Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych - A. Gawęcki.pdf - Mechanika konstrukcji i materiałów - sylwciac27

Część 1

1. STAN NAPRĘŻĘNIA

Í Ï Î

STAN NAPRĘŻENIA

1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE

Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0 , poddane działaniu sił będących w rów-

nowadze (rys. 1.1). Rozróżniamy tutaj dwa rodzaje sił:

siły objętościowe (masowe).

Ponieważ rozpatrywane ciało jest z założenia ciągłe, na jego powierzchni można wydzielić nieskoń-

czenie małe elementy dS 0 , a z jego objętości nieskończenie małe elementy dV 0 .

Rys. 1.1

Siłę powierzchniową działającą w danym punkcie na element dS 0 określamy jako wektor p dS 0 . Skoro

wielkość p dS 0 przedstawia siłę, współrzędne wektora p muszą być wielkościami wyrażonymi w jednost-

kach siły na jednostkę powierzchni, np. [kN/m 2 ]. Wektor p nazywa się czasami gęstością sił powierzch-

niowych.

Przykładami sił powierzchniowych mogą być parcie cieczy na ciało w niej zanurzone lub siły oddziały-

wania gruntu na mur oporowy.

Siłę objętościową działającą w danym punkcie na element dV 0 określamy jako wektor G dV 0 . Wynika

stąd, że współrzędne wektora G są wyrażone w jednostkach siły na jednostkę objętości, np. [kN/m 3 ].

Wektor G nazywamy gęstością sił objętościowych. Przykładem sił objętościowych mogą być siły ciężko-

ści lub siły bezwładności, które są proporcjonalne do masy i odpowiednich przyspieszeń. Dlatego siły

objętościowe często nazywa się również siłami masowymi .

1.2.WEKTOR NAPRĘŻENIA

V . Na po-

wierzchni kontaktu tych części wystąpią siły wzajemnego oddziaływania. Ciągłość ośrodka pozwala

przyjąć, że rozkład tych sił na powierzchni S leżącej wewnątrz ciała jest również ciągły. Poza tym, sto-

sownie do trzeciej zasady Newtona (zasada akcji i reakcji), wiadomo, że w każdym punkcie odpowiadają-

ce sobie siły odniesione do części I i II są liczbowo równe, ale przeciwnie skierowane.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

siły powierzchniowe,

Pod wpływem sił powierzchniowych i masowych ciało ulegnie odkształceniu.

W konfiguracji odkształconej wydzielimy myślowo z ciała objętość V ograniczoną powierzchnią S (rys.

1.2). W ten sposób ciało zostało podzielone na część I o objętości V i część II o objętości V 0

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

Rys. 1.2

Rozpatrzmy teraz pewien element pola dS , styczny do powierzchni S w punkcie B . Przez n oznaczymy

wektor normalny do powierzchni S w tym punkcie. Na element dS działają wypadkowa siła d F i wypad-

kowy moment d M , będące odpowiednio wynikiem redukcji sił wzajemnego oddziaływania, rozmiesz-

czonych na elemencie dS . Wielkość

() ( ) lim

nazywamy wektorem naprężenia w punkcie B, odniesionym do płaszczyzny o normalnej n.

Łatwo zauważyć, że omówiona w p. 1.1 gęstość sił powierzchniowych jest po prostu wektorem naprę-

żenia na powierzchni ograniczającej ciało.

Zgodnie z rys. 1.3 wektor naprężenia możemy rozłożyć na dwie składowe: normalną s ( n ) i styczną

t ( n ) do elementu dS o normalnej n . Obliczenie tych składowych objaśniono w p. 1.6.

Rys. 1.3

Wzór (1.1) definiuje wektor naprężenia, będący wynikiem występowania elementarnej siły wypadko-

wej d F . Podobnie można by zdefiniować wektor wynikający z występowania elementarnego momentu

wypadkowego d M :

m () ( )

lim

M S jest równa zeru, co pozwala całkowicie pominąć

istnienie naprężeń momentowych. Wniosek ten wydaje się oczywisty, jeśli uwzględnimy fakt, że wymia-

ry elementu powierzchniowego dS są nieskończenie małe, a zatem ramiona sił wewnętrznego oddziały-

wania na tym elemencie dążą do zera. Naprężenia momentowe powinny być jednak uwzględnione wtedy,

gdy gradienty sił d F w danym punkcie są bardzo duże. Może się wówczas okazać, że granica stosunku

∆ ∆

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Dla odróżnienia od wektora naprężeń „siłowych” f ( n ) symbol m ( n ) oznacza tak zwany wektor naprężeń

„momentowych” . Zarówno f ( n ) , jak i m ( n ) są funkcjami położenia punktu B na powierzchni dS oraz kie-

runku o normalnej n do powierzchni S 0 w tym punkcie.

W większości przypadków granica stosunku

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

M S istnieje i jest różna od zera. Podobna sytuacja zachodzi, gdy z wymiarami elementu powierzch-

niowego

S nie można zmierzać do zera wobec skończonych wymiarów cząstek lub ziaren ciała rzeczy-

wistego, traktowanego jako ośrodek ciągły. Mamy wtedy do czynienia z ciałami o pewnej mikrostruktu-

rze, w których odrzucenie naprężeń momentowych może prowadzić do istotnych błędów.

Uwzględnienie naprężeń momentowych wymaga uogólnienia klasyfikacji sił działających na ciało

oraz wprowadzenia dodatkowych wewnętrznych stopni swobody przy opisie kinematyki ośrodka. Uogól-

nioną w ten sposób teorię ośrodków ciągłych sformułowali bracia Cosserat już w 1909 roku.

W dalszych rozważaniach, stosownie do klasycznej koncepcji ośrodka ciągłego, pominiemy wpływ

naprężeń momentowych. Na niektóre konsekwencje przyjęcia modelu ośrodka Cosseratów zwrócimy

jednak uwagę w następnych rozdziałach.

1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE

Przyjmiemy obecnie, że położenie badanego punktu jest ustalone. Jeśli teraz będziemy zmieniać we-

wnątrz ciała nachylenie elementu powierzchniowego dS przechodzącego przez ten punkt, to okaże się, że

zmianie podlegać będą również współrzędne wektora naprężenia. Jeżeli potrafimy określić wektor naprę-

żenia dla dowolnego danego wektora normalnego n , to mówimy, że znamy stan naprężenia w punkcie .

Powstaje pytanie, co jest niezbędne do określenia stanu naprężenia. Okazuje się, że stan naprężenia w

punkcie jest znany, gdy znane są wektory naprężenia dla trzech różnych płaszczyzn przechodzących

przez badany punkt. Ze względów rachunkowych wygodnie jest, jeżeli są to trzy wzajemnie prostopadłe

płaszczyzny układu kartezjańskiego. Osie takiego układu oznaczamy zazwyczaj przez x, y, z (zapis trady-

cyjny) lub

co bardzo uprości wszystkie wzory

, , (zapis wskaźnikowy), przy czym

xxx yxz

przez xx x

12 3

, , .

W dalszych rozważaniach tej części będziemy stosować będziemy drugi sposób oznaczania, jednakże

pewne wyprowadzenia i wzory zapiszemy również sposobem tradycyjnym. Ułatwi to Czytelnikowi z

jednej strony zapamiętanie podstawowych formuł, z drugiej zaś pozwoli na konfrontację wyników z pod-

ręcznikami, w których stosuje się zapis tradycyjny.

Wszystkie rozważania odnoszą się do prawoskrętnego układu współrzędnych. W zapisie wskaźniko-

wym współrzędne wektorów oznaczamy podobnie jak współrzędne punktów, natomiast wersory, czyli

wektory jednostkowe ijk

, , oznaczamy odpowiednio przez ee e

12 3

, , . Dla przykładu zapiszemy wektor

A w sposób tradycyjny i wskaźnikowy:

zapis tradycyjny Ai

=++

AA A

z ,

zapis wskaźnikowy Ae

AA A

11 2 2

3 3

W zapisie wskaźnikowym przyjęto więc, że:

AAAAAA

e j

Przejdziemy obecnie do wyprowadzenia wzorów na obliczenie współrzędnych wektora naprężenia

f ( n przyporządkowanego płaszczyźnie o danym nachyleniu, określonym jednostkowym wektorem nor-

malnym n .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

∆ ∆

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

Rys. 1.4

Rozpatrzmy element czworościenny, przedstawiony na rysunku 1.4 znajdujący się w stanie równowa-

gi po odkształceniu. Element ten jest wycięty w otoczeniu badanego punktu. Ciągłość ośrodka pozwala

przyjąć, że elementarny czworościan ma nieskończenie małe wymiary. Interesuje nas wektor f ( n ) działa-

jący na ścianę ABC o polu dS i nachyleniu określonym wektorem n :

11 2 2 3 3

n jj

Z uwagi na to, że wektor n ma długość równą jedności, między jego współrzędnymi zachodzi zwią-

zek:

nnn

++=

. .)

Rys. 1.5

Załóżmy, że w badanym punkcie znamy stan naprężenia, określony przez trzy wektory naprężeń

() ()

działające odpowiednio na ściany dS dS dS

12 3

, prostopadłe do płaszczyzn układu. Pola

j (

1 2 3 obliczamy ze wzorów (por. rys. 1.5 a ):

, , )

cos( , ) ,

cos( , ) .

n x dS

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

= n

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

Rys. 1.6

Zwróćmy uwagę na to, że j -ta współrzędna wektora n równa się kosinusowi kąta zawartego między wek-

torem n a osią x j (por. rys. 1.5 b ) :

cos( , ),

123. .)

, ,

W związku z tym równania (1.4) można zapisać krócej:

n dS

12 3.

, ,

Wektory naprężenia f () (

12 3 działające na ściany dS j zapiszemy następująco (rys. 1.6):

, , ),

(1)

11 1

12 2

13 3

()

21 1

22 2

23 3

()

31 1

32 2

33 3

1 2 3 oznacza j -tą współrzędną wektora naprężenia f ( i ) . Umawiamy się zatem, że

pierwszy indeks i oznacza płaszczyznę (tzn. indeks normalnej do płaszczyzny), a indeks j

gdzie

ij ij

, , )

kierunek

działania składowej (tzn. numer osi współrzędnych, do której jest równoległa dana składowa). Wynika

stąd, że naprężenia normalne są równowskaźnikowe (

11 22 33

), a naprężenia styczne różnowskaź-

23 32 31 13 12 21 .

Wyjaśnimy jeszcze przyjęte tutaj zasady znakowania naprężeń

σ σ σ σ σ σ

)

ij . Dodatnie naprężenia normalne

mają zwroty zgodne ze zwrotem normalnej do płaszczyzny, tzn. wywołują rozciąganie . Znakowanie na-

prężeń normalnych, jak widać, nie zależy od przyjętego układu osi współrzędnych. Nie zachodzi to jed-

nak w przypadku naprężeń stycznych: na płaszczyznach dodatnich dodatnie naprężenia styczne mają

zwrot zgodny ze zwrotami osi układu współrzędnych, na płaszczyznach ujemnych dodatnie naprężenia

styczne mają zwrot przeciwny do zwrotu osi układu. Znak płaszczyzny określa zwrot wektora normalne-

go; jeśli jest on zgodny ze zwrotem odpowiedniej osi układu, to płaszczyzna jest dodatnia, w przeciwnym

razie ujemna. Na rysunku 1.4 płaszczyzny 1, 2 i 3 są ujemne, zatem zaznaczone naprężenia styczne są

dodatnie, gdyż nie są zgodne ze zwrotami osi układu współrzędnych. Omówione wyżej znakowanie jest

znakowaniem matematycznym. Znakowanie inżynierskie, stosowane wyłącznie w zadaniach dwuwymia-

rowych (płaskich) omówimy w p. 1.8.

Dla obliczenia współrzędnych wektora f ( n ) wykorzystamy równania równowagi rzutów sił na osie

xx x

12 3

. Suma rzutów sił na oś x 1 w rozważanym czworościanie przedstawia się następująco :

f dS

()

G dS dx

111

(

11 12 13 0

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

σ σ σ

nikowe (

)

Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych - A. Gawęcki.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: