ciężkości jest polem jednorodnym, czyli
przyśpieszenie ziemskie nie ulega zmianie, tzn. g = const w całym rozpatrywanym
układzie materialnym. Możemy wtedy zapisać:
GgmidGgdm
=
= ,
gdzie m jest masą całego układu lub ciała materialnego. Po podstawieniu tych
zależności do wzorów (4.5) i (4.6) i po skróceniu przez g otrzymamy wzory:
36695223.006.png 36695223.007.png
r
dm
r
=
m
, .)
C
m
xdm
ydm
zdm
x
=
m
,y
=
m
,
z
=
m
. (4.8)
C
m
C
m
C
m
Określają one położenie środka masy bryły. W przypadku układu punktów
materialnych środek masy będzie określony przez analogiczne wzory, z tym że
miejsce całek zajmą sumy:
1
n
r
kk
m
r
=
k
=
, .)
C
m
n
n
n
xm
kk
ym
kk
zm
x
=
k
=
1
,
y
=
k
=
1
,
z
=
k
=1
. (4.10)
C
m
C
m
C
m
Ze wzorów (4.7−4.10) wynika, że przy przyjętych założeniach w jednorodnym
polu sił ciężkości środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości. Z tego względu
mówiąc o środku ciężkości, możemy mieć na myśli środek masy i odwrotnie.
Trzeba jednak pamiętać, przy jakich założeniach te dwa punkty się pokrywają.
kk
36695223.008.png
4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej
Bryłą jednorodną nazywamy ciało materialne, w którym masa jest
rozmieszczona równomiernie w całej jego objętości. Dla takich ciał zarówno
gęstość, jak i ciężar właściwy są wielkościami stałymi. Jeżeli ciężar właściwy
oznaczymy przez γ, a objętość bryły przez V, to całkowity ciężar oraz ciężar
elementu objętości bryły możemy wyrazić wzorami:
GV
= γ
,dG=dV.
γ
Po podstawieniu tych zależności do wzorów (4.5) oraz (4.6) i skróceniu przez stały
czynnik γ otrzymamy:
r
dV
r
=
V
, .)
C
V
xdV
ydV
zdV
x
=
V
,y
=
V
,
z
=
V
. (4.12)
C
C
C
V
V
V
Obszarem całkowania jest tutaj cała objętość bryły V.
Z otrzymanych wzorów wynika, że położenie środka ciężkości (środka masy)
brył jednorodnych zależy tylko od ich kształtu geometrycznego.
W wyznaczaniu środków ciężkości pomocne jest następujące twierdzenie,
którego dowód pozostawiamy Czytelnikowi.
Jeżeli bryła jednorodna ma płaszczyznę, oś lub środek symetrii, to środek
ciężkości tej bryły będzie leżał na płaszczyźnie, osi lub w środku symetrii.
Przykład 4.1. Wyznaczyć położenie środka ciężkości jednorodnego ostrosłupa
foremnego o podstawie kwadratu o boku b i wysokości h (rys. 4.3).
Rozwiązanie . Ponieważ oś z jest osią symetrii, środek ciężkości będzie leżał na
tej osi, czyli
C 0
. Wystarczy zatem wyznaczyć jedną współrzędną
z C
z trzeciego wzoru (4.12).
xy
C ==
36695223.001.png
z
h
dz
b z
C
z
O
b
y
b
x
Rys. 4.3. Wyznaczanie środka ciężkości ostrosłupa
zdV
z
=
V
. )
C
V
W mianowniku tego wzoru występuje objętość ostrosłupa:
bh
2
V
=
. )
3
W celu wyznaczenia całki występującej w liczniku wzoru (a) ostrosłup podzielimy
na elementy dV w postaci cienkich płytek kwadratowych, równoległych do
podstawy xy, o boku b z i grubości dz. Objętość tak przyjętego elementu
dV b dz
z
=
2
.
Bok krawędzi elementu znajdziemy z proporcji wynikającej z rysunku:
b
b
z =
hz
h
, stąd ( )
b
z =−.
b
h
hz
36695223.002.png 36695223.003.png 36695223.004.png
Zgłoś jeśli naruszono regulamin