Modele_dyskretne_z_opoznieniem.pdf

Modeledyskretnezopóźnieniem

Rozważmy model, w którym liczebność osobników w czasie t +1 zależy

od liczebności w czasie t ale także od liczebności w czasie o T wcześniejszym

w ten sposób możemy uwzględnić efekty dorastania do wieku rozrodczego.

Ogólnie sytuacja taka jest opisywana równaniem:

N t +1 = f ( N t ,N t − T )

(1)

Jako konkretną ilustrację rozpatrzymy model:

N t +1 = N t exp

1 − N t − T

, r > 0

(2)

Równanietomożemyzinterpretowaćnastępująco:naobecnetemporozmna

żania ma wpływ efekt ciasnoty występujący w czasie o T wcześniejszym.

Po zamianie zmiennych K = u otrzymujemy równanie bezwymiarowe:

u t +1 = u t exp( r (1 − u t − T ))

(3)

Punkty stacjonarne tego modelu to u =0 i u =1.

Stabilność: badamy małe wychylenia od u

u t = u + x t

i | x t

| << 1

1 o dla u =0:

x t +1 = x t exp( r (1 − x t − T ))

exp( r (1 − x t − T )) > 1 dla r > 0 czyli u = 0 jest niestabilnym punktem

stacjonarnym

2 o dla u =1

1+ x t +1 =(1+ x t )exp( r (1 − (1+ x t − T )))=(1+ x t )exp( − rx t − T ) (1+ x t )(1 − rx t − T )

Dalej dla uproszczenia przyjmijmy, że T =1, wówczas

− x t + rx t − 1 =0

Poszukujemy rozwiązań tego równania postaci x t = z t , popodstawieniu ma

x t +1

z 2 − z + r =0

rozwiązaniem są

z 1 ,z 2 = 1

1 ± p

1 − 4 r

rozwiązanie równania na małe wychylenia jest postaci:

x t = Az t 1 + Bz t 2

dla 0 <r < 1 / 4 pierwiastki są rzeczywiste i z 1 ,z 2

2 (0 , 1) czyli małe wychy

lenia zanikają z czasem.

Dla r > 1 / 4 pierwiastki są zespolone i można je zapisać w postaci:

z 1 ,z 2 = e ± i

r . Ponieważ rozwiązania na małe wychylemia

muszą być rzeczywiste więc A = B , ostatecznie rozwiązanie wygląda tak:

| = | z 2

| = =

x t =2 | A | t cos( t + ) , =tg − 1

4 r − 1 , =arg A

Dla 1 / 4 < r < 1 t ! 0 dla t ! 1 więc u = 1 jest stabilny. Przy

przejściu z r przez 1 punkt ten traci stabilność bo małe wychylnia rosną w

czasie.

W pobliżu wartości granicznej r =1 tg − 1

3= / 3

x t

2 | A | cos( t/ 3+ )

Rozwiązanie oscyluje z okresem = 6. Proszę zbadać zachowanie równania

numerycznie dla r 2{ 0 . 2 , 0 . 3 , 0 . 8 , 1 , 1 . 1 , 1 . 2 }

function opoznienie_dyskretne(r)

x(1)=1;

x(2)=1.1;

%r=0.5;

for t=2:100

widać, że | z 1

x(t+1)=x(t)*exp(r*(1-x(t-1)));

plot(x,’-o’);

xlim([1 100]);

ylim([0 3.5])

drawnow

end

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: