Wartość oczekiwana. Kowariancja.

  =   ,  

                                    gdy X, Y są dyskretne,

   =  , 

                                     gdy X, Y są ciągłe. 

Uwaga.  Dla   lub otrzymujemy wartości oczekiwane brzegowych zmiennych losowych  X  lub Y, gdyż 

(a)         w przypadku dyskretnym

  =  ==.

  =    = =

(b)        w przypadku ciągłym

=  = 

=.

Analogicznie otrzymujemy

= .

Stwierdzenie. Niech c będzie dowolną stałą, a ,  , zmiennymi losowymi

jednowymiarowymi. Wówczas

,

.

Stwierdzenie. Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne, to     

.

Definicja.   Niech  X i Y  będą zmiennymi losowymi o łącznej funkcji prawdopodobieństwa ( gęstości ) . Kowariancją zmiennych  X i  Y  nazywamy liczbę:

.

Stąd:   ,

                                             gdy X, Y są dyskretne

       ,

                                              gdy X, Y są ciągłe. 

Notacja:  Zamiast    często  piszemy  Cov (X,Y). 

Stwierdzenie.   Cov(X,Y)  =  .

Twierdzenie. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

                         Cov(X,Y)  =  0.

Uwaga.  Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe.

Twierdzenie.  Dla dowolnych stałych a, b

Var(  =

                       Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y).

Wniosek.  Jeśli  zmienne losowe X i  Y  są niezależne, to

Var()  =  Var(X)  +  Var(Y).

Definicja.   Współczynnikiem korelacji między zmiennymi  losowymi X i Y  nazywamy liczbę:

.

Zadanie. Zmienna losowa ma rozkład ciągły o gęstości

   dla  .

a)       Wyznaczyć stałą C.

b)       Obliczyć kowariancję pomiędzy zmiennymi X, Y.

c)       Czy zmienne losowe X, Y są niezależne ?

a)       = = C =

= C = C ( 1/2 - 1/6 ) = 1. Stąd  C = 3.

b)      = =

= 3 = 3 = 3 =

        = 3/8

=    = =

=  3 =   = 1 –  1/4  =    3/4

=  = =

= 3 = 3 = 3( =

= 0,9

Cov(X,Y) = 0,9 – (3/8)(3/4) = 99/160.

(c) Cov(X,Y) 0, więc zmienne nie są niezależne, tzn. są zależne.

Własności współczynnika korelacji

(i)         

(ii)    Jeśli  a i  b są stałymi, oraz jeśli

Y  = a + bX,

             to  

                        gdy   

(iii)    Jeśli ,  to między zmiennymi losowymi X, Y              istnieje liniowa zależność funkcyjna.

(iv)    Jeśli zmienne losowe  X  i  Y  są niezależne, to

Interpretacja.  Współczynnik korelacji jest miarą zależności liniowej między zmiennymi losowymi. 

Dwuwymiarowy rozkład normalny

Zmienna losowa ma dwuwymiarowy rozkład normalny, jeśli ma gęstość postaci:

exp ,

gdzie

,

  ,  stałe ,, spełniają warunki > 0, > 0,  . 

Notacja: 

Twierdzenie.  Jeśli  , to

(i)       X  ~  ,       Y  ~  .

(ii)     Cov(X,Y) = .

(iii)   X, Y  są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy = 0.

Twierdzenie. Zmienna losowa (X,Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny wtedy i tylko wtedy gdy zmienna losowa aX + bY ma rozkład normalny, a, b są dowolnymi stałymi.

Zadanie. Niech zmienna losowa X oznacza dzienną wartość sprzedaży ( w 100 zł. ) dyskietek a zmienna losowa Y dzienną wartość sprzedaży papieru kserograficznego ( w 100 zł.). Wiadomo, że dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład normalny o parametrach:  , , , . (a) Obliczyć wartość średnią oraz wariancję łącznej wartości sprzedaży w ciągu 10 dni, jeśli wartości sprzedaży obu artykułów w kolejnych dniach są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach takich jak rozkład zmiennej . (b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że łączna wartość sprzedaży w ciągu 10 dni przekroczy 10000 zł. 

(a) Łączna wartość sprzedaży:

.

(100 zł.)

Średnia łączna wartość sprzedaży to 11000 zł.

Var() = 10Var(X +Y) = 10[Var(X)  + Var(Y) + 2Cov(X,Y)] = 10( =

= 30 ( zł. ).

(b)  .  Zatem po standaryzacji , skąd

...