Przestrzenie Hilberta i Banacha - Skrypt.pdf - Analiza Funkcjonalna - tekno-inez

Grzegorz Plebanek

Rozdział IV:Przestrzenie Banacha i przestrzenie Hilberta

1. Przykłady przestrzeni Banacha

specykacja ciała nie jest niezb¦dna to ciało liczbowe oznacza¢ b¦dziemy przez .

B¦dziemyrozwa»a¢przestrzenieliniowenadciałem lub ;je»eliwdanymmomencie

Przypomnijmy,»eX nazywamyprzestrzeni¡liniow¡nadciałem je»eliwX okre±lo-

nejestdodawanieelementów,zdeniowanejestmno»enieelementówX przezliczbyz i

działania te spełniaj¡ naturalne aksjomaty ? . W dalszym ci¡gu elementy x,y,... 2 X

nazywa¢ b¦dziemy wektorami, a a,b,c,... 2 skalarami.

Przykład 1.1.Najbardziejoczywistymi przestrzeniamiliniowymis¡ n oraz n ,gdzie

n 2 . Działania dodawania i mno»enia s¡ zdeniowane “po współrz¦dnych”. }

Denicja 1.2 Je»eli X jest przestrzeni¡ liniow¡ to odwzorowanie

||·|| : X !

nazywamy norm¡ je±li ma ono nast¦puj¡ce własno±ci dla dowolnych x,y 2 X i a 2

|| x ||- 0, || x || =0 wtedy i tylko wtedy gdy x=0;

|| ax || = | a ||| x || ;

|| x+y ||¬|| x || + || y || .

Przestrze« X z ustalon¡ norm¡ nazywamy przestrzeni¡ unormowan¡.

Norm¦ wektora x nale»y interpretowa¢ jako jego długo±¢, albo te» odległo±¢ punktu

x od 0. Co wi¦cej, prawdziwy jest nast¦puj¡cy fakt.

Lemat 1.3 Ka»da przestrze« unormowana X jest przestrzeni¡ metryczn¡, gdzie metry-

ka zadana jest wzorem (x,y)= || x − y || dla x,y 2 X.

Dowód. Beztrudusprawdzamy,»eaksjomatymetrykiwynikaj¡bezpo±redniozwłasno±ci

normy. Na przykład

(x,y)= || x − y || = || ( − 1)(y − x) || = |− 1 ||| y − x || = (y,x);

(x,y)= || x − y || = || (x − z)+(z − y) ||¬|| x − z || + || z − y || = (x,z)+ (z,y).

}

Odległo±¢zdeniowana za pomoc¡metryki ma szczególn¡ własno±¢: jest niezmienni-

cza na przesuni¦cia, to znaczy (x,y)= (x+z,y+z) dla dowolnych x,y,z.

Analiza 4, Przestrzenie Banacha i Hilberta

Przykład 1.4. Niektóre przestrzenie metryczne rozwa»ane w cz¦±ci I skryptu były w

istocie przestrzeniami unormowanymi. Sprawdzili±my ju» (patrz lista zada« nr 1), »e

wzór

|| x || =

x k

k=1

denuje norm¦(euklidesow¡); ametryka euklidesowa jest poprostudanaprzez || x − y || .

Podobnie sprawdzamy, »e norm¦ w n mo»na okre±li¢ wzorem

|| x || =

| x k | 2 .

k=1

Innym przykładem przestrzeni unormowanej jest X =C[a,b] z norm¡

|| f || =sup {| f(x) | : x 2 [a,b] } ;

przypomnijmy, »e metryka supremum w tej przestrzeni jest zadana przez || f − g || . }

Denicja 1.5 Przestrze« liniow¡ X (nad ciałem ) z wyró»nion¡ norm¡ nazywamy

Zauwa»my, »e zbie»no±¢ ci¡gu x n do x w przestrzeni unormowanej X oznacza po

prostu, »e lim || x n − x || = 0. Podobnie zupełno±¢ oznacza, »e je±li x n jest ci¡giem Cau-

chy’ego, czyli || x n − x m || d¡»y do zera wraz z n,m ! 1 to istnieje w X granica tego

ci¡gu.

Przestrze« Banacha to jeden z podstawowych obiektów współczesnej matematyki;

termin ten został utworzony na cze±¢ Stefana Banacha (1892–1945), jednego z najwy-

bitniejszych polskich matematyków, twórcy analizy funkcjonalnej.

Przykład 1.6.Przestrzenie n , n ,C[0,1](zodpowiedniminormami)s¡przestrzenia-

|| f || =

| f(x) | dx.

}

W dalszym ci¡gu, przy sprawdzaniu własno±ci norm u»yteczne b¦d¡ nast¦puj¡ce

klasyczne nierówno±ci.

Lemat 1.7 Dla dowolnych lizb a,b,p,q >0, je±li 1/p+1/q =1 to

ab ¬ a p

p + b q

q .

przestrzeni¡ Banacha je»eli metryka zdeniowana przez t¦ norm¦ jest zupełna.

miBanacha—zupełno±¢sprawdzili±mywcz¦±ciI.Przykłademprzestrzeniunormowanej

niezupełnej jest, jak pami¦tamy, C[0,1] z norm¡ okre±lon¡ przez całke

Analiza 4, Przestrzenie Banacha i Hilberta

Dowód. Rozwa»my funkcj¦ g(t) = t p−1 na odcinku [0,a] oraz odwrotn¡ do niej funkcj¦

g(s)=s 1/(p−1) naodcinku[0,b].Elementarnerozwa»aniapokazuj¡,»epolepodwykresem

funkcjigpluspolepodwykresemfunkcjihprzekraczapoleprostok¡taobokacha,b.St¡d

s 1/(p−1) ds= a p

p + b q

t p−1 dt+

ab ¬

q ,

gdy», jak łatwo sprawdzi¢, 1/(p − 1)+1=q. }

Lemat 1.8 Dla dowolnych x 1 ,x 2 ,...,x n ,y 1 ,y 2 ,...,y n 2 i p,q > 0 takich »e 1/p+

1/p

1/q

| x k y k |¬

| x k | p

| y k | q

k=1

Dowód. Dla ustalonego k ¬ n podstawmy w nierówno±ci z poprzedniego lematu

j=1 | x j | p ) 1/p , b=

| x k |

j=1 | y j | q ) 1/q .

| y k |

(

Otrzymane w ten sposób n nierówno±ci sumujemy stronami i otrzymujemy

| x k y k |

j=1 | y j | q ) 1/q ¬ 1

p + 1

q =1,

(

j=1 | x j | p ) 1/p (

k=1

co daje »¡dan¡ nierówno±¢. }

Lemat 1.9 Dla dowolnychx 1 ,x 2 ,...,x n ,y 1 ,y 2 ,...,y n 2 i p - 1 zachodzinast¦puj¡ca

1/p

| x k +y k | p

| x k | p

| y k | p

k=1

Dowód. Łatwo sprawdzi¢ nierówno±¢ w przypadku, gdy p = 1. Ustalmy wi¦c p > 1 i

niechq b¦dzietak¡liczb¡,»e1/p+1/q =1.Poni»ej dwukrotnie zastosujemy nierówno±¢

CH;

| x k +y k | p =

| x k +y k | p−1 | x k +y k |¬

| x k || x k +y k | p−1 +

| y k || x k +y k | p−1 ¬

k=1

1/p

1/q

1/p

1/q

| x k | p

| x k +y k | (p−1)q

| y k | p

| x k +y k | (p−1)q

k=1

1/p

1/q

| x k | p

| y k | p

| x k +y k | p

k=1

1/q =1 zachodzi nast¦puj¡ca nierówno±¢ Cauchy’ego–Holdera

nierówno±¢ Minkowskiego

Analiza 4, Przestrzenie Banacha i Hilberta

gdzie uwzgl¦dnili±my (p − 1)q =p. Teraz dziel¡c obie strony nierówno±ci przez

1/q

| x k +y k | p

k=1

otrzymujemu »¡dan¡ nierówno±¢, bo 1 − 1/q =1/p. }

Podstawiaj¡¢ w nierówno±ci Minkowskiego p = 2 otrzymujemy zwykł¡ nierówno±¢

trójk¡ta dla normy euklidesowej.

Przykład 1.10. Na przestrzeni liniowej n (gdzie = lub = ) mo»emy okre±li¢

1/p

|| x || p =

| x k | p

k=1

Istotnie, nierówno±¢ Minkowskiego oznacza, »e ||·|| p spełnia nierówno±¢ trójk¡ta; pozo-

stałe własno±ci wynikaj¡ łatwo z samej denicji. W ten sposób, dla ka»dego p - 1, n

b¡d¹ n jest przestrzeni¡ Banacha w normie ||·|| p — zupełno±¢ sprawdzamy dokładnie

Przykład 1.11. W podobny sposób jak w przypadku sko«czenie wymiarowym mo»na

okre±li¢ ró»ne normy na przestrzeni ci¡gów. Dla ustalonego wykładnika p - 1 niech

l p = { x=(x(n)) n :

| x(n) | p < 1} ,

oznacza przestrze« ci¡gów sumowalnych z p–t¡ pot¦g¡. Dla x 2 l p denujemy

1/p

|| x || p =

| x(n) | p

n=1

Je»eli x,y 2 l p to dla dowolnego N 2 mamy z nierówno±ci Minkowskiego

1/p

| x(n)+y(n) | p

| x(n) | p

| y(n) | p

¬|| x || p + || y || p .

n=1

St¡d, przechodz¡c z N do granicy, || x+y || p ¬ || x || p + || y || p , co dowodzi nierówno±ci

trójk¡ta i jednocze±nie pokazuje, »e x + y 2 l p . Łatwo sprawdzi¢ »e tak»e cx 2 l p i

|| cx || p = | c ||| x || p . Tym samym l p z ||·|| p jest przestrzeni¡ unormowan¡.

Sprawdzimy teraz, »e l p jest przestrzeni¡ Banacha (czyli »e norma jest zupełna).

Niech x 1 ,x 2 ,...,x k ,... 2 l p b¦dzie ci¡giem Cauchy’ego. Dla ustalonego n

| x k (n) − x m (n) |¬|| x k − x m || p ,

copozwalastwierdzi¢,»eci¡gliczbx k (n),k =1,2,...jestci¡giemCauchy’ego;oznaczmy

jego granic¦ przez x(n) = lim k!1 x k (n). W ten sposób zdeniowali±my x = (x(n)) n ;

dla ka»dego p - 1 norm¦ wzorem

tak, jak zupełno±¢ metryki euklidesowej (patrz te» nast¦pny przykład). }

Analiza 4, Przestrzenie Banacha i Hilberta

nale»y teraz sprawdzi¢, »e x 2 l p oraz »e x k zbiega w normie do x. Dladowolnego ">0,

|| x k − x m || p <" dla du»ych k,m. Wtedy dla dowolnego N mamy

1/p

| x k (n) − x m (n) | p

¬|| x k − x m || p <".

n=1

Przechodzi¡c do granicy z m w powy»szej nierówno±ci otrzymujemy

1/p

| x k (n) − x(n) | p

¬ ".

n=1

Bior¡c teraz N !1 otrzymujemy

|| x k − x || p ¬ "

co dowodzi »e x k zbiega w normie do x; ponadto

|| x || p ¬|| x k || p + || x − x k || p < 1

wi¦c istotnie x 2 l p .

W rachunkach powy»ej nie było istotne, czy rozwa»amy ci¡gi liczb rzeczywistych,

czy zespolonych. Zdeniowali±my w ten sposób cał¡ rodzin¦ przestrzeni Banacha l p (p

mo»e przyjmowa¢ wszystkie warto±ci rzeczywiste - 1); zauwa»my, »e l p l p 0 dla p<p 0 ,

co wynika z kryterium porównawczego zbie»no±ci szeregów: je»eli

l 1 l 2 l 5/2 ...

lub D = [a,b]) i

rozwa»my zbiór L 1 [D] wszystkich funkcji D ! całkowalnych w sensie Lebesgue’a,

czyli takich »e

b¦dzie ustalonym podzbiorem

(typowo D =

D | f | d < 1 . Wtedy L 1 [D] jest przestrzeni¡ liniow¡ ? i naturalne jest

spróbowa¢ okre±li¢ na tej przestrzeni norm¦ wzorem

|| f || =

| f | d ,

porównajPrzykład1.6.Zwłasno±cicałkiwynika»e || cf || = | c ||| f || i || f | +g ||¬|| f || + || g || .

Jednak»eistniej¡funkcjef 6 =0takie»e || f || =0(przypomnijmy,»etakjestgdyfunkcja

jestrównazeroprawiewsz¦dzie).Tymsamymniemo»napowiedzie¢,»e ||·|| jestnorm¡.

Te niedogodno±¢ mo»na pokona¢ w sposób nast¦puj¡cy.

Relacja pomi¦dzy funkcjami f =g prawie wsz¦dzie jest relacj¡ równowa»no±ci ? ?

Je»eli b¦dziemy rozwa»a¢ klasy abstrakcji wzgl¦dem tej relacji, to ró»ne klasy abstrak-

cji [f] 6 = [g] b¦d¡ odpowiadały funkcjom f i g, które istotnie si¦ od siebie ró»ni¡. W

praktyce niewygodnie jest operowa¢ klasami abstrakcji. My±limy raczej, »e elementami

L 1 [D] s¡ funkcje całkowalne, przy czym uto»samiamy funkcje równe prawie wsz¦dzie.

Przy tej interpretacji || f || =0 oznacza¢ b¦dzie »e f =0 prawie wsz¦dzie czyli »e w isto-

cie f = 0 (przy powy»szej umowie). W ten sposób okre±lamy przestrze« unormowan¡

funkcjicałkowalnych znaturaln¡ norm¡ całkow¡. Poni»sze twierdzenie wymaga gł¦bszej

znajomo±ci własno±ci całki i dlatego dowód zostanie tu pomini¦ty.

n | x(n) | p < 1 to

| x(n) | <1 dla prawie wszystkich n, a wtedy | x(n) | p 0 ¬| x(n) | p . Mamy na przykład

gdzie l 1 jest po prostu przestrzeni¡ ci¡gów (szeregów) bezwzgl¦dnie zbie»nych. }

Niech D

Przestrzenie Hilberta i Banacha - Skrypt.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: