20
Mechanika gruntów 8
Naprężenie w gruncie
Stan naprężenia w gruncie
Naprężenie to jest rozumiane jako wartość graniczna siły działającej na nieskończenie mały element pola przekroju ciała do wymiaru tego pola:
Gdy pole A jest nieskończenie małe, uzyskuje się naprężenie w danym punkcie. Jest to jednak umowne rozumowanie, bo grunt ma budowę molekularną. Umownie zaten zakłada się, że mamy do czynienia z powierzchnią bardzo małą, gdzie naprężenie jest stałe lub zmienia się w sposób ciągły.
Na rysunku poniżej przez ciało sztywne poprowadzono przekrój a-a. Jak widać dla określenia naprężenia należy podać nie tylko jego wartość, kierunek i zwrot, ale też kierunek płaszczyzny, na którą ono działa. Naprężenie jest wartością tensorową.
Każde naprężenie można rozłożyć na dwie składowe: prostopadłą do płaszczyzny przekroju (naprężenie normalne) i w płaszczyźnie przekroju (naprężenie styczne).
Zakłada się, że ośrodek gruntowy jest sprężysty, w którym można stosować zasadę superpozycji, tj. sumuje się poszczególne siły.
(Rysunki niżej wg Wiłuna)
Obliczając wartości naprężenia w gruncie, należy uwzględnić ciężar własny gruntu. Naprężenie od ciężaru wyżej leżących warstw oznacza się symbolem σγ z i zwie się naprężeniem pierwotnym (lub geostatycznym).
Zgodnie z zasadą superpozycji naprężenie całkowite σz jest sumą naprężenia pierwotnego σγ z i naprężenia od obciążenia zewnętrznego σqz :
W przypadku gdy naprężenie zewnętrzne przykłada się w wykopie naprężenie pierwotne należy zmniejszyć o odciążenie wywołane wykopem (delta sigma gamma zet);
Jeszcze jeden rysunek na ten temat wg Wiłuna:
Wyznaczanie naprężeń pierwotnych (geostatycznych)
Najczęściej oblicza się wartość pionową tego naprężenia σγ z :
Poniżej zwierciadła wody gruntowej uwzględnia się wypór i ewentualnie filtrację.
W niektórych wypadkach (rys. niżej) konieczne jest też wyznaczenie składowych poziomych naprężenia, co wykonuje się ze wzoru:
σγ x = σγ y = K0 σγ z gdzie:
K0 – współczynnik parcia bocznego w spoczynku,
σγ z - pionowa składowa naprężenia pierwotnego.
Wartości współczynnika K0 zależą od gruntu i jego historii naprężenia i wynosi od 0,2 do 0,6 dla gruntów normalnie skonsolidowanych i 0,8 do 2,0 dla gruntów prekonsolidowanych.
Naprężenie od sił zewnętrznych
Rozkład naprężenia w gruncie od pionowej siły skupionej
Rozwuiązanie problemu podał Boussinesq dla półprzestrzeni sprężystej jednorodnej izotopowej, bez ciężaru własnego gruntu, zakładając prostolinijny i radialny rozkład naprężenia.
Przyjmuje się naprężenie radialne w punkcie M o współrzędnych R, β :
Jeżeli w powyższym finalnym wzorze zamiast Q i z podstawimy 1, a pozostałą część oznaczymy jako cz , to otrzymamy następujący wzór:
σ z = Qcz/z2
Wtedy wartości cz możemy odczytać z nomogramu, jak niżej:
Jak widać, wartości współczynnika są największe gdy r/z = 0, a więc w pionie pod punktem przyłożenia siły. Wraz ze wzrostem r lub z naprężenia szybko maleją. Miejsca o jednakowej wartości naprężeń na rysunku zwiemy izobarami naprężeń.
Są w literaturze także wzory do wyliczenia naprężeń poziomych normalnych radialnych i obwodowych, np. u Wiłuna.
Autorzy Marek Obrycki i Stanisław Pisarczyk na naprężenia normalne podają podobny nomogram jak przedstawiono wyże, oznaczają jednak współczynnik cz jako Kr.. Wówczas wzór na σ z = QKr/z2 :
Rozkład naprężeń w gruncie od obciążenia ciągłego
W tym przypadku naprężenia można wyznaczyć stosując zasadę superpozycji, dzieląc obszar obciążony na mniejsze elementy. Za wystarczającą dokładność przy tym podziale uważa się gdy Ri => 2Li
W dalszej kolejności, posługując się wzorami już przedstawionymi wyżej, całkujemy z obszaru A gdzie działa siła obciążenia ciągłego:
Powstały różne metody określania naprężeń, np.: Steinbrennera, metoda punktów środkowych, metoda punktów narożnych i metoda pól wpływowych Newmarka
. Metody te przedstawia się poniżej.
Metoda pól narożnych
W metodzie tej istnieje możliwość aby naprężenie pionowe wyznaczyć z poniższego wzoru, który określa naprężenie pod narożem obszaru obciążającego. Jeżeli jest konieczność wyznaczenie naprężenie w jakimkolwiek innym punkcie, możemy powierzchnię podzielić na mniejsze i zastosować zasadę superpozycji.
Metoda punktów środkowych
Metodą tą można wyznaczyć naprężenie na dowolnej głębokości pod środkiem obciążonego obszaru, posługując się zamieszczonym niżej nomogramem i zamieszczonym pod nim wzorem.
σz = η0q
η0 - odczytujemy z powyższego nomogramu.
σz możemy odczytać także przez superpozycję naprężeń pod wspólnym narożem 4 prostokątów o bokach L/2 i B/2.
Metoda pól wpływowych Newmarka
Metodą tą można wyznaczyć naprężenia pod dowolnym kształtem powierzchni obciążającej. Metodę budowy nomogramu pól podano w literaturze (np. Szymański str. 119). Tu podam tylko sposób posługiwania się nomogramem.
W nomogramie każde pole, powstałe z podziału płaszczyzny promieniami i okręgami, wskazuje na równy wpływ z każdego pola naprężenia pionowego, pod punktem, który ustawiliśmy w środku kół nomogramu.
Wykreślenie nomogramu wykonuje się wg wzoru i zasady podanej w literaturze.
Współczynnik wpływu jednego pola wynosi:
Ww = η’/m = 1/nm
gdzie m – ilość odcinków powierzchni kół,
n – ilość promieni.
W ten sposób wyznaczyliśmy naprężenie pionowe σz pod interesującym nam punktem obciążenia. Na nomogramie w tym celu musimy narysować kontur pola obciążenia w skali 1: (z/zn). Skala zn podana jest na nomogramie. Potem oblicza się ilość pól, które obejmuje obrys pola obciążenia. Pola mieszczące się w obrysie tylko częściowo liczymy jako ½ pola. W ten sposób mamy określony Ip do wzoru powyżej.
Tok postępowania (z Wiłuna):
1, Ustalamy pod jakim punktem fundamentu i na jakiej głębokości chcemy znać naprężenia w gruncie.
2. Odcinek z narysowany na nomogramie dzielimy na ilość części w zależności od głębokości, na której chcemy znać naprężenia. Np. jeżeli na 6 metrach, to na 6 części.
3, Rysujemy fundament w skali takiej, że jeden podzielony odcinek z z jest = jednemu metrowi.
4. Zarys fundamentu, narysowany w skali jak wyżej, ustawiamy tak, by punkt pod którym chcemy znać naprężenia był w środku nomogramu.
5. Liczymy pola w zarysie obrysu fundamentu. Pola częściowo w obrysie liczymy jako ½ pola.
6. Obliczamy naprężenie z wzoru, mnożąc ilość pól razy wskaźnik Ww, który zależy od ilości pól w nomogramie i przez obciążenie ciągłe q.
Rozkład naprężeń kontaktowych pod fundamentami sztywnymi
W rozpatrywanych wyżej przypadkach rozkład naprężeń rozpatrywano przy założeniu, że obciążona powierzchnia jest podatna i ugina się razem z odkształceniem gruntu. Może to mieć miejsce pod nawierzchnią tłuczniową, w podłożu nasypu lub pod cienką warstwą betonową, gdy ta ma małą sztywność. Gdy fundamenty są sztywne (murowane, betonowe, żelbetowe…) rozkład naprężeń w poziomie posadowienia nie jest równomierny. Ta nierównomierność sięga na głębokość równą połowie szerokości fundamentu.
Dla sztywnego kołowego fundamentu rozkład naprężeń w poziomie posadowienia wyznacza się ze wzoru:
Z powyższego wzoru wynika, ze przy krawędzi fundamentu (mianownik = 0), wtedy naprężenie będzie nieskończenie wielkie. Jednak naprężenie to nie może przecież przekroczyć pewnej wartości krytycznej, więc grunt usuwa się spod krawędzi, a naprężenia przejmuje częściowo grunt znajdujący się dalej na zewnątrz. Zmienia to rozkład naprężeń w poziomie posadowienia. Na rysunku linią ciągłą pokazano faktyczny rozkład naprężeń, przerywaną teoretyczny. Naprężenia są w kształcie odwróconego siodła.
Przy dalszym zwiększaniu obciążenia gruntu naprężenia wzrastają bardziej ku środkowi fundamentu, krzywa przyjmuje kształt paraboli.
Tak więc rozkład naprężeń w gruncie na poziomie posadowienia zależy od wytrzymałości gruntu, jego obciążenia i od wymiarów fundamentu. Przy fundamentach wąskich rozkład naprężeń jest przeważnie paraboliczny, a przy szerokich siodłowy. W obliczeniach przyjmujemy naprężenia średnie (równomierne).
Naprężenia pionowe pod sztywnym fundamentem na pewnej głębokości pod nim wyznacza się jako średnie w obrębie prostokąta znajdującego się pod obszarem obciążanym. Wzór matematyczny jest w literaturze, ale praktyczniej jest posłużyć się nomogramem, z którego odczytujemy współczynnik ηs , przez który mnożymy wartość obciążenia i otrzymujemy naprężenia.
Metoda punktu znamiennego
Metodę tą stosuje się w przypadku budowli znacznych wymiarów posadawianych na płycie. Uwzględnia się wtedy podatność podłoża i wyznacza się średnie naprężenia metodą punktu znamiennego. Punkt ten M znajduje się w ten sposób, że od środka (osi) wyznacza się odległości 0,37 a i 0,37 b (a, b – wymiary płyty). W przecięciu tych linii (patrz rysunek) jest punkt znamienny M. Dla powstałych z podziału 4 prostokątów, dla wspólnego punktu M w ich wspólnym narożu, oblicza się naprężenia, które się sumuje.
Punkt znamienny M
Naprężenia pod nasypami
Naprężenie w podłożu nasypu jest równe sumie naprężeń od obciążenia równomiernego pasmowego i od dwóch pasmowych prostokątnych trójkątów.
Graficzna interpretacja naprężenia
Naprężenia główne
W każdym punkcie ciała są 3 wzajemnie prostopadłe płaszczyzny, w których wartość naprężeń stycznych równa się zeru. Płaszczyzny te nazywamy głównymi, zaś naprężenia normalne do nich nazywamy naprężeniami głównymi. Z trzech jest σ1 największe naprężenie główne, σ2 pośrednie naprężenie główne i σ3 najmniejsze naprężenie główne.
W geostatyce płaszczyzna główna poprowadzona przez punkt jest pozioma i wszystkie pionowe do niej (przez ten punkt) są też główne.
Naprężenia styczne we wszystkich płaszczyznach prostopadłych do siebie są równe.
...
adju89