mmf_materialy67.pdf

MMF-6/7 – 1

Metody Matematyczne Fizyki I – 2006/7

dr hab. Jan Iwaniszewski

Wykład (dla studentów I roku Fizyki, Fizyki Technicznej, Astronomii oraz Automatyki i Robotyki) wprowadza podsta-

wowe poj¦cia, operacje i metody matematyczne stosowane w ﬁzyce i technice. Główny nacisk poło»ony jest na intuicyjne

zrozumienie istoty poszczególnych operacji, a przede wszystkim na zdobycie biegło±ci rachunkowej. Do wykładu prowadzone

s¡ ¢wiczenia rachunkowe. Zaliczenie przedmiotu nast¦puje po zaliczeniu ¢wicze« i zdaniu egzaminu ko«cowego.

Tre±¢ wykładu

1. Liczby, podstawowe działania.

2. Funkcja jednej i wielu zmiennych: podstawowe poj¦cia, funkcje elementarne, granica i ci¡gło±¢ funkcji.

3. Ró»niczkowanie funkcji: pochodna i ró»niczka funkcji jednej zmiennej, pochodna cz¡stkowa, ró»niczka zupełna, pochod-

ne wy»szych rz¦dów, szereg Taylora.

4. Całkowanie funkcji: całka nieoznaczona i oznaczona funkcji jednej zmiennej, podstawowe metody całkowania, całki

wielokrotne, krzywoliniowe, powierzchniowe.

5. Równania ró»niczkowe zwyczajne: równania I rz¦du o rozdzielonych zmiennych, równania liniowe I i II rz¦du.

6. Współrz¦dne: układ współrz¦dnych kartezja«skich, biegunowych, cylindrycznych i sferycznych.

7. Algebra wektorów: dodawanie i mno»enie przez skalar, rozkład na składowe, zale»no±¢ liniowa, przestrze« wektorowa,

iloczyn skalarny i wektorowy.

8. Analiza wektorowa: pole skalarne i wektorowe, ró»niczkowanie i całkowanie wektorów, gradient, dywergencja, rotacja,

twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, Stokesa, Greena.

9. Metody przybli»one: szacowanie rz¦du wielko±ci, rozwini¦cie w szereg.

10. Rachunek prawdopodobie«stwa: podstawowe poj¦cia, warto±¢ ±rednia i wariancja, rozkład jednorodny i normalny.

11. Analiza pomiarów ﬁzycznych: bł¦dy i niepewno±ci, pomiary bezpo±rednie i po±rednie, prezentacja wyników, regresja

liniowa.

Zalecana literatura

1. F. W. Byron, R. W. Fuller, Matematyka w ﬁzyce klasycznej i kwantowej, T. I (PWN, Warszawa, 1973)

2. G. M. Fichtenholz, Rachunek ró»niczkowy i całkowy, T. 1-3I (PWN, Warszawa, 1999)

3. E. Kara±kiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów (PWN, Warszawa, 1971).

4. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, T. I-II (PWN, Warszawa, 1999)

5. W. Korczak, M. Trajdos, Wektory, pochodne, całki ((PWN, Warszawa, 1997)

6. W. Leksi«ski, I. Nabiałek, W. akowski, Matematyka dla studiów eksperymentalnych (WNT, Warszawa, 1977)

7. K. Szałajko, Matematyka T.1 (PWN, Warszawa, 1984)

8. S. Romanowski, W. Wrona, Matematyka wy¹sza dla studiów technicznych (PWN, Warszawa, 1962)

9. B. Gdowski, E. Pluci«ski, Zbiór zada« z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej (Oﬁcyna Wydawnicza Poli-

techniki Warszawskiej, 2000)

10. G. A. Korn, T. M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i technicznych, cz. 1 i 2 (PWN, Warszawa, 1983)

11. red. I Dziubi«ski, T. wi¡tkowski, Poradnik Matematyczny, cz.1 i 2 (PWN, Warszawa, 1985)

12. I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Matematyka, poradnik encyklopedyczny (PWN, Warszawa, 1968)

13. B. Piłat, M. J. Wasilewski, Tablice całek (WNT, Warszawa, 1983)

14. A. Bielski, R.Ciuryło, Podstawy metod opracowania pomiarów (Wyd. UMK, Toru«, 2001)

15. H. Szydłowski, Pracownia ﬁzyczna (PWN, Warszawa, 1999)

MMF-6/7 – 2

Przedrostki liczbowe

wielokrotno±ci

powielokrotno±ci

10 3

kilo

10 − 3

mili

10 6

mega M

10 − 6

mikro µ

10 9

giga G

10 − 9

nano

10 12

tera T

10 − 12

piko

10 15

peta P

10 − 15

femto f

10 18

eksa E

10 − 18

atto

10 1

deka da

10 − 1

decy

10 2

hekto ha

10 − 2

centy c

Silnia

n ! = 1 · 2 · 3 · ... · ( n − 1) · n, 0 ¬ n, 0! = 1

Symbol Newtona

n !

k !( n − k )! , k ¬ n

( a + b ) n =

a k b n − k

Dwumian Newtona

k =0

Zadania I

Symbol Newtona

Wykaza¢, »e:

n − k

3. 1 +

+ ... +

= 2 n ,

k − 1

n + 1

4. 1 −

− ... + ( − 1) n

= 0,

Szacowanie rz¦du wielko±ci

1. Promie« Wszech±wiata szacuje si¦ na 10 26 m , a liczb¦ nukleonów we Wszech±wiecie na 10 80 . Oszacowa¢ mas¦ Wszech-

±wiata, ±redni¡ g¦sto±¢ materii i ±redni¡ ilo±¢ nukleonów w 1 m 3 .

2. (Feynman T I cz. 1 s. 365) Dawno temu, w erze paleozoicznej kropla popołudniowej ulewy upadła na błotnist¡ równin¦,

pozostawiaj¡c trwały ±lad. Slad ten w postaci skamieliny odkopał pewnego upalnego dnia w wiele lat pó¹niej student

geologii. Wys¡czywszy do dna wod¦ ze swojej manierki student ten bezskutecznie si¦ zastanawiał, ile cz¡steczek wody

z tej staro»ytnej kropli mogło znajdowa¢ si¦ w manierce, któr¡ przed chwil¡ opró»nił. Spróbuj Ty oceni¢ t¦ liczb¦.

3. Oszacowa¢ jaki rezultat osi¡gn¡łby skoczek wzwy» na Ksi¦»ycu, je»eli przyspieszenie grawitacyjne jest tam 6-krotnie

mniejsze ni» na Ziemi.

4. Ciekły hel ma g¦sto±¢ = 0 . 13 g/cm 3 . Oszacowa¢ warto±¢ promienia atomu He zakładaj¡c, »e atomy s¡ upakowane w

najg¦stszej mo»liwej konﬁguracji, która wypełnia 74% przestrzeni.

5. Jaki wpływ na wyniki konkurencji biegowych miało ustawienie strzelaj¡cego z pistoletu startera na murawie stadionu?

Dlaczego obecnie zawodnicy maj¡ gło±niki wmontowane w bloki startowe? Jak to pogodzi¢ z faktem, »e na mecie

fotokomórka ustawiona jest w dalszym ci¡gu z boku bie»ni?

6. Cegła wa»y kilogram i pół cegły. Ile elektronów zawiera jedna cegła? (Głównym składnikiem glinek ceramicznych jest

kaolinit Al 2 Si 2 O 9 H 4 .)

MMF-6/7 – 3

Funkcje elementarne

x a , a x , log a ( x ), sin( x ), cos( x ), tan( x ), cot( x ), arcsin( x ), arccos( x ), arctan( x ), arccot( x )

Zadania II

Funkcje

1. Okre±li¢ dziedzin¦ i przeciwdziedzin¦ wszystkich funkcji elementarnych (w przypadku funkcji wykładniczej i logaryt-

micznej uwzgl¦dni¢ wszystkie mo»liwe warto±ci parametru a ).

2. Narysowa¢ na jednym wykresie przebieg nast¦puj¡cych funkcji:

(a) y = x w dla ró»nych warto±ci rzeczywistego wykładnika w (uwzgl¦dni¢ wszystkie mo»liwe typy krzywych), okre±li¢

wzajemne relacje miedzy nimi,

(b) a x i log a ( x ) dla ró»nych warto±ci podstawy a , w tym dla a = 10 i a = e ,

3. Korzystaj¡c z wzorów na sin( a + b ), cos( a + b ) i jedynki trygonometrycznej:

(a) znale¹¢ wzór na tg( a + b ) i ctg( a + b ),

(b) przedstawi¢ sin( a ) ± sin( b ) oraz cos( a ) ± cos( b ) w postaci iloczynu funkcji sin i cos,

¢wiartkach układu współrz¦dnych)

(d) przedstawi¢ wszystkie funkcje trygonometryczne od argumentu połówkowego a/ 2 (np. sin( a/ 2)) przy pomocy

funkcji od argumentu a i odwrotnie.

4. Upro±ci¢ wyra»enia

(a)

( a 2 − b 2 ) ( a + b ) 2 − ab

b 3 − a 3

a − a 2

a − b

b ( a + 2 b )

b − a

b 2

a − b

(b)

1 2+3

−

2 3

3 2

− a −

9 a + 6

128 a + 48

1 −

2 −

3 −

1 +

2 +

3 +

(c)

(1 − e − 2 x ) 2 + 2(1 + e − x ) − 4

e x − e − x

b x + y · log b

a x − y − log b

a y − x · log a

b y + x

(d) log a

1 − tan( x ) 2

1 + tan( x ) 2

(e)

sin x ± sin y

cos x ± cos y

(e) arcsin

(f)

sin x + sin y

sin x − sin y

(f) arccos

p 2

cos( x ) + cos( x −

2 )

(g)

cos x − cos y

cos x + cos y

(g) arctan

tan x + cot y −

cot x + tan y

(h)

tan a + tan b

tan a − tan b +

cot a + cot b

cot a − cot b

" p

1 − sin(2 x ) 2

− sin(2 x )

(h) arccot

tan a + tan b

cot a + cot b + 1

tan a − tan b

cot a − cot b − 1

h p 2 cos

(i)

(i) arcsin

x + arcsin

− p 2

− cos x

(cos (arctan x )) 2 − 2 cos

−

(j) ln

(j) cos(4 arccos( x ))

(k) sin(2 arctan( x ))

MMF-6/7 – 4

Granice funkcji

Je»eli lim

x ! x 0 f ( x ) = a i lim

x ! x 0 g ( x ) = b , to:

Granica iloczynu przez skalar lim

x ! x 0 [ c · f ( x )] = c · a ( c -dowolna stała)

Granica sumy

x ! x 0 [ f ( x ) + g ( x )] = a + b

Granica iloczynu

x ! x 0 [ f ( x ) · g ( x )] = a · b

f ( x )

g ( x )

= a

Granica ilorazu

lim

x ! x 0

(dla b 6 = 0)

Granica funkcji zło»onej

Je»eli lim

x ! x 0 f ( x ) = a i lim

x ! a g ( x ) = b , to lim

x ! x 0 g ( f ( x )) = b

Pewne granice

sin( x )

lim

x !1

1 +

= e

lim

x ! 0

= 1

Zadania IV

Wyznaczy¢ nast¦puj¡ce granice (znak ±

oznacza, »e nale»y policzy¢ dwie ró»ne gra-

nice dla tej samej funkcji):

Pokaza¢, »e:

1. lim

x !− 1

1 + x 3

1 + x 5

x + 1

x 3 + 1

1. lim

x !± 1

2. lim

x !−1

1 +

= e

x − 1

4 − x 2

2. lim

x !± 2

x ! 0 (1 + x ) x = e

p x 2 + 1

3. lim

x !±1

4. lim

x ! 0

ln(1 + x )

= 1

1 − x

2 x 2 + 2 x − 4

lim

x ! 0 , ± 1 , ± 2 , ±1

5. lim

x ! 0

log a (1 + x )

ln( a )

p a 2 − x − a

5. lim

x ! 0

, dla a > 0

6. lim

x ! 0

e x − 1

= 1

tan x

6. lim

x ! 0

7. lim

x ! 0

a x − 1

= ln( a )

tan x

arctan x

7. lim

x ! 0

8. lim

x !1

sin( x )

= 0

cos 2 x − 1

sin 4 x

8. lim

x ! 0

9. lim

x ! 0

cos( x ) − 1

x 2

= − 1

x − / 2

9. lim

x ! / 2

tan x +

lim

3. lim

MMF-6/7 – 5

Ró»niczkowanie

Deﬁnicja pochodnej

y 0 = dy

dx = df ( x )

= lim

x ! 0

f ( x + x ) − f ( x )

= lim

x 1 ! x

f ( x 1 ) − f ( x )

x 1 − x

Pochodna sumy

dx [ f ( x ) + g ( x )] = df ( x )

+ dg ( x )

Pochodna iloczynu

dx [ f ( x ) g ( x )] = df ( x )

dx g ( x ) + f ( x ) dg ( x )

Pochodna funkcji zło»onej

dx f [ g ( x )] = df ( y )

y = g ( x ) · dg ( x )

df ( y )

y = f − 1 ( x )

# − 1

Pochodna funkcji odwrotnej

dx f − 1 ( x ) =

d a ( t )

= d

da x ( t )

, da y ( t )

, da z ( t )

Pochodna wektora

dt ( a x ( t ) ,a y ( t ) ,a z ( t ) ) =

Ró»niczki

²dx - ró»niczka zmiennej x - niesko«czenie mały (inﬁnitezymalny) przyrost x warto±ci zmiennej x

²dy = df = df ( x ) = f 0 ( x ) dx - ró»niczka funkcji y = f ( x ) - liniowa cz¦±¢ przyrostu y warto±ci

funkcji przy inﬁnitezymalnej zmianie dx warto±ci argumentu

Zadania V

1. Wyprowadzi¢ wzór na pochodn¡ ilorazu dwóch funkcji: (a) badaj¡c granic¦ ilorazu ró»nicowego, (b) korzystaj¡c ze

wzorów na pochodn¡ iloczynu, funkcji zło»onej i funkcji pot¦gowej,

2. Wyznaczy¢ ró»niczk¦ sumy, iloczynu i ilorazu dwóch funkcji, oraz funkcji zło»onej i odwrotnej.

3. Korzystaj¡c z deﬁnicji (granica ilorazu ró»nicowego) znale¹¢ pochodne nast¦puj¡cych funkcji:

x ,

3 − 2 x , p x , 2 p 3 x − 1 , xe − x , cos x

4. Obliczy¢ pochodne wszystkich funkcji elementarnych korzystaj¡c tylko z deﬁnicji (granica ilorazu ró»nicowego), z

wzorów na pochodn¡ sumy, iloczynu, funkcji zło»onej i funkcji odwrotnej, z obliczonych ju» pochodnych innych funkcji

elementarnych, oraz ze znanych relacji mi¦dzy funkcjami.

5. Korzystaj¡c ze znajomo±ci pochodnych funkcji elementarnych oraz ze wzorów na pochodn¡ sumy, iloczynu, itd., obliczy¢

pochodne nast¦puj¡cych funkcji (rezultat poda¢ w mo»liwie najprostszej postaci):

1 . y = 4 x 3 − 6 x 2 + 3 x + 5 ,

2 . y = x 2 − 2 x + 3 5 ,

cot(2 x ) − cot(3 x ) ,

11 . y = ln (2 sin(3 x )) ,

3 x 3 p x − x 2 p

3 . y =

x 3 ,

2 x 2 − x − 1 3

(2 x + 1) 5 (3 x − 3) 2 ,

1 − sin x

1 + sin x

4 . y = (1 − x ) ( x + 0 . 5) 2

12 . y = log 10

x 2 + 3 x + 2

x 2 − 3 x + 2

13 . y = arctan

1 + x 2 − x

5 . y =

arcsin

1 − x 2

1 + x 2

6 . y = e wx [ A sin( ax ) + B cos( bx )] ,

7 . y = x x ,

8 . y = ln e 2 x − e − 2 x ,

14 . y = cos

15 . y = x arctan( x ) − 1

2 ln x 2 + 1 .

x + 1

x − 1 ,

9 . y = sin (tan( x )) ,

10 . y = cot(3 x ) cot(2 x ) + 1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: