Zadanie 4.pdf

(146 KB) Pobierz
Przykład 2
Przykład 2.4. Figura z dwiema osiami symetrii
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury.
4 a
2 a
2 a
4 a
4 a
2 a 2 a
4 a
Dla rozważanej figury przyjmiemy dwa współśrodkowe układy współrzędnych xy oraz
ξη . Oba układy są układami centralnymi. Układ ξη jest ponadto układem osi głównych,
ponieważ osie ξ i η są osiami symetrii figury. Należy oczywiście ustalić, która z osi układu ξη
jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a która osią minimalnego momentu
bezwładności.
y
y
η
I
4 a
x
2 a
III
II
x
C
C
2 a
4 a
ξ
4 a
2 a 2 a
4 a
4 a
2 a 2 a
4 a
Moment bezwładności rozpatrywanej figury względem osi x policzymy jako
podwojoną sumę momentów bezwładności figur składowych (figury I, II i III).
() () ()
I x
=
2
⋅
⎡
1
⋅
2
a
⋅
6
a
3
+
1
⋅
4
a
⋅
2
a
3
+
1
⋅
2
a
⋅
2
a
3
⎤
=
312
a
4
⎣
⎦
3
3
12
Moment bezwładności figury względem osi y ma taką samą wartość.
186655533.011.png 186655533.012.png 186655533.013.png
=
Wyznaczymy teraz moment bezwładności względem osi η , stosując nowy podział na
figury składowe. Figury II i IV traktujemy jako pola "ujemne". Momenty bezwładności figury
I i II mnożymy przez dwa, natomiast moment bezwładności figury IV mnożymy przez cztery.
I
I
=
312 a
4
y
x
η
η
η
II
6 a
I
2
2
a
IV
2
a
III
4 a
6 a
2
a
2
2
a
4 a
Centralny moment bezwładności kwadratu nie zależy od kierunku osi centralnej. Oś η
jest osią centralną dla kwadratu I, II i III.
() () ( ) ( ) ( )
=
2
⋅
⎡
1
⋅
6
a
4
−
1
⋅
4
a
4
⎤
+
1
⋅
2
2
a
4
−
4
⋅
1
⋅
2
2
a
⋅
2
2
a
3
=
177
1
a
4
⎣
⎦
12
12
12
12
3
W dalszych obliczeniach wykorzystamy to, że suma momentów bezwładności
względem obu osi układów współśrodkowych jest stała.
I
x
+
I
y
=
I
ξ
+
I
η
czyli
I
=
I
+
I
−
I
=
2
⋅
I
−
I
=
2
⋅
312
a
4
−
177
1
a
4
=
446
2
a
4
ξ
x
y
η
x
η
3
3
Z porównania wartości głównych momentów bezwładności wynika, że oś ξ jest kierunkiem
maksymalnego momentu bezwładności a oś η jest kierunkiem minimalnego momentu
bezwładności.
I
=
I
=
I
=
177 a
1
4
,
I
=
I
=
I
=
446 a
2
4
η
min
2
3
ξ
max
1
3
η -kierunek minimalnego
momentu bezwładności
ϕ
=
π
2
4
x
C
π
ϕ
=
−
1
4
ξ -kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
2
I η
186655533.014.png 186655533.001.png 186655533.002.png 186655533.003.png 186655533.004.png 186655533.005.png 186655533.006.png 186655533.007.png 186655533.008.png 186655533.009.png 186655533.010.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin