Funkcje Analityczne - Skrypt.pdf

(704 KB) Pobierz
280004112 UNPDF
FUNKCJEANALITYCZNE
WYKÃLADYDLASEKCJITEORETYCZNEJ
INSTYTUTMATEMATYKIUJ,2007
ZbigniewBÃlocki
Typesetby A M S -T E X
2 ZBIGNIEWBÃLOCKI
Spistre sci
1.PodstawowewÃlasno¶sciliczbzespolonych 1
2.R¶o_zniczkowaniefunkcjizespolonych 4
3.CaÃlkowaniefunkcjizespolonych 8
4.TwierdzeniecaÃlkoweCauchy'ego 10
5.Wz¶orcaÃlkowyCauchy'ego 13
6.PodstawowewÃlasno¶scifunkcjiholomor¯cznych 15
7.Szeregipot , egowe 17
8.PodstawowewÃlasno¶scifunkcjiholomor¯cznych,cd. 19
9.Funkcjeanalityczne 21
10.GlobalnetwierdzeniecaÃlkoweCauchy'ego 22
11.SzeregiLaurenta 29
12.Osobliwo¶scifunkcjiholomor¯cznych 31
13.Twierdzenieoresiduach 34
13a.ObliczaniepewnychcaÃlekrzeczywistych 35
14.Lokalizowaniezerfunkcjiholomor¯cznych 39
15.Iloczynyniesko¶nczone 41
16.Funkcja¡Eulera 47
17.Funkcja ³ Riemanna 49
18.Twierdzenieoliczbachpierwszych 52
19.Aproksymacjafunkcjiholomor¯cznych 55
20.Odwzorowaniakonforemne 59
21.GeometriahiperbolicznakoÃla 63
22.Funkcjeharmoniczne 65
23.Funkcjesubharmoniczne 71
24.Nakrycia 74
25.PowierzchnieRiemanna 78
26.ProblemDirichleta,metodaPerrona 81
27.FunkcjaGreena 86
28.CaÃlkowanieprzezcz , e¶sci 88
29.Powierzchnienie-g-hiperboliczne 92
30.Pewnezastosowania 98
31.Elementygeometriiriemannowskiej 99
32.ZespolonemetrykizupeÃlneostaÃlejkrzywi¶znie 106
33.Iteracjafunkcjiwymiernych 111
Literatura 115
FUNKCJEANALITYCZNE 1
WykÃlad1,26.02.2007
1.PodstawowewÃlasno¶sciliczbzespolonych
Liczb , azespolon , a nazywamypar , eliczbrzeczywistych,zbi¶orliczbzespolonychC
tozatemdokÃladniezbi¶orR 2 .Element z =( x;y ) 2 Czapisujemywpostaci x + iy .
NazbiorzeCwprowadzamymno_zenie(zgodniezreguÃl , a i 2 = ¡ 1):
( x 1 + iy 1 )( x 2 + iy 2 )= x 1 x 2 ¡y 1 y 2 + i ( x 2 y 1 + x 1 y 2 ) :
Mo_znaÃlatwopokaza¶c Cwiczenie ,_zeCzdodawaniemwektorowymwR 2 oraz
takwprowadzonymmno_zeniemjestciaÃlem.Je_zeli z = x + iy ,to x nazywamy
cz , e¶sci , arzeczywist , a ,natomiast y cz , e¶sci , aurojon , a liczby z ;ozn. x =Re z , y =Im z .
Ka_zd , aliczb , ezespolon , a z mo_zemyr¶owie_zzapisa¶cprzypomocy wsp¶oÃlrz , ednychbie-
gunowych :
z = r (cos ' + i sin ' ) ;
p
x 2 + y 2 ,za¶s ' jestk , atempomi , edzyodcinkami[0 ; 1]i[0 ;z ]
(gdy z6 =0)-nazywamygo argumentem liczby z .Zachodzioczywi¶scie nier¶owno¶s¶c
tr¶ojk , ata
jz + wj·jzj + jwj; z;w2 C ;
mo_znar¶ownie_zÃlatwopokaza¶c Cwiczenie ,_ze
jzwj = jzjjwj; z;w2 C :
Chcemyterazzde¯niowa¶czespolon , afunkcj , e wykÃladnicz , a exp:C ! C.Dla
z = x + iy2 Coczekujemy,_ze e z = e x e iy ,czyliwystarczyokre¶sli¶c e it dla t2 R.
ChcemybyfunkcjataspeÃlniaÃla
dt e it = ie it ; e 0 =1 ;
awi , ec(oznaczaj , ac e it = A + iB ) A 0 = ¡B , B 0 = A , A (0)=1, B (0)=0.Jedynym
rozwi , azaniemtegoukÃladus , afunkcje A =cos t , B =sin t .Funkcj , ewykÃladnicz , a
de¯niujemyzatemnast , epuj , aco:
e z := e x (cos y + i sin y ) ; z = x + iy2 C :
Mo_znaÃlatwopokaza¶c Cwiczenie jejnast , epuj , acewÃlasno¶sci
e z + w = e z e w ; z;w2 C ;
dt e tz = ze tz ; t2 R ;z2 C :
Zfaktu,_ze je z j = e x orazdzi , ekitemu,_ze y jestargumentemliczby e z wynika,_ze
funkcjawykÃladniczaprostepionowe x = x 0 odwzorowujenaokr , egiopromieniu e x 0 ,
natomiastprostepoziome y = y 0 nap¶oÃlprosteotwarteopocz , atkuw0oargumencie
y 0 .
d
gdzie r = jzj =
d
280004112.007.png 280004112.008.png 280004112.009.png 280004112.010.png 280004112.001.png 280004112.002.png 280004112.003.png
2 ZBIGNIEWBÃLOCKI
Wracaj , acdowsp¶oÃlrz , ednychbiegunowych,mo_zemyjeterazzapisa¶cwpostaci
z = re i' .Dla z6 =0przezarg z oznaczamyzbi¶orargument¶owliczby z ,tzn.
arg z := f'2 R: z = jzje i' g:
Poniewa_z e i ( ' +2 ¼ ) = e i' ,dladowolnego ' 0 2 arg z mamy
arg z = f' 0 +2 k¼ : k2 Z g:
Dlaka_zdego z2 C ¤ (:=C nf 0 g )znajdziemydokÃladniejedenelementarg z nale_z , acy
doprzedziaÃlu[ ¡¼;¼ ).Nazywamygo argumentemgÃl¶ownym liczby z ioznaczamy
Arg z .FunkcjaArg,okre¶slonanaC ¤ ,jestnieci , agÃlanap¶oÃlprostej( ¡1; 0).
Mo_zemyterazpoda¶cgeometryczn , ainterpretacj , emno_zeniawC:je_zeli z = re i' ,
w = ½e ià ,to zw = r½e i ( ' + à ) ;czylimno_zymydÃlugo¶sci,adodajemyargumenty.
Mo_zemyst , adr¶ownie_zwywnioskowa¶c wz¶ordeMoivre'a :ztego,_ze( e i' ) n = e in'
otrzymamy
(cos ' + i sin ' ) n =cos( n' )+ i sin( n' ) ;'2 R ;n2 N :
Dladanego z2 Coraz n2 Nprzez pierwiastek z stopnia n rozumiemyzbi¶or
n p z := fw2 C: w n = zg:
Zapisuj , ac z i w wewsp¶oÃlrz , ednychbiegunowych:
z = re i' ;w = ½e ià ;
otrzymamywarunki
½ = r 1 =n ;Ã = ' +2 k¼
n ;k2 Z :
Poniewa_z e ià = e i ( à +2 ¼ ) ,dla k =0 ; 1 ;:::;n¡ 1otrzymamywszystkierozwi , azania.
Zatem n p z = fjzj 1 =n e i ( ' +2 k¼ ) =n : k =0 ; 1 ;:::;n¡ 1 g:
Wszczeg¶olno¶sci,pierwiastekstopnia n zliczbyniezerowejjestzawszezbiorem n
elementowy m.
Cwiczenie Udowodni¶c,_zerozwi , azaniemr¶ownaniakwadratowegowC:
az 2 + bz + c =0 ;
gdzie a2 C ¤ , b;c2 C,jest
z = ¡b + p ¢
2 a ;
gdzie¢= b 2 ¡ 4 ac ,przyczym p ¢jestzbioremdwuelementowymje_zeli¢ 6 =0-w
tymprzypadkuzawszeotrzymamydwarozwi , azania(jednoje_zeli¢=0).
Wprzypadkuwielomian¶owdowolnegostopniamamyrezultatniekonstruktywny,
tzw. zasadniczetwierdzeniealgebry .
Twierdzenie1.1. Ka_zdyniestaÃlywielomianzespolonymapierwiastek.
280004112.004.png 280004112.005.png 280004112.006.png
 
FUNKCJEANALITYCZNE 3
Powy_zszyrezultatmo_znaudowodni¶cwspos¶obelementarnyprzypomocy lematu
d'Alemberta (oryginalnydow¶odz1746r.zawieraÃlluk , e).
Lemat1.2. ZaÃl¶o_zmy,_zePjestniestaÃlymwielomianemzespolonymoraz,_zedla
pewnegoz 0 2 C mamyP ( z 0 ) 6 =0 .Wtedydlaka_zdegootoczeniaUpunktuz 0
znajdziemyz2Utakie,_zejP ( z ) j<jP ( z 0 ) j.
Dow¶od. (Argand,1806)Niech
P ( z )= a 0 + a 1 z + ¢¢¢ + a n z n :
Wtedy
P ( z 0 + h )= a 0 + a 1 ( z 0 + h )+ ¢¢¢ + a n ( z 0 + h ) n = P ( z 0 )+ A 1 h + ¢¢¢ + A n h n ;
gdziewsp¶oÃlczynniki A j zale_z , atylkood P i z 0 .Kt¶ory¶sznichnapewnonieznika,
gdy_zwprzeciwnymwypadkuwielomian P byÃlbystaÃly.Niech j b , edzienajmniej-
szymindeksem,dlakt¶orego A j 6 =0.Mamyzatem
P ( z 0 + h )= P ( z 0 )+ A j h j + R ( h ) ;
jR ( h ) j<jA j h j j;
gdy jhj jestodp.maÃle, h6 =0.Mo_zemyznale¶z¶c h odowolniemaÃlym jhj ,dlakt¶orego
A j h j maargumentprzeciwnydoargumentu P ( z 0 ).Wtedy
jP ( z 0 + h ) j·jP ( z 0 )+ A j h j j + jR ( h ) j = jP ( z 0 ) j¡jA j h j j + jR ( h ) j<jP ( z 0 ) j: ¤
Dow¶odTwierdzenia1.1. Oznaczaj , ac P jakwdowodzieLematu1.2izakÃladaj , ac,
_ze a n 6 =0,mamy
jP ( z ) j¸ja n jjzj n ¡ja 0 + a 1 z + ¢¢¢ + a n¡ 1 z n¡ 1 j
¸ja n jjzj n ¡ja 0 j¡ja 1 jjzj¡¢¢¢¡ja n¡ 1 jjzj n¡ 1 :
Mo_zemywszczeg¶olno¶sciznale¶z¶c R> 0takie,_ze jP ( z ) j>jP (0) j ,gdy jzj = R .
Funkcja jPj jestci , agÃlanaC(booczywistejest,_zemno_zeniejestodwzorowaniem
ci , agÃlym),znajdziemyzatem z 0 2K (0 ;R )takie,_ze
jP ( z 0 ) j =min
K (0 ;R )
jPj:
Je_zeli P ( z 0 ) 6 =0,todzi , ekiLematowi1.2znajdziemy z2K (0 ;R )takie,_ze jP ( z ) j<
jP ( z 0 ) j -sprzeczno¶s¶c.¤
Dla z2 C ¤ de¯niujemy
log z := fw2 C: e w = zg
(dla z =0tenzbi¶orjestoczywi¶sciepusty).Je_zelizapiszemy w = ´ + i» , z = re i' ,
tootrzymamyr¶ownanie e ´ e i» = re i' .Zatem ´ =log r =log jzj ,natomiast » =
' +2 k¼ , k2 Z.Ostatecznie
log z =log jzj + i arg z:
gdzie

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin