Fizyka_modul_02.pdf

FIZYKA

dla

INŻYNIERÓW

Zbigniew Kąkol

Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej

Akademia Górniczo-Hutnicza

Kraków 2006

MODUŁ II

Moduł II – Praca i energia

7 Praca i energia

Znajomość zagadnień związanych z szeroko rozumianym pojęciem energii jest

konieczna dla wszelkich rozważań zarówno technologicznych, ekonomicznych,

ekologicznych jak i społecznych. Żeby się o tym przekonać wystarczy sprawdzić jak

istotn

żecie domowym stanowią wydatki związane z zapotrzebowaniem na

zasa

żnych zagadnie

ró

w bardzo prosty sposób ruch ciał, stanowi altern

dy tej będziemy się odwoływali wielokrotnie w kolejnych rozdziałach dotyczących

ń fizyki. W mechanice zasada zachowania energii pozwala obliczać

atywę do stosowania zasad dynamiki

Newtona.

.1 Praca wykonana przez siłę stałą

W najprostszym przypadku, punkt materialny przemieszcza się pod wpływem stałej siły

F . Traktując przesunięcie s jako wektor o długości równej drodze jaką przebywa ten punkt

i kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu, możemy zdefiniować pracę W .

Definicja

Praca W wykonana przez stałą siłę F jest iloczynem skalarnym tej siły F i wektora

przesunięcia s .

W =

⋅

cos

(7.1)

gdzie α jest kątem między kierunkami siły i przesunięcia. Zwróćmy uwagę, że kąt α może

być różny od zera bo stała siła nie musi mieć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu

punktu materialnego. Dzieje się tak gdy działają jeszcze inne siły (np. ciężar, tarcie). Ale

nawet gdy działała tylko jedna siła to i tak ciało nie musi poruszać się w kierunku jej

działania np. siła grawitacji w rzucie ukośnym. Rozpatrzmy teraz następujący przykład.

Przykład

Ciało o masie m ( na przykład sanki) jest ciągnięte po poziomej powierzchni stałą siłą F

(rysunek poniżej), a sznurek, za który ciągniemy tworzy kąt α z poziomem.

Rys. 7.1. Ciało o masie m ciągnięte po poziomej powierzchni stałą siłą F

tworzącą kąt α z poziomem

ą pozycją w bud

energię (zakupy żywności, opłaty za prąd, gaz, ogrzewanie czy paliwo do samochodu).

Z energią związana jest najważniejsza chyba zasada całej fizyki - zasada zachowania

nergii. Nakłada ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzystanie. Do

= s

Moduł II – Praca i energia

równa Fs cos α . Zauważmy, że

przesunięcia s . Natomiast składowa pionowa F sin α działa w górę zmniejszając nacisk ciała

na powierzchnię.

Ze wzoru (7.1) wynika, że praca może przyjmować zarówno wartości dodatnie gdy

α < 90°, jak i ujemne gdy α > 90°. W omawianym przykładzie, poza siłą ciągnącą ciało,

działa je

( α

szcze siła tarcia kinetycznego T (rysunek 7.1) przeciwstawiająca się ruchowi

= 180°). Praca wykonana przez siłę tarcia jest ujemna W = T·s = Ts cos180° = - Ts .

W szczególności praca może być równa zeru, gdy kierunek siły jest prostopadły do

kierunku przesunięcia ( α = 90°, cos90° = 0). Przykładem może być siła dośrodk

rzyspieszenie dośrodkowe jest prostopadłe do toru więc siła dośrodkowa nie wykonuje

owa.

pracy.

Rozpatrzmy jeszcze raz powyższy przykład ale w sytuacji gdy człowiek ciągnący

orusza się ze stałą prędkością. Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że wtedy F wyp = 0.

m F wyp = F cos α − T = 0, zatem "dodatnia" praca wykonana przez

ści bezwzględnej "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę

ciało

W kierunku poziomy

złowieka jest równa co do warto

ia.

Z podobna sytuacją mamy do czynienia przy

odnoszeniu w górę (ze stałą prędkością)

h (rysunek 7.2

ciała o masie m na wysokość

bok).

auważmy, że w trakcie podnoszenia ciała

człowiek działa siłą F równą ciężarowi ale

przeciwnie skierowaną, więc "dodatnia"

raca W = mgh wykonana na drodze h przez

siłę

F (człowieka

nej" pracy wykonanej przez siłę

ści.

) jest równa co do wartości

"ujem

ciężko

Rys. 7.2. Podnoszenie ciężaru na wysokość h

Ćwiczenie 7.1

Teraz gdy znasz już definicję pracy spróbuj samodzielnie odpowiedzieć na proste pytania

zwi z

ą ane z następującym ćwiczeniem

raź sobie, że podnosisz książkę na półkę, tak jak pokazano

rysunku obok. W pierwszym

Wyob

to na kroku podnosisz książkę

położenia (1) i umieszczasz ją na półce (położenie 2).

Następnie przenosisz książkę poziomo ze sta prędkością na

ne miejsce na półce (położenie 3). Jaki znak ma praca

1-2 i 1-3, a jaki znak ma

łą

wykonana przez ciebie na odcinku

praca wykonana przez siłę ciężkości? Tarcie i wszelkie opory

omijamy.

(7.1) pozwala obliczyć pracę dla siły stałej; do obliczeń "podstawi

konkretną jej wartość. Teraz poznamy ja

amy" za F

k obliczyć pracę gdy siła zmienia się, przyjmuje

różne wartości.

Praca jaką wykonał człowiek ciągnący to ciało na drodze s jest zgodnie z równaniem (7.1)

pracę wykonuje tylko składowa F s = F cos α styczna do

tarc

Wzór

Moduł II – Praca i energia

.2 Praca wyk

onana przez siłę zmienną

Rozważmy teraz siłę będącą funkcją położenia F ( x ), której kierunek jest zgodny z osią

x . Szukamy pracy jaką wykona ta siła przy przesuwaniu ciała od położenia x 1 do położenia

x 2 . Jak już mówiliśmy wzór W = F·s pozwala obliczyć pracę dla stałej siły F . Natomiast

gdy wartość s

iły zmienia się, na przykład tak jak na rysunkach 7.3 (linia ciągła) trzeba

osować inny algorytm.

Rys. 7.3a. Zmienna siła F ( x ) przybliżona ciągiem stałych wartości F i

Zaczn

ijmy od za

kowych odcinków ∆ x tak jak na rysunku. Wewnątrz takiego przedziału ∆x

ujemy (i to jest to przybliżenie)

stosowania przybliżenia. Dzielimy całkowite przemieszczenie x na n

jedna

przyjm , że siła jest stała i możemy już teraz skorzystać ze

zoru (7.1) do obliczenia pracy w dowolnym przedziale ∆ x

∆

W ∆

(7.2)

gdzie F i jest wartością siły na i -tym odcinku ∆ x . Następnie sumujemy prace wykonane na

oszczególnych odcinkach otrzymując całkowitą pracę

∑ =

∆

(7.3)

wróćmy uwagę, że od strony czysto for alnej liczenie pracy jest równoważne liczeniu

o stawie ∆ x i wysokości F i .

Możemy "poprawić" nasze przybliżenie. W tym celu, w kolejnym kroku dzielimy

przedział ( x 1 , x 2 ) na więcej (mniejszych) odcinków ∆ x , tak jak pokazano na rysunku

Widać, że nowe przybliżenie jest lepsze. Wartości sił F dla poszczególnych przedziałów

ie obliczona (wzór 7.3)

artość pracy całkowitej jest bliższa wartości rzeczywistej (pola powierzchni prostokątów

bardziej pokrywają się z polem pod krzywą).

7.3b.

są znacznie bliższe rzeczywistej funkcji F ( x ), a co za tym idz

Z m

sumy powierzchni kolejnych prostokątów o p d

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: