Calkowanie_numeryczne.pdf

(66 KB) Pobierz
Microsoft Word - Calkowanie_numeryczne.doc
Całkowanie numeryczne
1. Wst ħ p
1.1. Całkowanie metod Ģ prostok Ģ tów
y
f (x)
x 0 x 1 x 2
x i
x n
x
Rys. 1 Całkowanie metoda prostok Ģ tów
Ð Ã
n
−
1
Ä +
x
x
Ô
(
)
f
(
x
)
=
f
Æ
i
+
1
i
Ö
x
−
x
2
i
+
1
i
a
i
=
0
1.2. Całkowanie metod Ģ trapezów
Zamiast przybli Ň ania całki prostok Ģ tami stosujemy przybli Ň enie trapezami
b
i
−
1
1
Ð
Ã
f
(
x
)
=
(
f
(
x
)
+
f
(
x
))(
x
−
x
)
2
i
+
1
i
i
+
1
i
a
i
=
0
b
658490046.002.png
 
1.3. Całkowanie metod Ģ Gausa
Gdy przedział jest sko ı czony, wówczas wiele sposobów przybli Ň onego obliczania całek
polega na tym, Ň e funkcje podcałkow Ģ f(x) zast ħ pujemy interpoluj Ģ c Ģ funkcj Ģ j (x) , któr Ģ
łatwo mo Ň na scałkowa ę
Niech j (x) , b ħ dzie wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a dla funkcji f(x) z w ħ złami
interpolacyjnymi x 0 , x 1 ,.....x N
à =
n
f
x
)
=
L
N
(
x
)
=
F
j
(
x
)
f
(
x
j
)
j
0
gdzie
F
(
x
)
=
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
1
)
2
(
x
−
x
j
−
1
)(
x
−
x
j
+
1
)
2
(
x
−
x
n
)
j
(
x
−
x
)(
x
−
x
)
2
(
x
−
x
)(
x
−
x
)
2
(
x
−
x
)
j
0
j
1
j
j
−
1
j
j
+
1
j
n
Podstawiaj Ģ c w miejsce funkcji podcałkowej f(x) wielomian j (x) otrzymamy
Ð Ð
b
f
(
x
)
dx
»
b
f
(
x
)
dx
=
Ã
N
A
f
(
x
),
A
=
Ð
b
F
(
x
)
dx
a
a
j
j
j
a
j
j
=
0
Je Ň eli
f
(
x
)
−
f
(
x
)
<
e
i
x
Î
a
;
b
, to
Ð
b
f
(
x
)
dx
−
Ã
N
A
f
(
x
)
=
Ð
b
(
f
(
x
)
−
f
(
x
)
)
dx
£
e
(
b
−
a
)
a
j
j
a
j
=
0
W przypadku osobliwo Ļ ci, funkcj ħ podcałkow Ģ f(x) mo Ň na przedstawi ę w postaci
iloczynu p(x)g(x) gdzie g(x) jest funkcj Ģ , któr Ģ mo Ň na dobrze przybli Ň y ę , a p(x) ma
wszelkie osobliwo Ļ ci utrudniaj Ģ ce obliczenie całki. Niech teraz j (x) b ħ dzie wielomianem
interpolacyjnym Lagrange’a dla funkcji g(x) z w ħ złami interpolacyjnymi x 0 , x 1 ,.....x N .
658490046.003.png
Podstawiaj Ģ c w miejsce g(x) wielomian g(x) otrzymamy
Ð Ð
f
(
x
)
dx
=
b
p
(
x
)
g
(
x
)
dx
=
Ð
b
p
(
x
)
f
(
x
)
dx
=
Ã
N
A
'
f
(
x
)
a
a
a
j
j
j
=
0
A
'
=
Ð
b
p
(
x
)
F
(
x
)
dx
j
a
Podsumowuj Ģ c, do przybli Ň onego obliczania całek
I
(
g
)
=
Ð
b
p
(
x
)
g
(
x
)
dx
a
mo Ň na stosowa ę wzory postaci
= Ã =
N
S
(
g
)
A
j
g
(
x
j
)
x
j
Î
a
;
b
j
0
przy czym współczynniki A j nie zale ŇĢ od funkcji g(x).
Wzór powy Ň szy nazywamy kwadratur Ģ , a x j w ħ złami kwadratury.
Funkcj ħ p(x) wyst ħ puj Ģ c Ģ w równaniu nazywa si ħ funkcja wagow Ģ . Zakłada si ħ , Ň e waga
jest nieujemna w przedziale całkowania.
Mo Ň na wybra ę optymalne rozło Ň enie w ħ złów (oczywi Ļ cie dla zało Ň onej z góry ich
liczbie), tak aby obliczone całki były jak najdokładniejsze.
Metoda całkowania Gaussa polega na takim doborze w ħ złów całkowania
Całki oblicz si ħ dokonuj Ģ c na pocz Ģ tku transformacji do współrz ħ dnych
znormalizowanych do obszaru <-1, 1> .
b
658490046.004.png
N
W ħ zły
Wagi
rz Ģ d
współrz ħ dne
1
0
2
2
±0.57735
1.0
3
±0.774569
0.55555
0.0
0.88888
s
s =0.577
r
s =-0.577
r=-0.577
r=0.577
658490046.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin