MatFinUb W5.doc Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Materiały do wykładu
Wykład 5
Dyskontowanie weksla
Weksel jest dokumentem stwierdzającym bezwarunkowe zobowiązanie do zapłaty.
Interesują nas dwa parametry weksla: wartość nominalna weksla oraz termin płatności.
Wartość aktualna weksla
Chcemy ustalić wartość aktualną weksla (wartość zdyskontowaną).
Wartość aktualna weksla wyznaczana jest według reguły dyskonta prostego.
Przyjmijmy oznaczenia:
WN – wartość nominalna (suma wekslowa, kwota wekslowa);
WA – wartość aktualna (wartość zdyskontowana);
d – stopa dyskontowa;
t – czas aktualizacji;
D – dyskonto (kwota dyskonta).
WA = WN · (1 – d·t)
D = WN · d · t
WA = WN – D
Pamiętamy o wymogu zgodności jednostek.
W powyższym wzorze:
t – to czas wyrażany w latach;
d – to roczna stopa dyskontowa.
Czas dyskontowania najczęściej sami musimy wyznaczyć na podstawie daty wymagalności weksla i daty aktualizacji.
Do wyznaczania ilości dni może być stosowana reguła 30/360 lub reguła dokładna/365.
W zależności od stosowanej reguły wzory będą miały postać:
WA = WN · (1 – d · (dni/360) )
D = WN · d · (dni/360)
lub
WA = WN · (1 – d · (dni/365) )
D = WN · d · (dni/365)
Przykład 1
Dyskontujemy 14 grudnia 2008 weksel wymagany 15 kwietnia 2009 o wartości nominalnej 100.000 zł przy stopie dyskontowej d = 6,52%.
Oblicz wartość zdyskontowaną weksla i kwotę dyskonta według reguły 30/360.
Rozwiązanie
Ilość dni liczymy według reguły 30/360:
dni = (2009 – 2008)·360 + (4 – 12)·30 + (15 – 14)
dni = 360 – 240 + 1 = 121
Wartość zdyskontowaną liczymy według reguły dyskonta prostego:
WA = 100.000 · (1 – 0,0652 · (121 / 360))
WA = 97.808,56
Wartość dyskonta:
D = 100.000 · 0,0652 · (121 / 360)) = 2.191,44
D = WN – WA = 100.000 – 97.808,56 = 2.191,44
Ustalenie wartości nominalnej weksla
W chwili obecnej powstaje zobowiązanie płatnicze w wysokości K.
Jaka ma być wartość nominalna weksla wynikająca z odroczenia płatności.
WN = K / (1 – d·t)
W praktyce bankowej często stosuje się wzór:
WN = 360·K / (360 – d · dni)
Przykład 2
Weksel ma zabezpieczyć płatność 40.000zł odroczoną o 90 dni przy stopie dyskontowej d = 8,6%.
Oblicz wartość nominalną weksla.
WN = 40.000 /(1 – 0,086 · (90/360))
WN = 40.000 /(1 – 0,086 · 0,25)
WN = 40.000 /(1 – 0,0215)
WN = 40.000 / 0,9785
WN = 40.878,90
Równoważność weksli
Czasami zachodzi konieczność zastąpienia kilku weksli (portfela weksli) jednym, równoważnym wekslem.
Mówimy wtedy o odnowieniu zobowiązań.
Portfel weksli (W1 , T1), (W2 , T2), … , (WN , TN) zastąpić jednym wekslem (WZ , TZ).
Gdzie:
W1, W2,… , WN, WZ, – to wartości nominalne weksli;
T1, T2,… , TN, TZ, – to daty wymagalności weksli.
t1, t2,… , tN, tZ, – to czas do daty wymagalności weksli od daty T0 .
Musi zachodzić równoważność weksli w chwili obecnej T0 .
WZ·(1–d·tZ) = W1·(1–d·t1) + W2·(1–d·t2) + … + WN·(1–d·tN)
Skąd dostajemy:
WZ = { W1·(1–d·t1) + W2·(1–d·t2) + … + WN·(1–d·tN) } / (1–d·tZ)
Lub w postaci równoważnej
WZ = { W1·(360–d·dni1) + W2·(360–d·dni2) + … + WN·(360–d·dniN) } / (360–d·dniZ)
Przykład 3
W dniu 14 grudnia 2008 weksel o wartości nominalnej 12.000zł wymagalny 20 kwietnia 2009 chcemy zamienić wekslem wymagalnym 20 maja 2009, przy stopie dyskontowej d = 8,2%.
Wyznacz wartość nominalną odnowionego weksla.
dni(1) = 360 + (4 – 12)·30 + (20 – 14) = 360 – 240 + 6 = 126
dni(Z) = 360 + (5 – 12)·30 + (20 – 14) = 360 – 210 + 6 = 156
WZ = 12.000·(360 – 0,082·126) / (360 – 0,082·156)
WZ = 12.000·(360 – 10,332) / (360 – 12,792)
WZ = 12.000 · 349,668 / 347,208
WZ = 12.000 · 1,007085
WZ = 12.085,02
Odnowiony weksel powinien mieć wartość nominalną 12.085,02 zł.
Przykład 4
W dniu 14 grudnia 2008 chcemy zastąpić trzy weksle:
weksel o wartości nominalnej 16.000zł wymagalny 2 kwietnia 2009 ;
weksel o wartości nominalnej 8.000zł wymagalny 10 maja 2009 ;
weksel o wartości nominalnej 20.000zł wymagalny 15 czerwca 2009 ;
jednym wekslem wymagalnym 30 czerwca 2009, przy stopie dyskontowej d = 7,8%.
dni(1) = 360 + (4 – 12)·30 + (2 – 14) = 360 – 240 – 12 = 108
dni(1) = 360 + (5 – 12)·30 + (10 – 14) = 360 – 210 – 4 = 146
dni(1) = 360 + (6 – 12)·30 + (15 – 14) = 360 – 180 + 1 = 181
dni(Z) = 360 + (6 – 12)·30 + (30 – 14) = 360 – 180 + 16 = 196
WZ = {16000·(360–0,078·108) + 8000·(360–0,078·146) + 20000·(360–0,078·181)}/(360–0,078·196)
WZ = {16000·(360–8,424) + 8000·(360–11,388) + 20000·(360–14,118)}/(360–15,288)
WZ = {16000·351,576 + 8000·348,612 + 20000·345,882} / 344,712
WZ = {5625216,00 + 2788896,00 + 6917640,00} / 344,712
WZ = 15331752,00 / 344,712
WZ = 44.476,99 zł
Reguła bankowa oprocentowania
Banki zazwyczaj liczą oprocentowanie według następujących reguł:
a) Odsetki:
i) Całe lata liczone są według procentu złożonego;
ii) Okres mniejszy niż rok liczony jest według procentu prostego;
b) Czas
i) Liczony jest według reguły 30/360.
Kwota K0 została ulokowana w banku na czas t = n + u, gdzie n to liczba całkowita dodatnia, u liczba dodatnia z przedziału [0,1), przy stopie procentowej r.
Wartość zakumulowaną liczymy ze wzoru:
Kt = K0 · (1 + r)n · (1 + r · u) .
...
Super_Informatyka