rozciag.pdf

(127 KB) Pobierz
Microsoft Word - rozciag.doc
ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH
1
1. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA TZW."CZYSTEGO ROZCIĄGANIA"
x 3
A
x 2
q
L
x 1
- pręt pryzmatyczny, utwierdzony "punktowo w pkt. A (0,0,0)
- x 1 - oś podłużna pręta, x 2 , x 3 - osie centralne przekroju
- obciążenie zewnętrzne:
denko ( )
q q,0,0
q const
=
pobocznica ( )
q 0,0,0
- siły masowe
P 0,0,0
( )
ZADANIE : wyznaczyć tensor napręż. T σ , tensor odkszt. T ε i wektor przemieszczenia u .
2. ROZWIĄZANIE
2.1. Komplet równań TS
σ ij j
, = 0
(1)
ε ij
=
1
2
( )
uu
i j
,
+
j i
,
(2)
ε
ij
= + −
1
[
( )
1
ν σ ν σ δ
ij
kk ij
]
(3)
E
+ statyczne war. brzegowe
q i
ν
=
σ α
i j
ν
j
q =×
=×
=×
σ
σ
σ
11
21
1
denko x 1 = L , ( )
ν 10 0
,,
0
1
(4a)
0
1
31
0
0
0
=
σα σα
σα σα
σα σα
12
ν
2
+
13
ν
3
pobocznica (
)
να α
0
,
ν
2
≠
0
,
ν
3
≠
0
=
22
ν
2
+
23
ν
3
(4b)
=
+
32
ν
2
33
ν
3
+ kinematyczne war. brzegowe w pkt. utwierdzenia A (0, 0,0)
u 1 = u 2 = u 3 = 0
(5)
∂
∂
∂
∂
u
x
u
x
2
1
1
2
=
0
∂
∂
∂
∂
u
x
u
x
2
3
3
2
=
0
∂
∂
∂
∂
u
x
u
x
1
3
3
1
=
0
=
0
=
0
=
0
21816906.015.png 21816906.016.png 21816906.017.png 21816906.018.png 21816906.001.png
ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH
2
2.2. Podejście statyczne do zagadnienia brzegowego
"wymyślić" T σ
sprawdzić stat. war. brzeg.
sprawdzić równ. Naviera
wyznaczyć odkształcenia
ε i j = ε i j σ i j
(
)
sprawdzić równ. nierozdz. odkszt.
wyznaczyć przemieszczenia
ε i j = 1
2
(
u + j, u)
i, j
+ kinematyczne war. brzegowe
- macierz naprężenia
S W SZ
MW MZ
( ) ( )
( ) ( )
=
=
00
000
000
II
I
⇒=
T σ
(6)
II
I
Macierz naprężenia (6) spełnia równania równowagi (1) i statyczne warunki brzegowe (4)
- macierz odkształceń (r.Hooke'a)
ε
11
= +
1
[
( ) (
1
ν σ ν σ σ σ
11
−
11
+ + =
22
33
)
]
E q
E
ε
22
= +
1
[
( ) (
ν σ ν σ σ σ
22
−
11
+ + = −
22
33
)
]
E q
E
ε
33
= +
1
[
( ) (
1
ν σ ν σ σ σ
33
−
11
+ + = −
22
33
)
]
E q
E
ε
12
= +
1
[ ]
( )
1
ν σ
12
=
0
E
ε ε
13
= =
23 0
10 0
0
E
T ε
= −
ν
E
0
×
q
(7)
00
−
ν
E
Macierz (7) spełnia równania nierozdzielności odkształceń, gdyż
ε
ij
=
const
⇒
ε
ij kl
,
≡
0
- funkcje przemieszczeń (rów. Cauchy'ego)
∂
∂
∂
∂
u
x
1
1
2
2
3
3
=
q
E
∂
∂
u
x
1
2
+ =
∂
∂
u
x
2
1
0
u
x
q
E
∂
∂
u
x
∂
∂
u
x
=−
ν
2
3
+ =
3
2
0
(8)
∂
∂
u
x
q
E
∂
∂
u
x
∂
∂
u
x
=−
ν
1
3
+ =
3
1
0
Ukł. (8) to układ 6 równań różniczkowych cząstkowych liniowych I rzędu
" CORN" = "CORJ" + "CSRN" ⇒
uu u
=+
o
s
i
i
i
q
1
1
ν
ν
21816906.002.png 21816906.003.png 21816906.004.png 21816906.005.png
ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH
3
Całka ogólna równania jednorodnego opisuje przemieszczenia punktów ciała sztywnego (rów.
jednorodne tzn. ε ij =0, a to oznacza brak odkształceń ciała, czyli zarazem ciało sztywne). W
każdym zagadnieniu teorii sprężystości całka ogólna jest identyczna.
- całka ogólna
uxx abx cx
23
, =+ +
2
3
uxx dbxf x
( )
13
, =− +
1 3
uxx gcxf x
( )
12
, =− −
1 2
- całka szczególna równania niejednorodnego : metoda przewidywania
- funkcje przemieszczeń
, , = + + +
q
E xabx cx
1
2
3
, , =− + − +
ν
q
E xdbxf x
2
1 3
(9)
, , =− + − −
ν
q
E xgcxf x
3
1 2
Stałe całkowania a, b, c, d, f, g należy wyznaczyć z kinematycznych war. brzegowych (5).
a = b = c = d = f = g = 0
uxxx
( )
, , =
q
E x
1
uxxx
( )
, , =−ν
q
E x
2
(10)
uxxx
( )
, , =−ν
q
E x
3
WNIOSEK : Macierz naprężenia (6) macierz odkształcenia (7) i wektor przemieszczenia (10)
spełniają ściśle komplet równań teorii sprężystości wraz ze statycznymi i kinematycznymi war.
brzegowymi. Są więc ścisłym rozwiązaniem zagadnienia czystego rozciągania dla pręta
stanowiącego przedmiot analizy.
3. ANALIZA ROZWIĄZANIA
1. Stan naprężenia opisany przez macierz (6) to jednorodny (identyczny w każdym punkcie
ciała) i jednoosiowy (tylko jeden element macierzy naprężenia jest niezerowy) stan
naprężenia.
2. Diagonalna postać macierzy naprężenia świadczy o tym, że jedyne niezerowe naprężenie
σ 11 jest maksymalnym naprężeniem normalnym spośród wszystkich możliwych
odpowiadających dowolnym płaszczyznom przekroju pręta.
3. Stan odkształcenia opisany przez macierz (7) to jednorodny (identyczny w każdym
punkcie ciała) i trójosiowy (niezerowe składowe w 3 wzajemnie prostopadłych
kierunkach) stan odkształcenia.
4. Diagonalna postać macierzy odkształcenia świadczy, że czystemu rozciąganiu towarzyszą
jedynie odkształcenia liniowe. Włókna równoległe do osi x 1 wydłużają się najbardziej, a
równoległe do x 2 i x 3 najmniej.
o
1
( )
o
2
o
3
uxxx
( )
1123
uxxx
( )
2123
uxxx
( )
3123
1123
2123
3123
21816906.006.png
ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH
4
5. Analiza deformacji pręta.
wydłużenie pręta
x 3
b
x 2
u
1
=
E x
1
ux L L q
def
11 == =
( )
∆
E L
h
L
∆ L
L
=
q
E
⇒ε 1 = ∆ L
L
x 1
∆
L
przemieszczenia punktów przekroju poprzecznego (na przykładzie przekroju
prostokątnego o wymiarach początkowych b x h)
Funkcje przemieszczeń u 2 i u 3 nie zależą od zmiennej x 1 (tzn. położenia przekroju
poprzecznego), tak więc deformacja każdego przekroju poprzecznego jest identyczna.
x 3
u
2
=−ν
E x
2
b
x 2
ux b
( )
=± = m ν
q
E
b
2
∆
2
b
∆
2
∆ bu b
 +
u
−
b
 =
ν
E b
2
2
2
2
∆ b
b
=ν ⇒ ε 2 =− ∆ b
b
q
E
x 3
x 2
u
3
=−ν
q
E x
3
∆
2
h
ε 3 =− ∆ h
h
h
∆
2
h
x 3
x 2
x 1
q
q
22 2
b
=
q
21816906.007.png 21816906.008.png 21816906.009.png 21816906.010.png
ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH
5
4. INNE WIĘZY KINEMATYCZNE DLA PRĘTA PODDANEGO CZYSTEMU ROZCIĄGANIU
1. Jeżeli więzy są takie, że narzucają 6 warunków, to tensory naprężenia (6) i odkształcenia (7)
nadal są ścisłym rozwiązaniem zagadnienia brzegowego. Funkcje przemieszczeń są opisane
równaniami (9), z których należy wyznaczyć uprzednio 6 stałych z 6 war. kinem.
2. Jeżeli więzy są takie, że narzucają mniej niż 6 warunków, to pręt jest układem geometrycznie
zmiennym.
3. Jeżeli więzy są takie, że narzucają więcej niż 6 warunków, to rów. Cauchy'ego muszą prowadzić
do innych "prawych" stron niż w ukł. (8), bowiem całka szczególna musi "wprowadzić" dodatkowe
stałe (te powyżej 6 "standardowych"). "Prawe" strony to odkształcenia, które wynikają z przyjętej
macierzy naprężenia. Tak więc macierz naprężenia musi być przyjęta odmiennie od tej w postaci
(6).
5. INNE PRZYPADKI OBCIĄŻENIA ROZCIĄGAJĄCEGO (PROSTE ROZCIĄGANIE)
5.1. Zasada de Saint-Venant'a
A
B
znane jest rozwiązanie dla układu sił jak na rys. A
obciążamy ciało innym układem sił (rys. B), ale statycznie równoważnym (tzn.
SSMM
;
≡
)
Zasada de Saint-Venanta : T σ , T ε , u nie zmieniają się z wyjątkiem niewielkiego obszaru wokół
miejsca przyłożenia obciążenia.
5.2. Redukcja obciążenia przy czystym rozciąganiu do środka ciężkości przekroju
( )
qq,00
( )
r
0 23
, ,
xx
Sq d Aq A
1
=
∫∫
=
Mx
1
=
∫∫
(
2
0
−
x
3
0
)
d A
=
0
A
A
S
2
=
∫∫
0
d A
=
0
Mx q d A q x A
2
=
∫∫
3
=
∫∫
3
=
0
A
A
A
S
3
=
∫∫
0
d A
=
0
M
3
=− =−
∫∫
x q d A
2
q x d A
2
=
A
A
A
WNIOSEK: obciążenie przy czystym rozciąganiu redukuje się w środku ciężk. przekroju
poprzecz. do wypadkowej N (q A, 0, 0), a zatem do siły osiowej (podłużnej).
DEFINICJA: każdy przypadek takiego obciążenia pręta, które redukuje się do siły osiowej
nazywamy prostym rozciąganiem lub krótko rozciąganiem.
5.3. Składowe tensora naprężenia i odkształcenia w prostym rozciąganiu
σσ σσ τ τ τ
11
≡=
x
N
A
22
= = = = =
33
12
13
23 0
ε ε
≡= =
x
σ
x
N
EA
σσ ν σ
= =− =−
33
x
ν
N
EA
τ τ τ
12
= = =
13
23 0
E
E
≡
AAA A
∫∫
0
11
22
21816906.011.png 21816906.012.png 21816906.013.png 21816906.014.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin