EKONOMIA MATEMATYCZNA jest to dyscyplina naukowa, która obejmuje różnorodne zastosowania matematycznych pojęć, metod i teorii w ekonomii, a zwłaszcza- w teorii ekonomii.
Teorie: przedsiębiorstwa, oligopolu, równowagi konkurencyjnej, wzrostu gospodarczego.
Korzyści:
-bardziej precyzyjne formułowanie teorii
-otrzymanie z teoretycznego punktu widzenia wyników czasami niemożliwych do otrzymania w matematyce
-
EKONOMIA MATEMATYCZNA jest matematyką stosowaną, „spółka” matematyki z ekonomią.
EKONOMIE MATEMATYCZNĄ najlepiej jest uważać za proces wyprowadzenia wniosków z jakiegoś szczególnego zbioru niesprzecznych aksjomatów mających....
Etapy działania ekonomii matematycznej:
1. Przyjmuje się wstępne założenia o badanym obiekcie ekonomicznym i formułuje się je w języku matematyki
2. Posługując się pojęciami odpowiednich teorii matematycznych i korzystając z twierdzeń i metod tych teorii z przyjętych założeń wyprowadza się wnioski, stawia hipotezy i otrzymuje się rozwiązania postawionych problemów.
W ekonomii matematycznej charakterystyczne jest to, że rozpatrywane są typowe obiekty (konsument)
Rys historyczny. Prekursorzy i mistrzowie myśli ekonomicznej.
Ekonomia matematyczna wyłoniła się z historii ekonomii w latach 30 XIX w.
Francois Quesnay- ekonomista francuski (1694- 1774) podjął próbę stworzenia systemu wyjaśniającego mechanizmy rządzące gospodarką narodową. W 1759 r wydał dzieło pt. „Tableau economique” które jest uważane za pierwowzór tzw. Modelu przepływów międzygałęziowych Leontiefa. Mistrz szkoły ekonomicznej zwanej fizjokratyzmem.
Za prekursora ekonomii matematycznej, prekursora szkoły lozańskiej uważany jest Antoine Augustin Cournot (1801-1877). Napisał w 1838 „Badania nad zasadami teoretycznymi teorii bogactwa”. Posługiwał się rachunkiem różniczkowym, który jako pierwszy wprowadził do ekonomii.
Cesare Bonesana di Beccaria- zwolennik fizjokratyzmu . „Elementy ekonomii politycznej”
Leon Wal ras (1834-1910) mistrz szkoły lozańskiej. „Elementy czystej ekonomii politycznej”. Podstawy teorii równowagi ogólnej, stosował analizę matematyczną.
W.S. Javons (1824-1910)
Vilfredo Pareto (1848-1923)
Szkoła lozańska stworzyła teorię... firmy , oligopolu.
Obok szkoły austriackiej (psychologicznej) i angloamerykańskiej (neoklasycznej) była jedną z głównych szkól tworzących kierunek marginalistyczny.
Przedstawiciele szkoły austriackiej: Karl Mengel-mistrz
Pierwszy okres w historii ekonomii kończy się w latach 30-40 XX w dziełami :
J.R. Hicks „Wartość i kapitał” 1931
P.A. Samuelson „Podstawy analizy ekonomicznej” 1947
Michał Kalecki „Teoria cyklu biznesowego” 1937
„A Theory of business cycle”
Drugi okres w ekonomii matematycznej to lata 1948-1959 –okres modeli mnogościowych i liniowych.
Grupy zagadnień:
Pierwsza grupa osiągnięć- prace z równowagi teorii ekonomicznej:
G. Debren „Teoria wartości: aksjomatyczna analiza równowagi ekonomicznej” 1955
K. J. Arrow
Pracec z zakresu ekonomicznych zastosowań programowania matematycznego
L. Kantorowicz
Prace z teorii przepływów międzygałęziowych
Matematyczne modele wzrostu gospodarczego i dynamiki gospodarczej
R. M. Solow
R. F. Harrod
E. D. Domer
Zagadnienia teorii gier
J. von Leumann
O.Morgenstern
J.F. Nash
Nobliści :
1994 John Charles Harsony, John F. Nash, Reinhard Selten- równowaga w teorii gier
1987 Robert M. Solow –teoria wzrostu gospodarczego
1983 Gerard Debreu- nowe metody analityczne w ekonomii
1973 Wassily Leontief- przepływy międzygałęziowe
1972 Sir John R. Hicks oraz Kenneth J. Arrow- ogólna teoria równowagi oraz teorii dobrobytu
1970 Paul Anthony Samuelson- statystyczna i dynamiczna teoria ekonomii
Elementy popytu indywidualnego konsumenta
Zał.
Towary są nieskończenie podzielne i jednorodne
Na rozpatrywanym rynku znajduje się n różnych towarów
n-ta potęga kartezjańska
Wektor x=(x1, x2...xi,...x n)ÎR+n, w którym i-ta współrzędna reprezentuje ilość i-tego towaru, którą konsument ewentualnie może kupić, wyrażoną w jednostkach naturalnych nazywamy koszykiem towarów (wiązka towarów)
N=4
X=(1, 2, 0, 2)
Y=(0, 3, 1, 5)
X=(x1, x2,... x n)
Y=(y1, y2,... y n)
X=(1,2,0,2)
Y=(0,3,1,5)
Przestrzenią towarów będziemy nazywali parę (X,d) gdzie X-zbiór wszystkich dostępnych na rynku towarów, a d jest metryką zdefiniowaną (*)
X0=(1,1)
R=1
K(x0,r)
1
To, który z koszyków konsumetn wybierze zależy od jego preferencji
Preferencje konsumentów można formalnie scharakteryzować za pomocą relacji w przestrzeni towarów X x,yÎX
Konsument woli koszyk y niż x
x~y
konsument uważa koszyki za jednakowo dobre , koszyki x i y są indyferentne
Relacją obojętności w postaci x nazywamy zbiór
Zał
Relacja obojętności jest zwrotna , symetryczna przechodnia-jest relacją równoważności
Relacją silnej preferencji konsumenta nazywamy zbiór:
PsÌx2
Relacja silnej preferencji jest przechodnia
Relacją słabej preferencji nazywamy zbiór:
- konsument słabo preferuje x nad y lub konsument uważa koszyk x za niegorszy od y
Relacja słabej preferencji jest przechodnia i zupełna. Zupełność relacji
Preporządek- zwrotna i przechodnia
Pełny porządek-zwrotna, przechodnia i zupełna
Wyżej zdefiniowana relacja słabej preferencji jest przykładem pełnego preporządku w przestrzeni towarów i usług.
P=PsÈI-w sensie mnogościowym
Związki między relacjami:
Twierdzenie1
Dla wolnych koszyków x, y, zÎX:
1. x>y Ú y>x Ú x~y
2.
3.
4.
Definicja
Pole preferencji konsumenta to para
Dla każdego koszyka xÎX można zdefiniować;
Zbiór koszyków nie gorszych niż x:
Zbiór koszyków nie lepszych niż naszych X
Zbiór koszyków indyferentnych-względem koszyka x
Krzywą obojętności po raz pierwszy zastosował w ekonomii F.J. Edgeworth (druga poł XIXw)
Zbiór koszyków lepszych niż koszyk x
Zbiór koszyków gorszych niż koszyk x
Dobra doskonale komplementarne to dobra, które mogą być konsumowane jedynie razem i w stałych proporcjach.
Cola
Własności:
1. Monotoniczność
Def
Relację
nazywamy monotoniczną, jeżeli dla każdych koszyków
x=(x1,...x n)ÎX oraz y=(y1,...y n)ÎX zachodzi implikacja
x>yÞx>y
W której zapis x>y oznacza, że xi>yi dla i=1,2,...n. Jeśli relacja słabej preferencji jest monotoniczna to konsument kieruje się zasadą „im więcej tym lepiej”
2. Ciągłość relacji słabej preferencji
Relację ³ nazywamy ciągła w przestrzeni X jeżeli dla każdych dwóch koszyków x,yÎX takich, że x>y istnieje otoczenie UxÌX oraz Uy ÌX takich, że:
Interpretacja ciągłości:
1. Gdy relacja preferencji konsumenta jest ciągła i konsument uważa koszyk x za lepszy niż y to uważa on również każdy koszyk x I „niewiele” różniący się od koszyka x za lepszy od każdego koszyka y I „niewiele” różniącego się od koszyka y.
2. xÎXÌR+n
Jeżeli relacja ³ jest ciągła to odcinek w Rn łączący dowolny punkt yÎS >x z dowolnym punktem zÎS < x musi mieć niepustą część wspólną ze zbiorem obojętności K x.
Załóżmy że na rynku handluje się jednym doskonale podzielnym towarem którego podaż a (a>0)
Konsument ocenia koszyki następująco:
x~yóx=y
x>yóx>y
...
aisza24