Teoria_sprezystosci_-Rakowski.pdf

(2397 KB) Pobierz
53315358 UNPDF
Teoria sprężystości
Skrypt opracowany na podstawie wykładów
prof. dr hab. inż. Jerzego Rakowskiego
P
x
y
R
t zr
σ z
F
σ F
σ r
t rz
Redakcja, konsultacja, korekta
dr inż. Przemysław Wielentejczyk
Politechnika Poznańska 2003/2004
AlmaMater
53315358.005.png 53315358.006.png 53315358.007.png 53315358.008.png 53315358.001.png
SPIS TREŚCI
1. Podstawy teoretyczne
2. Wstęp do teorii sprężystości
3. Stan naprężenia
4. Stan odkształcenia
5. Interpretacja tensora odkształceń
6. Związki fizyczne
7. Równania teorii sprężystości
8. Płaskie zagadnienie teorii sprężystości
9. Tensor naprężeń w biegunowym układzie współrzędnych
10.Rozwiązywanie zadań z teorii sprężystości
11.Półprzestrzeń sprężysta
12.Teoria płyt cienkościennych
13.Wstęp do teorii plastyczności
14.Nośność graniczna
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1
1. 
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1.1. Wprowadzenie
Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami
plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami i ruchem ciał sprężystych.
Ciało sprężyste – jeżeli doznaje oddziaływań czynników zewnętrznych (siły, momenty, temperatura,
itp.), to efektem tego działania jest deformacja ciała (przemieszczenia, odkształcenia). Po zdjęciu obciążeń
ciało wraca do stanu pierwotnego.
Oddziaływania, przy których ciało zachowuje się sprężyście mają pewne granice. Przekroczenie tych
granic powoduje nieodwracalne zmiany. Po odjęciu przyczyny (czynnik zewnętrzny) pozostają trwałe
odkształcenia - takie ciało nazywamy ciałem plastycznym.
Po przekroczeniu granicy oddziaływań sprężystych mogą wystąpić tak duże deformacje, że struktura
ciała zostaje zniszczona (np.: pękanie) - takie ciała nazywamy kruchymi.
1.2. Definicje
1) Ciała traktujemy jako ciągłe – continuum materialne (brak pęcherzy, pustek, pęknięć, itp.).
Możemy określić gęstość ρ w każdym punkcie ciała.
 p =lim
V ∞
M
V
(1.1)
Masa całej bryły wynosi:
M = ∫ V  p dV
(1.2)
Stan naturalny – jest to stan do którego wraca ciało po zdjęciu obciążeń.
Ciała jednorodne – w każdym punkcie posiada takie same cechy.
Ciała izotropowe – zmiana własności ciała nie zależy od kierunku.
2) Siły masowe - związane z masą (objętością)
- siła masowa jednostkowa p
- całkowita siła masowa
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
53315358.002.png
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
2
P = ∫ V pdV
(1.3)
3)Siły powierzchniowe – działają na powierzchnię (także wzajemne oddziaływania
międzycząsteczkowe)
- siła powierzchniowa jednostkowa f
- całkowita siła powierzchniowa
F = ∫ s f ds
(1.4)
f =lim
s 0
F
S
(1.5)
1.3. Elementy rachunku wektorowego i tensorowego.
Skalar – jest to wielkość, która zależy od miejsca, nie zależy natomiast od przyjętego układu
współrzędnych; do jego opisu wystarczy tylko jedna wartość. Zjawiska opisywane skalarowo to
np.:temperatura, masa, objętość, długość, itp.
Wektor – układ trzech wielkości skalarnych, które są zmiennicze w zależności od układu
współrzędnych; określamy przez wartość, kierunek i zwrot. Przykładem wektora jest prędkość.
Tensor – wielkość, którą w przestrzeni opisujemy za pomocą 9 składowych (identyfikacja punktu w
przestrzeni – potrzeba 3 przecinających się płaszczyzn = 3 wektory – 9 składowych).
3 0 =1 – tensor o walencji (rząd) 0 – skalar (temperatura)
3 1 =3 – tensor o walencji 1 – wektor
3 2 =9 – tensor o walencji 2 – tensor (naprężenie)
3 3 =27 – tensor o walencji 3
3 4 =81 – tensor o walencji 4
przemieszczenie – jest wektorem
naprężenie – jest tensorem
odkształcenie – jest tensorem
wersor e 1 – wektor jednostkowy o kierunku i zwrocie pokrywającym się z kierunkiem i zwrotem
osi.
Każdy wektor można zapisać za pomocą tensorów:
A = A 1 e 1 A 2 e 2 A 3 e 3
(1.6)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
53315358.003.png
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
3
Umowa sumacyjna (Einsteina).
Jeżeli w jednomianie (postać iloczynowa) ten sam indeks powtarza się dwa razy to sumujemy po tym
wskaźniku, np.:
3
a i b i = a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 = ∑ i = 1
a i b i
(1.7)
A = A i e i
(1.8)
1.4. Iloczyn skalarny
A
α
B
Rys. 1.1. Iloczyn skalarny
A ⋅ B = c (1.9)
A ⋅ B =∣ A ∣∣ B ∣ cos  (1.10)
Iloczyn skalarny wersorów e i , e j dla i = j wynosi 1 , gdyż cosinus kąta α=0˚ zawartego
pomiędzy nimi wynosi 1 , a ich długość jest jednostkowa:
e i ⋅ e j = e 1 ⋅ e 1 = e 2 ⋅ e 2 = e 3 ⋅ e 3 = 1
(1.11)
Iloczyn skalarny wersorów e i e j dla i ≠ j wynosi 0 , gdyż cosinus kąta α=90˚ zawartego
pomiędzy nimi wynosi 0 :
e i ⋅ e j = e 1 ⋅ e 2 = e 2 ⋅ e 1 = e 2 ⋅ e 3 = e 3 ⋅ e 2 = e 1 ⋅ e 3 = e 3 ⋅ e 1 = 0
(1.12)
e i ⋅ e j = ij
(1.13)
Symbol δ ij nosi nazwę delty Kroneckera i jest tensorem o walencji 2:
ij =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] (1.14)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
[
53315358.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin