Rezonans w obwodach elektrycznych

Po omówieniu pracy dwójników idealnych należy zająć się praca dwójników zawierających elementy L i C w stanach charakterystycznych. Stanami takimi są rezonanse elektryczne.

2.1  Pojęcia podstawowe

       Rezonans jest to taki stan pracy obwodu elektrycznego, w którym reaktancja wypadkowa obwodu lub jego susceptancja wypadkowa jest równa zeru.

Obwodami rezonansowymi są nazywane obwody elektryczne, w którym występuje zjawisko rezonansu.

W stanie rezonansu napięcie i prąd na zaciskach rozpatrywanego obwodu są zgodne w fazie, tzn. argument impedancji zespolonej obwodu lub admitancji zespolonej jest równy zeru (j=0).

Obwód będący w stanie rezonansu nie pobiera ze źródła mocy biernej, a mówiąc ściśle następuje zjawisko kompensacji mocy. Moc bierna indukcyjna pobierana przez obwód jest równa mocy biernej pojemnościowej. Ponieważ, jak wiadomo, znaki mocy biernej, indukcyjnej i pojemnościowej są przeciwne, dlatego w warunkach rezonansu całkowita moc bierna obwodu też jest równa zeru.

Częstotliwość, przy której reaktancja wypadkowa lub susceptancja wypadkowa obwodu jest równa zeru, jest nazywana częstotliwością rezonansową i oznaczana fr. Obwód elektryczny osiąga stan rezonansu, jeśli częstotliwość doprowadzonego do obwodu napięcia sinusoidalnego jest równa częstotliwości rezonansowej.    

W zależności od sposobu połączenia elementów R,L,C, w obwodzie może wystąpić zjawisko rezonansu napięć lub zjawisko rezonansu prądów.

2.2  Rezonans napięć

        Rezonans występujący w obwodzie o szeregowym połączeniu elementów R, L, C, charakteryzujący się równością reaktancji indukcyjnej i reaktancji pojemnościowej nazywamy rezonansem napięć lub rezonansem szeregowym.

Załóżmy, że do dwójnika szeregowego RLC doprowadzono napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej zespolonej równej U i o pulsacji w= 2πf. Dla rozpatrywanego obwodu słuszne są zależności:

96

UR=RI

97

                                                          UL=jXLI

98

                                                        UC=-jXCI

napięcie na zaciskach dwójnika można przedstawić zależnością:

99

U=UR+UL+UC =[R+j(XL-XC)]I =Z I

a)

        UR                      UL           UC

U

b)

Im

UC=-jXCI

UL=jXLI

UR=U=RI

Re

I

Rys 2.1

a)      schemat obwodu

b)     wykres wektorowy dla obwodu w stanie rezonansu

Zgodnie z podaną definicją, rezonans napięć wystąpi wówczas, gdy X=0, tzn.

100

101

czyli:

Częstotliwość, przy której jest spełniony  ten warunek, nazywa się częstotliwością   rezonansowa szeregowego obwodu rezonansowego

W stanie rezonansu szeregowego słuszne są więc następujące zależności:

103

Z = R

104

                                                        U = UR

105

                                                                 UL + UC =0

106

                                                           UL = UC

W wyniku powyższych rozważań stwierdzamy, że w stanie rezonansu napięć:

·         reaktancja pojemnościowa równa się reaktancji indukcyjnej

·         impedancja obwodu jest równa rezystancji, a zatem argument impedancji zespolonej jest równy zeru, a oznacza iż wartość  współczynnika mocy cos j =1

·         napięcie na indukcyjności jest równe co do modułu napięciu na pojemności, a suma geometryczna tych napięć jest równa zeru

·         wobec X=0, prąd w obwodzie może  osiągnąć bardzo dużą wartość, gdyż przy małej rezystancji R, źródło pracuje w warunkach zbliżonych do stanu zwarcia

Wprowadzimy kilka pojęć charakteryzujących obwód rezonansowy.

Impedancją falową ρ nazywamy reaktancję indukcyjną lub pojemnościową obwodu przy częstotliwości rezonansowej, czyli

107

Dla obwodu szeregowego RLC będącego w warunkach rezonansu napięć, dobroć

108

czyli

109

Jeżeli uwzględnimy impedancję falową ρ  (107) , to otrzymamy ostatecznie

110

W stanie rezonansu napięcie na rezystancji jest równe napięciu doprowadzonemu do obwodu, tzn. UR=U. Z tego wynika , że dobroć obwodu Q określa, ile razy napięcie na indukcyjności lub napięcie na pojemności jest większe od napięcia na zaciskach obwodu.

Jeśli rezystancja obwodu rezonansowego jest mała, to dobroć obwodu jest duża i napięcie na elementach reaktancyjnych znacznie przekracza wartość napięcia doprowadzonego. Należy więc liczyć się ze zjawiskiem przepięcia. Obwód szeregowy RLC może znajdować się w warunkach bliskich rezonansu. Wówczas częstotliwość źródła f (lub pulsacja ω) jest różna od częstotliwości rezonansowej fr . Mówimy, że obwód jest odstrojony od rezonansu  lub posługujemy się pojęciem rozstrojenia.

111

Rozstrojeniem bezwzględnym ζ nazywamy stosunek reaktancji obwodu do jego rezystancji, czyli

112

Z tego wynika że:

W miarę zbliżania się wartości pulsacji w do wr rozstrojenie bezwzględne maleje tez kąt j.

Rozstrojeniem względnym δ nazywamy stosunek  reaktancji obwodu do jego impedancji falowej, czyli

113

Wyrazimy rozstrojenie względne w nie co innej postaci. Korzystając ze wzoru na ρ, możemy wyrazić indukcyjność L i pojemność C w zależności od częstotliwości rezonansowej i impedancji falowej, czyli

114

115

Reaktancja obwodu szeregowego RLC

116

a po podstawieniu wzorów na L i na C

117

118

Po uwzględnieniu wzoru definicyjnego na δ, otrzymamy

119

Stosunek częstotliwości źródła do częstotliwości rezonansowej oznaczymy przez

wobec tego ostatecznie

120

W miarę zbliżania się wartości częstotliwości  f do fr rozstrojenie względne maleje do zera.

Korzystając z przytoczonych wzorów, można uzyskać następujący związek między rozstrojeniem bezwzględnym a rozstrojeniem względnym.

121

Dobrą ilustracja zjawisk zachodzących w warunkach rezonansu i w jego pobliżu są tzw. krzywe  rezonansowe, przedstawiające przebieg wielkości występujących w obwodzie rezonansowym w funkcji częstotliwości.

Na rysunku poniżej pokazano charakterystyki XL, XC, Z,j,I w funkcji częstotliwości f.

Z rysunku wynika, że w miarę zbliżania się do częstotliwości rezonansowej f r impedancja obwodu maleje do wartości R, prąd zwiększa się do wartości maksymalnej , kat fazowy j zbliża się do zera.

Rys. 2.2 Charakterystyki częstotliwościowe XL, XC, Z, j, I

2.3 REZONANS PRĄDÓW

...