1
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
1.1 Definicja i interpretacja geometryczna funkcji rzeczywistej o dwóch zmiennych rzeczywistych.
Jeżeli pryporządkowana jest dokładnie jedna wart. ZÎR to mówimy, że w zb Z określona jest f. rzeczywista o dwuch zmiennych x,y i ozn. ją Z=f(x,y) lub f:D®R.
Def. Granica podwójna w pkt.
Liczbę g nazywamy granicą funkcji f(x,y) w Po gdy dla każdego ciągu punktów Pn (Pn ? Po, Pn ? Po, Pn Î D) f(Pn) ? g
1.2. Def. funkcji ciągłej w punkcie.
Niech Po(xo,yo) należy do obszaru określoności funkcji f(x,y).
Def. f(x,y) nazywamy ciągłą w punkcie Po jeżeli:
1o f posiada granicę w Po
2o f posiada wartość w Po
3o g=f(xo,yo)=f(Po)
1.3. Def. pochodnej cząstkowej I rzędu ze względu na zmienną x dla funkcji o dwóch zmiennych.
Niech f(x,y) określona w Q(Po)
Tw. Schwarza.
Jeżeli f(x,y) ma w obszarze D ciągłe pochodne mieszane II rzędu, to dla każdego punktu tego obszaru.
1.4. Def. pochodnej cząstkowej I rzędu ze względu na zmienną y.
Def. pochodnej kierunkowej dla funkcji o dwóch zmiennych.
f : Q(Po)
PÎQ(Po); P¹Po jeżeli istnieje ta granica, to będziemy ją nazywać pochodną kierunkową w kierunku prostej Pos.
1.5. Wzory: poch. funkcji uwikłanej .
1.6. Wzory: pochodna funkcji złożonej o jednej i dwóch zmiennych.
1) jednej zmiennej:
2) dwóch zmiennych:
1.7. Def. różniczki zupełnej I rzędu
Niech f(x,y) będzie różniczkowalna w punkcie Q(Po). Składnik liniowy nazywamy różniczką zupełną funkcji f(x,y) w punkcie Po oznaczamy symbolem
1.8. Warunek konieczny istnienia ekstremum.
Jeżeli f(x,y) ma w Po poch. , i ma w tym punkcie ekstremum, to ; .
Warunek wystarczający.
Jeżeli i , to f(x,y) posiada w Po ekstremum gdy W(Po )>0 (, ). .
1.9)warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych.
Warunek konieczny:
Jeżeli funkcja f(x,y) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P0(x0,y0) i ma w tym punkcie ekstremum to: fx(p0) =0 ; fy(p0)=0. Punkt P(x0,y0),w którym spełniony jest ten waruneknazywa się punktem stacjonarnym funkcji f(x,y). Jeżeli więc funkcja f(x,y) ma w pewnym obszarze pochodne cząstkowe rzędu pierwszego , to może mieć ona ekstremum jedynie w tych punktach tego obszaru, które są jej punktami stacjonarnymi.
Warunek wystarczający ekstremum:
Jeżeli f-cja f(x,y) jest klasy c2 w pewnym otoczeniu punktu P(x0,y0), a ponadto:
1) fx (P0) = 0 i fy (P0) = 0
2)
1.10. Def.i przykład całki zależnej od parametru.
Niech K (x,y) będzie f-cją dwóch zmiennych, określoną dla xÎ<a,b> i yÎY, gdzie Y jest pewnym przedziałem. Jeżeli dla każdego yÎY istnieje całka oznaczona
to w przedziale Y jest określona f-cja F(y)
Zmienną y, występującą we wzorze:
nazywamy parametrem całkowania, o całce zaś mówimy, że jest zależna od parametru.
1.11. Tw. o całce zależnej od parametru.
Jeżeli f-cja K(x,y) jest ciągła w prostokącie P: a £ x £b , a £ y £ b, to f-cja
Jest ciągła w przedziale <a,b>. Jeżeli ponadto istnieje w prostokącie P ciągła
pochodna cząstkowa
to w przedziale <a,b> istnieje pochodna F’(y) przy czym:
3
Równanie różniczkowe zwyczajne
3.1. Def. równania różniczkowego liniowego.
Równanie różniczkowe postaci , liniowe względem y i y’, nazywamy równaniem liniowym rzędu I.
3.2. Def. równania różniczkowego Bernoulliego.
Równanie postaci nazywamy równaniem różniczkowym Bernoulliego, gdzie p(x) i q(x) są funkcjami ciągłymi w pewnym wspólnyym przedziale a<x<b, a n jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Dla n=0 otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe.
Dla n=1 otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe jednorodne względem y i y’, a więc równanie, w którym zmienne dadzą się rozdzielić.
3.3. Def. równania różniczkowego zupełnego.
Równaniem różniczkowym zupełnym nazywamy równanie różniczkowe rzędu I postaci , w którym funkcje P(x,y) i Q(x,y) są ciągłe w pewnym obszarze D i takie, że wyrażenie jest różniczką zupełną pewnej funkcji dwóch zmiennych F(x,y) określonej w obszarze D. Oznacza to, że w obszarze D istnieje taka różniczkowalna funkcja F(x,y), że zachodzą związki: , w każdym punkcie tego obszaru.
3.4.Twierdzenie I o czynniku całkującym dla równania różniczkowego zupełnego
Jeżeli
to μ(x,y)=
μ(x,y)-czynnik całkujący
3.5.Twierdzenie II o czynniku całkującym dla równania różniczkowego zupełnego
...
tekno-inez