Rozdział VII
Rozwiązanie numeryczne równań
różniczkowych
7.1. Równania pierwszego rzędu.
Równanie Riccati’ego
Równanie to ma postać następującą
. (7.1)
Zaznaczmy, że jeśli funkcja jest równa zero, tzn. , to równanie Riccati’ego (7.1) sprowadza się do równania Bernoulli’ego przy , które całkuje się analitycznie. Wówczas jeśli funkcja jest równa zero, tzn. , to otrzymujemy liniowe równanie różniczkowe, które też całkuje się analitycznie.
Łatwo sprawdzić, że w przypadku ogólnym możemy tak dobrać funkcje , żeby podstawienie
,
gdzie jest nową funkcją poszukiwaną, sprowadzało równanie Riccati (7.1) do postaci kanonicznej
, (7.2)
gdzie funkcja jest określona przez funkcję , i .
W wielu przypadkach ułatwia to znalezienie rozwiązania ogólnego równania wyjściowego.
Zaznaczmy, że w przypadku ogólnym rozwiązanie ogólne równania (7.2) nie da się sprowadzić do skończonej liczby całek nieoznaczonych (całkowaniu przez kwadratury – Liouville).
W przypadkach szczególnych możemy wyróżnić kilka sposobów całkowania równanie Riccati’ego.
1. Jeśli znane jest rozwiązanie szczególne równania (7.2), to przez podstawienie
dla funkcji z otrzymujemy równanie Bernoulli’ego.
Wówczas podstawienie
gdzie jest nową funkcja poszukiwaną, sprowadza równanie Riccati’ego bezpośrednio do równania liniowego.
(Sprawdzić samodzielnie).
Przykład 7.1. Rozwiązać równanie
jeśli jego rozwiązanie cząstkowe .
2. Jeżeli znane są dwa liniowo niezależne rozwiązania szczególne oraz , to dla rozwiązania ogólnego mamy
.
Dowód. Odejmując równania
znajdziemy
Dzieląc przez , mamy
i następnie
Podobnie znajdujemy, że
Odejmując otrzymane równania
i dokonując przekształcenia
oraz całkując, mamy
Pokaż, że w tym przypadku funkcja jest również rozwiązaniem szczególnym równania liniowego względem z, co pozwala uprościć jego całkowanie.
Przykład 7.2. Rozwiązać równanie
jeśli wiadome dwa jego rozwiązania cząstkowe
i .
3. Jeśli są znane trzy liniowe niezależne rozwiązania szczególne , i , to całka ogólna równania Riccati’ego wyznacza się z relacji
7.2. Metoda kolejnych przybliżeń Picard’a (iteracja).
Rozważmy zagadnienie Cauchy’ego
, (7.3)
oraz .
Całkujemy równanie formalne
i budujemy ciąg rekurencyjny w następujący sposób
Twierdzenie 7.1. Granica ciągu rekurencyjnego jest rozwiązaniem zagadnienie Cauchy’ego, tzn. , i dla spełnia się nierówność
gdzie .
Przykład 7.3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego
Załóżmy i obliczmy kolejno:
…………………………………………………….
Kiedy , to , co odpowiada rozwiązaniu ścisłemu.
Przykład 7.4. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego
, .
……………………………………………………
Otrzymujemy szybko zbieżny szereg.
Przykład 7.5. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego
……………………………………………………….
Również otrzymujemy szybko zbieżny szereg.
7.3. Całkowanie za pomocą szeregów.
Szereg Taylor’a.
Rozważamy zagadnienie Cauchy’ego (7.3), tzn.
Przyjmujemy, że funkcja może być rozwinięta w szereg Taylor’a względem i .
Poszukujemy rozwiązanie w postaci
Wartości określamy bezpośrednio równania.
Przykład 7.6. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego
Obliczamy kolejno:
; ; ;
;
Dokonamy pewnego uogólnienia tej metody. Przypuśćmy, że znaleźliśmy rozwiązanie w punktach (). Znajdziemy rozwiązanie w następnym punkcie. Zapiszemy pochodną w otoczeniu punktu
Dla punktu ten szereg możemy przepisać następująco
Wartość pierwszej pochodnej w punkcie znajdujemy bezpośrednio z równania
Dla znalezienia drugiej pochodnej dokonamy różniczkowania równania . Mamy
Wówczas
Zaznaczmy, że ponieważ kolejne pochodne są skomplikowane, to wygodnym jest określenie operatora
i zapisywanie kolejnych pochodnych z jego wykorzystaniem. Na przykład,
Przykład 7.7. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego
7.4. Metody Rungego-Kutty.
oraz rozważamy równoodlegle punkty ().
Podstawą wszystkich metod Rungego-Kutty jest wykorzystanie wzoru
gdzie są stałe, , wówczas
………………………………
Współczynniki dobiera się tak, żeby powyższa kombinacja liniowa dla była uzgodniona z odpowiednim szeregiem Taylor’a do wyrazów rzędu .
Zaznaczmy, że liczbę nazywa się rzędem metody Rungego-Kutty.
Ponieważ, wybór współczynników dla danego jest niejednoznaczny, to mówi się o rodzinie metod Rungego-Kutty rzędu .
Jeśli i , to mamy wiadomą metodę Euler’a
Ważny przypadek cząstkowy , kiedy rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego
zapisuje się w postaci jawnej
Wtedy również
i metoda Euler’a prowadzi do równości
………………..
Dodając stronami otrzymamy wzór prostokątów dla obliczania całki
Modyfikowana metoda Euler’a
: , , , .
Poprawiona metoda Euler’a (metoda Heuna)
Dla metody Heuna
oraz dla mamy
…………………………….
Dodając stronami otrzymamy wzór trapezów dla obliczania całki
Podobnie metoda Rungego-Kutty przy wygląda następująco
...
kinia04