17.8 Prawa stanu gazowego
Podstawy teoretyczne opisujące stan gazowy zawarte są w dziale "Stany skupienia materii - stan gazowy" dostępny również tutaj.
tu kliknij
W obliczeniach stanu gazowego maja zastosowanie:
prawo Boyle'a-Mariott'a
prawa Gay-Lussaca i Charlesa
równanie stanu gazowego (równanie Clapeyrona)
prawo Daltona
równanie van der Waalsa
Zadania do prawa Boyle'a-Mariott'a
Przykład 1
Pewna masa gazu zajmuje objetość 200 cm3 pod ciśnieniem 300 hPa. Obliczyć jej objętość pod ciśnieniem 1200 hPa w tej samej temperaturze.
Rozwiązanie należy obliczyć niewiadomą v2 z równania Boyle'a-Mariotte'a
v1 / v2 = p2 / p1 (t=const, m=const)
v2 = v1*p1 / p2 = 50 cm3
Odpowiedź Objetość gazu pod cisnieniem 1200hPa wynosi 50 cm3.
Zadania do prawa Gay-Lussaca i Charlesa
Przykład 2
Jaką objętość zajmą 2 mole wodoru w temp. 100o i pod cisnieniem 1013,25 hPa?
Rozwiązanie W warunkach normalnych 1 mol wodoru zajmuje objetość 22,4 dm3, a więc objętość dwóch moli wodoru wynosi
2 * 22,4 dm3 = 44,8 dm3
Objętość dwóch moli wodoru w temp. 100oC mozna obliczyć według jednego z równań dla przemiany izobarycznej (p = 1013,25 hPa), np. według równania;
vt = vo(1 + a*t)
gdzie a = 1/273,15
v100o = 44,8 dm3(1 + 100/273,15) = 61,2 dm3
Zadania z wykorzystaniem równania stanu gazu doskonałego (pv = nRT)
W przypadku stałej liczby n moli gazu, równanie sprowadza się do postaci
p1*v1/T1 = p2*v2/T2
Inne postaci równania
pv = mRT / M
p = cRT gdzie; c =n/v
Przykład 3
Jaką objętość zajmie 0,4 mola gazu w temp. 22o i pod ciśnieniem 608 Pa?
Rozwiązanie W równaniu stanu gazu w postaci pv = nRT, niewiadomą jest v. Temperaturę zamieniamy na stopnie Kelvina K = (273,15 + 22) = 295,15
Po przeksztalceniu rownania otrzymujemy v = nRT / p. Podstawiając dane otrzymamy, że v = 1614 dm3
Odpowiedź 0,4 mola gazu w temp. 22oC i pod cisnieniem 608 Pa zajmuje objetość 1614 dm3
Zadania z wykorzystaniem równania prawa Daltona
Według prawa Daltona ciśnienie ogólne roztworu (mieszaniny) gazów doskonałych p równe jest sumie ciśnień cząstkowych p1, p2, p3...... jego składników:
p = p1 + p2 + p3 + .......
Ciśnienie cząstkowe składnika i (pi) jest to ciśnienie, jakie wywierałby ten składnik, gdyby sam wypełniał całą przestrzeń (objętość) zajmowaną przez roztwór gazowy w tej temperaturze.
Dla roztworu gazowego o właściwościach gazu doskonałego można wyrazić ciśnienie cząstkowe składnika i za pomocą wzoru.
pi = (n1*R*T) / v = ci*R*T
gdzie: ni - liczba moli składnika i, ci - stężenie molowe składnika i.
Ciśnienie ogólne doskonałego roztworu gazowego wynosi.
p = (n*R*T) / v
Dzieląc równanie na ciśnienie cząstkowe przez równanie ogólne otrzymuje się zależność.
pi/p = ni/n
stąd
pi = (ni*p) / p = xi*p
gdzie: xi - ułamek molowy składnika i w roztworze.
Przykład 4
Roztwór gazowy składa się z 336 g tlenku węgla i 76,6 g wodoru. Oblicz objętość całkowitą tego roztworu w tmp. 500 K pod ciśnieniem 101325 Pa oraz stężenia molowe i ciśnienia cząstkowe jego składników w podanych warunkach.
Rozwiązanie Masy molowe składników wynoszą; MCO = 28,01 g/mol, MH2 = 2,016 g/mol. Zatem roztwór gazowy zawiera następującą liczbę moli tlenku węgla i wodoru.
NCO = 336g / 28,01 = 12 moli
nH2 = 76,6g / 2,016 = 38 moli
Suma moli n obu składników wynosi: n = 12 moli + 38 moli = 50 moli
Zakładając, że rozpatrywany roztwór ma właściwości gazu doskonałego, objętość całkowitą roztworu można określić z równania stanu gazu w postaci:
v = nRT / p = 50moli*8,314J/Kmol*500K / 101325 Pa = 2,0514 m3
Ciśnienia cząstkowe tlenku wegla pCO i wodoru pH2 obliczamy z zależności;
pCO = xCO*p i pH2 = xH2 * p
wartości ułamków molowych obliczamy z równań
xCO = nCO / nCO + nH2 = 12 moli / 50 moli = 0,24
xH2 = nH2 / nCO + nH2 = 38 moli / 50 moli = 0,76
pCO = 0,24 * 101325 = 24318 Pa
pH2 = 0,76 * 101325 = 77007 Pa
odpowiednio stężenia molowe wynoszą:
cCO = nCO / v = 12 moli / 2051,4dm3 = 5,85*10-3 mol/dm3
cH2 = nH2 / v = 38 moli / 2051,4dm3 = 1,85*10-2 mol/dm3
Zadania z wykorzystaniem równania van der Waalsa
W niskich temperaturach i przy wysokich ciśnieniach gazy rzeczywiste wykazują odstępstwa od praw gazów doskonałych. Dla wytłumaczenia tych odstępstw van der Waals wprowadził do równania stanu gazu poprawki uwzględniające wzajemne oddziaływanie i objętość własną cząsteczek. Równanie stanu dla 1 mola gazu rzeczywistego w ujęciu van der Waalsa ma postać:
(p + a/V2)(V-b) = RT
gdzie; V - objętość molowa gazu rzeczywistego, p -ciśnienie, T - temperatura w kelwinach, a i b - stałe dla danego rodzaju gazu rzeczywistego. Poprawka a uwzglednia istnienie sił międzycząsteczkowych, natomiast b jest poprawką związaną z objętością własną cząsteczek gazu.
Tylko w przypadku rozrzedzonych gazów rzeczywistych obie poprawki, poprawka a na ciśnienie wewnętrzne i poprawka b na objętość własną cząsteczek, są bardzo małe i można je pominąć, otrzymując równanie stanu gazu doskonałego.
Przykład 5
Na podstawie równania van der Waalsa obliczyć temperaturę, w której 1 mol amoniaku zajmuje objetość 0,5 dm3 pod ciśnieniem 10MPa. Stałe a i b dla amoniaku wynoszą odpowiednio 0,42 N*m4*mol i 3,73*10-5 m3/mol.
Rozwiązanie Przekształcając równanie van der Waalsa dla 1 mola gazu, otrzymuje się.
T = (p + a/V2)(V - b) / R
skąd po podstawieniu odpowiednich danych ( z uwzględnieniem, że 10MPa = 107N/m2; 0,5 dm3 = 5*10-4 m3; 8,314 J*K-1 = 8,314 N*m / K*mol) otrzymuje się wynik
T = 650 K.
Taken94