Mechanika jest nauką o ruchu ciał materialnych oraz o wzajemnym oddziaływaniu mechanicznym tych ciał. Ruch jest najprostszym i najczęstszym ze zjawisk w przyrodzie. Przez ruch rozumiemy zmianę położenia ciała materialnego względem innych ciał materialnych, które wzajemnego położenia nie zmieniają, czyli – jak mówimy pozostają w spoczynku.
Najprostszym modelem ciała jest punkt materialny. Jest to punkt geometryczny, w którym jest skupiona cała masa m ciała. Drugim modelem w mechanice jest ciało sztywne. Jest to układ punktów materialnych niezmiennie ze sobą związanych. W ciała sztywnym odległości poszczególnych punktów od siebie pozostają w czasie ruchu niezmienione. Również dowolne siły przyłożone do takiego ciała nie zmieniają odległości pomiędzy jego poszczególnymi punktami.
Siłą nazywamy mechaniczne oddziaływanie jednego ciała na drugie. Oddziaływanie to może być bezpośrednie, gdy zachodzi przy zetknięciu ciał, lub pośrednie, objawiające się na odległość. Wewnątrz każdego ciała działają również pewne siły. Są to siły wewnętrzne, które dzielimy na siły międzycząsteczkowe i napięcia. Pierwsze z nich są siłami działającymi pomiędzy poszczególnymi cząsteczkami materii. Napięcia są to siły powstałe wewnątrz ciała na skutek działania nań sił zewnętrznych.
UKŁAD SIŁ I ICH PODZIAŁ
Zbiór dowolnej liczby sił jednocześnie działających na ciało nazywamy układem sił. W zależności od położenia linii działania sił układ możemy podzielić na dwa rodzaje:
- Układy płaskie
- Układy przestrzenne.
Układ płaski odznacza się tym, że wszystkie siły tworzące ten układ leżą w jednej płaszczyźnie. Układy te możemy podzielić na:
- Układy płaskie zbieżne,
- Układy płaskie równoległe,
- Układy płaskie dowolne.
Układem płaskim zbieżnym nazywamy zbiór ( w jednej płaszczyźnie) sił, których linię działania przecinają się w jednym punkcie.
Układem płaskim równoległym nazywamy zbiór ( w jednej płaszczyźnie) sił, których linie działania są do siebie równoległe. Szczególnym przypadkiem takiego układu są siły działające wzdłuż wspólnej prostej.
Układem płaskim dowolny jest zbiorem (w jednej płaszczyźnie) sił o różnych kierunkach działania.
WIĘZY. REAKCJE WIĘZÓW
Ciało, które może dowolnie przemieszczać się w przestrzeni, nazywamy ciałem swobodnym. Takim ciałem jest np. lecący w powietrzu kamień lub unoszona przez wiatr kartka papieru. Ciałem nieswobodnym nazywamy ciało, które nie może wykonywać dowolnych ruchów. Jest to ciało, którego ‘swoboda’ została ograniczona jakimiś zewnętrznymi czynnikami. Czynniki ograniczające swobodę ciała nazywamy więzami. Ciało swobode (bez więzów) ma sześć stopni swobody. Możemy to sobie interpretować następująco. W przestrzennym układzie współrzędnych x, y, z ciało swobodne może przesuwać się wzdłuż osi x, y, z(trzy ruchy składowe) oraz może obracać się dookoła trzech osi (też trzy ruchy składowe). Tak, więc ciało swobodne ma 6 stopni swobody, gdyż w przestrzeni może wykonywać 6 ruchów składowych (trzy przesunięcia i trzy ruchy obrotowe). Zgodnie z zasada działania i przeciwdziałania więzy oddziaływają na ciało z siłą równą naciskowi na więzy, lecz zwróconą przeciwnie. Siły, jakimi więzy oddziałują na ciało nieswobodne, nazywamy reakcjami więzów.
Rodzaje więzów:
- Podpory ruchome. Należą do nich: podparcie na idealnie gładkiej powierzchni, podparcia na ostrzu – pryzmacie i podparcia w łożysku ruchomym. Reakcja podpory ruchomej jest zaczepiona w punkcie styczności ciała z podporą i ma zawsze kierunek prostopadły do powierzchni podpieranej (niezależnie od kierunków sił działających na ciało podpierane). Podporę ruchomą oznaczamy schematycznie za pomącą trójkąta równobocznego dodatkowo podkreślonego linią, która przedstawia powierzchnię podpierająca.
- Więzy wiotkie. Zaliczamy tu sznury, liny, łańcuchy itp. Siła w takich więzach jest zawsze skierowana wzdłuż osi tych więzów. Podpora ruchoma i więzy wiotkie należą do więzów charakteryzujących się jedną niewiadomą podporową. W więzach tych znamy kierunek i punkt zaczepienia reakcji. Jedną niewiadomą jest wartość reakcji (zwrot reakcji, jak zauważymy na przykładach, otrzymamy w toku obliczania jej wartości).
- Podpora stała. Tego rodzaju więzy uniemożliwiają przesunięcie ciała, lecz umożliwiają obrót wokół punktu podparcia.
Siłami zbieżnymi nazywamy siły, których linie działania są zbieżne w jednym punkcie. Dowolny układ złożony z dużej liczby sił możemy zastąpić układem prostszym, składającym się z mniejszej liczby sił, którego skutek działania będzie taki sam jak działanie układu pierwotnego, bardziej złożonego. W szczególności, kiedy jakiś złożony układ da się zastąpić jedną siłą, to siłę tę nazywamy wpadkową. Postępowanie związane ze znajdowaniem wypadkowej nazywamy składaniem sił.
Siły zbieżne możemy składać:
- metodą równoległoboku
- metodą wieloboku
Płaski układ sił zbieżny jest w równowadze, jeżeli wielobok sił tego układu jest zamknięty. Jest to tzw. Wykreślny warunek równowagi sił zbieżnych.
MOMENTY SIŁY WZGLĘDEM PUNKTU
Momentem siły względem punktu nazywamy wektor mający następujące cechy:
- Wartość liczbową równą iloczynowi (F * r) wartości siły przez jej ramię Mo = F * r
- Kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez linię działania siły i biegun.
- Zwrot momentu przyjmujemy zgodnie z reguła śruby o gwincie prawozwojnym (wyobraźmy sobie, że kierunek momentu jest osią śruby o gwincie prawozwojnym; obracająca się pod wpływem momentu śruba będzie przesuwać się w tę stronę, w którą zwrócony jest wektor momentu).
- Momentem głównym dowolnego układu sił na płaszczyźnie względem przyjętego bieguna O nazywamy sumę algebraiczną momentów poszczególnych sił tego układu względem tego samego bieguna O.
Moment główny nazywamy czasem momentem wypadkowym.
Moment główny sił zbieżnych względem dowolnego bieguna jest równy momentowi wypadkowej tych sił względem tego bieguna.
Para sił nazywamy układ dwóch sił równych wartości i jednakowych kierunkach, lecz o przeciwnych zwrotach (zakładamy, że linie działania sił nie pokrywają się).
Wielobokiem sznurowym otwartym nazywamy taki wielobok, którego skrajne boki przecinają się w jednym punkcie lub są do siebie równoległe (ale nie leżą na wspólnej prostej).Taki wielobok sznurowy, którego pierwszy i ostatni bok leżą na jednej prostej, nazywamy zamkniętym.
Istnieją, więc dwa wykreślne warunki równowagi dowolnego układu płaskiego:
1) wielobok sił musi być zamknięty,
2) wielobok sznurowy musi być zamknięty.
Istnieją wiec trzy analityczne warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił:
1.suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x musi się równać zeru,
2.suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y musi się równać zeru,
3.suma algebraiczna momentów wszystkich sił (moment główny) względem dowolnego bieguna musi się równać zeru.
Zadanie statyczne, w którym występują trzy niewiadome reakcje, i dla którego możemy ułożyć trzy warunki równowagi, nazywa zadaniem statycznie wyznaczalnym. Jeżeli w zadaniu statycznym liczba niewiadomych reakcji jest większa od liczby równań równowagi, to takie zadanie nazywamy statycznie niewyznaczalnym.
Belką nazywamy element konstrukcyjny, który przenosi obciążenie konstrukcyjne. Z takimi elementami spotykamy się w technice bardzo często. Obciążeni zginające przenoszą belki mostowe, stropowe, osie wagonów, osie samochodów, wały maszyn itp.
Wykreślne wyznaczanie reakcji belek. Polega ono na zastosowaniu wykreślnych warunków równowagi układu płaskiego (wielobok sił i wielobok sznurowy muszą być zamknięte).
KRATOWNICA PŁASKIE
Kratownica nazywamy sztywny układ prętów połączonych ze sobą prętami (węzłami). Załóżmy, że wszystkie węzy i obciążające je siły leżą w jednej płaszczyźnie. Taka kratownice nazywamy kratownicą płaską. Pręty ograniczające zarys kratownicy od góry i od dołu nazywamy pasami.
Rozwiązanie kratownicy polega na wyznaczeniu reakcji występujących w punktach podparcia oraz sił wewnętrznych rozciągających lub ściskających poszczególne pręty. Każdy węzeł kratownicy możemy uważać za punkt zbieżności pewnej liczby sił wewnętrznych i zewnętrznych.
Warunek konieczny do tego, żeby kratownica była statycznie wyznaczalna, czyli żeby można ją było rozwiązać metodami poznanymi w statystyce.
P = 2 w – 3
Przy określonym obciążeniu może się zdążyć, że niektóre pręty kratownicy nie będą ściskane ani rozciągane. Takie pręty nazywamy zerowymi. Należy pamiętać, że pręty nie pracujące przy określonych obciążeniach mogą pracować w razie zmiany obciążenia. Istnieje kilka sposobów określania sił wew. w prętach kratownicy:
- metoda wykreśla Cremony
- metoda analityczna Rittera.
Metoda Cremony – sprowadza się do wykonania następujących kolejnych czynności:
- sporządzenie rysunku kratownicy w dowolnie przyjętej skali
- wyznaczenie sposobem wykreślnym lub analitycznym reakcji w podporach,
- przyjęcie podziałki,
- oznaczenie kolejnymi literami pól zew. i wew. na kratownicy,
- wyznaczenia na planie sił tych punktów, które odpowiadają polom zew. na kratownicy z zachowaniem obiegu
- wyznaczenia na planie sił, zgodnie z przyjętym obiegiem, punktów odpowiadających polom wew. na kratownicy,
- zestawienie w tabelce wartości sił wew. z oznaczeniem znakiem ‘plus’ sił rozciągających, a znakiem ‘minus’ sił ściskających.
Istnieją również metody, za pomocą których możemy obliczyć siły wew. tylko w pewnych, przez nas wybranych, prętach kratownicy. Do takich należy metoda Rittera. Daje ona możliwość określenia sił wew. w trzech prętach kratownicy nie przecinających się w jednym punkcie.
Metoda Rittera – kolejność czynności przy jej stosowaniu:
- wyznaczamy analitycznie lub wykreślnie reakcje występujące w podparciach kratownicy,
- przecinamy kratownice przez trzy pręty, w których chcemy określić siły wew.,
- jedną część kratownicy odrzucamy (najchętniej tę, na którą działa więcej sił wew.,
- zakładamy, że przecięte pręty są rozciągane trzema siłami zew.,
- dla tych trzech sił i dla pozostałych sił zew. działających na rozważaną część kratownicy układamy trzy analityczne warunki równowagi
- z równań tych znajdujemy trzy niewiadome, przy czym jeśli któraś ze znalezionych sił będzie miała znak minus, to znacz to, że pręt w którym ona działa, jest ściskany.
Należy pamiętać, że można przecinać myślowo tylko trzy pręty, gdyż istnieją tylko trzy analityczne warunki równowagi układu płaskiego. Pręty przecięte nie mogą wychodzić z jednego węzła, gdyż siły w tych prętach tworzyłyby układ zbieżny. Wiemy natomiast, że płaski układ sił zbieżnych ma dwa analityczne warunki równowagi.
PRZESTRZENNY UKŁAD SIŁ
Układami sił, których linie działania nie leżą na jednej płaszczyźnie, lecz są dowolnie rozmieszczone w przesuszeni będziemy nazywali układem przestrzennym. Stosowane do rozwiązywania układów płaskich metody wykreślne nie będą miały zastosowania do układów przestrzennych.
MOMENTY SIŁY WZGLĘDEM OSI
Momentem siły względem osi nazywamy moment rzutu tej siły na płaszczyznę prostopadłą do osi – względem punktu przecięcia się osi z płaszczyzną.
Moment siły względem osi jest równy zeru wtedy, gdy siła i oś leżą w jednej płaszczyźnie.
Moment siły względem osi jest równy rzutowi na tę oś momentu danej siły względem dowolnego bieguna leżącego na tej osi.
Warunki równowagi dowolnego przestrzennego układu sił
Ciało obciążone dowolnym przestrzennym układem sił będzie w równowadze, gdy będzie spełnionych sześć następujących warunków równowagi:
1.suma algebraicznych rzutów wszystkich sił na oś x musi być równa zeru, czyli S F i x = 0;
2.suma algebraicznych rzutów wszystkich sił na oś y musi być równa zeru, czyli S F i y = 0;
3.Suma algebraicznych rzutów wszystkich sił na oś z musi być równa zeru, czyli S F i z = 0;
4.Suma algebraicznych wszystkich sił względem osi x musi być równa zeru, czyli S M i x = 0;
5.Suma algebraicznych wszystkich sił względem osi y musi być równa zeru, czyli S M i y = 0;
6.Suma algebraicznych wszystkich sił względem osi z musi być równa zeru, czyli S M i z = 0.
ŚRODEK CIĘŻKOŚCI
Środek ciężkości jest to punkt, w którym jest zaczepiona siła przedstawiająca ciężar danego ciała.
Jeżeli środek ciężkości znajduje się powyżej punktu podparcia, mamy do czynienia z równowagą chwiejną. Nawet nieznaczne odchylenia z tego położenia spowoduje pojawienie się pary sił oddalającej ciało od tego położenia równowagi. Jeżeli punkt podparcia pokrywa się z środkiem ciężkości, ciało jest w równowadze obojętnej. Wychylenie z tego położenia nie powoduje pojawienia się pary sił. Ciało będzie w równowadze przy dowolnym wychyleniu. Równowaga stała zachodzi wtedy, gdy środek ciężkości zajmuje położenie najniższe z możliwych.
Do ciał jednorodnych o prostej formie geometrycznej odnosi się kilka twierdzeń, którymi będziemy się posługiwać w wyznaczaniu środków ciężkości:
- jeżeli ciało ma jedną oś symetrii, to środek ciężkości leży na tej osi,
- jeżeli ciało ma dwie (lub więcej) osie symetrii, to środek ciężkości leży na przecięciu się tych osi,
- jeżeli ciało ma środek symetrii, to punkt ten jest równocześnie środkiem ciężkości
- środek ciężkości ciała złożonego z kilku ciał pokrywa się z środkiem ciężkości punktów materialnych leżących w środkach poszczególnych ciał składowych, przy czym masy tych punktów są równe masom poszczególnych ciał składowych.
Moment statyczny pola przekroju (linii) względem dowolnej osi jest równy iloczynowi pola tego przekroju (długość linii) i współrzędnej środka ciężkości tego pola przekroju (linii) względem danej osi. Moment statyczny dowolnej figury względem osi przechodzącej przez środek ciężkości tej figury jest równy zeru.
TARCIE
Dowolna siła czynna działająca ciało stara się wprawić je w ruch. Istnieją jednak opory, czyli siły, które dążą do zahamowania ruchu. W czasie ruchu działa na przedmiot jakaś siła hamująca, leżąca w płaszczyźnie, a skierowana przeciw ruchowi. Siłę tę nazywa się siłą tarcia ślizgowego (ślizgania).
Siła tarcia
T = N * tg q
Ma wartość największą w chwili granicznej(występuje wówczas, bowiem największa wartość q). Zjawisko występowania tej siły nazywamy czasem tarciem całkowitym (rozwiniętym), w przeciwieństwie do tarcia nierozwiniętego, występującego przy F < F gr.. Tarcie występuje w stanie spoczynku, tj. przy sile czynnej
F £ F gr., nazywamy tarciem statycznym. Tarcie przejawiające się w czasie ruchu, przy działaniu siły F > F gr., nazywamy tarciem kinetycznym.
Współczynnikiem statycznego tarcia ślizgowego m = tg q
Współczynnik tarcia ślizgowego zależy do:
1) właściwości stykających się powierzchni (głównie do ich chropowatości),
2) rodzaju materiałów stykających się powierzchni,
3) rodzaju tarcia (statyczne czy kinetyczne),
4) zastosowania (lub nie) smarowania.
Tarcie ślizgowe może być:
1)suche, gdy nie ma czynnika oddzielającego powierzchnie ślizgające się po sobie,
2)półsuche, półpłynne lub płynne, gdy taki czynnik oddzielający: na to, który z tych rodzajów tarcia wystąpi, mają wpływ różne czynniki, jak wielkości powierzchni stykających się, prędkości poślizgu, rodzaju smaru, rodzaju materiałów stykających się itp.
F = G * f / r
Powyższy wzór przedstawia całkowity opór toczenia. Każda siła F > G *f / r powoduje toczenie walca. ODKSZTAŁCENIA
Ciała rzeczywiste pod wpływem obciążenia odkształcają się. Jeżeli powstałe pod wpływem obciążenia odkształcenie znika po odciążeniu ciała, to nazywamy je odkształceniem sprężystym. Zdolności ciała powracania do pierwotnych kształtów po odciążeniu nazywamy sprężystością, takie zaś ciało nazywamy ciałem sprężystym. Wytrzymałością elementu konstrukcyjnego nazywamy graniczną wartość obciążenia, przy którym ten element ulega zniszczeniu.
Podział odkształceń
- Rozciąganie
- Ściskanie
- Ścinanie
- Skręcanie
- Zginanie
Naprężenia styczne i normalne
W nie obciążonym pręcie działają siły spójności, które utrzymują poszczególne cząsteczki w ich położeniach. Przy obciążeniu siłami zew. w pręcie pojawiają się dodatkowe siły wew. zwane napięciami.
Stosunek wartości normalnej N do pola S przekroju nazywamy naprężeniem normalnym i oznaczamy literą d (sigma). d = N / S
Stosunek wartości siły stycznej T do pola S przekroju nazywamy naprężeniem stycznym i oznaczamy literą t (tau). t = T / S
ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE
Wydłużeniem całkowitym Δl nazywamy różnicę długości końcowej i początkowej. Δl = l1 – l
Przy rozciąganiu Δl jest dodatnia. Przy ściskaniu Δl jest ujemne i nazywane skróceniem całkowitym (bezwzględnym)
e- wydłużenie (skrócenie) względne lub jednostkowe e= Δl / l
Różnica grubości końcowej i pierwotnej nazywa się zwężeniem całkowitym Δh = h1-h
e1- stosunek zwężenia całkowitego do grubości początkowej nazywany zwężeniem jednostkowym.
e1= Δh/h
bezwzględną wartość stosunku zwężenia jednostkowego e1 do jednostkowego wydłużenia (skrócenia) e nazywamy współczynnikiem odkształcenia poprzecznego lub liczbą (ułamkiem) Poissona n.
n= e1/e
Liczba Poissona jest liczbą oderwaną (bezwymiarową). Nie zależy ona od kształtu i wymiarów elementu rozciąganego lub ściskanego. Zależy jedynie od rodzaju materiału. Można wykazać, że dla wszystkich ciał liczba Poissna przyjmuje wartości od 0 do 0.50.
Naprężenie normalne przy rozciąganiu (ściskaniu) jest równe stosunkowi siły rozciągające (ściskającej) do pola przekroju prostopadłego do osi obciążenia.
s = F/S
wydłużenie Δl jest wprost proporcjonalne do wartości siły działającej do F oraz do długości elementu l, odwrotnie zaś proporcjonalne do pola przekroju tego elementu.
Prawo Hooke’a Δl = (F*L) / (E*S)
Naprężenie normalne jest proporcjonalne do wydłużenia jednostkowego. s=E*e
Granica proporcjonalność RH jest to naprężenie po przekroczeniu którego materiał nie podlega prawa Hooke’a.
RH= FH/So [Pa]
Granica plastyczności jest to naprężenie po osiągnięciu, którego występuje wyraźny wzrost wydłużenia rozciąganej próbki bez wzrostu lub nawet przy spadku obciążenia Re= Fs/So.
Wytrzymałość materiału na rozciąganie Rm jest to stosunek największej siły Fm przenoszonej przez próbkę do pierwotnego pola S0 przekroju próbki.
Rm = Fm/S0.
Naprężenie rozrywające Ru jest to stosunek Fu przy której następuje zerwanie próbki do pola Su przekroju próbki w miejscu zerwania.
Ru =Fu/Su [Pa]
Ostre wcięcia występujące w elementach konstrukcyjnych nazywamy karbami.
Karb jest zawsze przyczyną powstawania spiętrzenia naprężeń. Największe naprężenia lokalne wywołane działaniem karbu obliczamy według wzoru.
s...
apd61