ramy przestrzenne statycznei niewyznaczalne.pdf

(280 KB) Pobierz
28928076 UNPDF
Część 1
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
1
14. . 
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
14.1. Wstęp
Układ przestrzenny – to konstrukcja, której elementy ułożone są w trzech wymiarach ( x , y , z ). Układem
przestrzennym jest także konstrukcja płaska wpisana w płaszczyznę, na którą działają siły prostopadłe do tej
płaszczyzny (kierunek ich działania pokrywa się z trzecim wymiarem).
Ramy przestrzenne statycznie niewyznaczalne rozwiązujemy analogicznie jak układy płaskie.
W celu obliczenia przemieszczeń należy określić siły, jakie występują w przekrojach ustroju prętowego.
W układach przestrzennych rozróżniamy siły działające wzdłuż trzech osi, momenty zginające w dwóch
płaszczyznach i moment skręcający. Moment działający wokół osi zaznaczamy jako wektor z podwójnym
grotem wzdłuż tej osi (przyjmujemy oznaczenia jak dla układów prawoskrętnych).
z
z
M
≡
M z
T z
M
x
M x
М y =M s
x
T x
N y
y
y
Przemieszczenia będą obliczane ze wzoru:
ik = ∑ { ∫ s M xi M xk
EJ 1
ds ∫ s
M zi M zk
EJ 3
ds ∫ s
N yi N yk
EA
ds
(14.1)
}
∫ s T xi T xk
ds ∫ s T zi T zk
M s i M s k
GJ s
GA
GA
ds ∫ s
ds
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
28928076.014.png 28928076.015.png 28928076.016.png 28928076.017.png
Część 1
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
2
gdzie:
GJ s - parametr charakteryzujący sztywność na skręcanie.
14.2. Sztywność na skręcenie
W zależności od kształtu przekroju pręta i rodzaju materiału z jakiego został on wykonany, określa się
sztywność na skręcanie ( GJ s ). Parametry fizyczne określamy ze wzoru:
G = E
2 ⋅ 1 
(14.2)
gdzie:
G - moduł Kirchhoffa,
E - moduł Younga,
- współczynnik Poissona.
Parametry geometryczne zależą od kształtu przekroju:
• dla prostokąta:
J S = k ⋅ h ⋅ b 3
(14.3)
gdzie:
k - współczynnik zależny od stosunku wysokości do szerokości prostokąta.
• dla koła:
J S = J 0 = 2 J x
(14.4)
• dla kształtowników cienkościennych otwartych:
J S =⋅ 1
3 ⋅ ∑ i
h i ⋅ b i 3
(14.5)
gdzie:
h , b - wymiary półek i środników traktowanych jako prostokąty ( b jest mniejszym wymiarem boku),
- współczynnik poprawkowy zależny od kształtu przekroju.
kątownik
dwuteownik
ceownik
teownik
1
1,2
1,12
1,15
• dla przekroju cienkościennego zamkniętego:
J S = 4 ⋅ 2 ⋅
s
(14.6)
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
28928076.001.png
Część 1
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
3
s
s
δ
δ
ω
ω
gdzie:
- pole powierzchni zawarte w obrębie linii środkowej,
s
- obwód linii środkowej,
- grubość (stała lub średnia).
Sposób rozwiązywania ram przestrzennych statycznie niewyznaczalnych omówimy na przykładzie liczbowym.
Zadanie 1
Dla ramy przestrzennej (rys. 14.1) wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych wywołanych zadanym
obciążeniem. Przyjąć, że rama składa się z prętów stalowych o przekroju kołowym ( G=0,375E , J s =2J ).
z
y
10 kN
x
4,0
5,0
5 kN/m
[m]
3,0
Rys. 14.1. Zadany układ przestrzenny
Układ jest statycznie niewyznaczalny dlatego określamy stopień statycznej niewyznaczalności i dobieramy
układ podstawowy. Aby w przestrzeni układ utracił swobodę ruchu niezbędnych jest sześć więzów.
Rozpatrywana rama ma osiem więzów wobec tego:
SSN = 8 – 6 = 2
W celu rozwiązania zadania metodą sił przyjmujemy układ podstawowy (geometrycznie niezmienny w
przestrzeni).
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
28928076.002.png 28928076.003.png 28928076.004.png 28928076.005.png
Część 1
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
4
z
B
10 kN
y
x
X 2
4,0
X 1
5,0
5 kN/m
A
[m]
3,0
Rys. 14.2. Układ podstawowy z niewiadomymi siłami X 1 i X 2
który musi spełniać warunki kinematycznej zgodności z układem wyjściowym. Oznacza to, że przemieszczenie
punktu A po kierunku osi y oraz przemieszczenie punktu B po kierunku osi z muszą być równe zero.
y = 0
z = 0
Na powyższe przemieszczenia wpływ mają nadliczbowe siły X i oraz obciążenie zewnętrzne. Równania
kanoniczne przyjmą zatem postać:
y = 11 ⋅ X 1  12 ⋅ X 2  1 P = 0
z = 21 ⋅ X 1  22 ⋅ X 2  2 P = 0
(14.7)
Przemieszczenia w ramie przestrzennej obliczymy pomijając wpływ sił normalnych i tnących:
1 ⋅ ik = ∑∫ s
M yi M yk
EJ y
ds ∑∫ s
M zi M zk
EJ z
ds ∑∫ s
M i s M s
GJ s
ds
(14.8)
gdzie:
M i y , M y , M i z , M z - momenty zginające działające odpowiednio względem osi y i z ,
M i s , M s
- momenty skręcające względem osi pręta,
J s
- moment bezwładności na skręcanie.
Ponieważ przekrój pręta jest kołowy, to J y = J z =J , a moment na skręcanie jest równy biegunowemu
momentowi bezwładności J s = J 0 = J z + J y = 2J . Podstawiając dane G i J s otrzymamy:
1 ⋅ ik = ∑∫ s
M i y M y
EJ
ds ∑∫ s
M i z M z
EJ
ds ∑∫ s
M i s M s
0,75 EJ ds
(14.9)
Kolejnym etapem jest wyznaczenie wartości momentów zginających i skręcających od sił jednostkowych,
przyłożonych kolejno w miejsca niewiadomych X 1 i X 2 , oraz od obciążenia zewnętrznego.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
28928076.006.png
Część 1
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
5
• Stan od obciążenia X 1 = 1
z
y
x
4,0
X 1 =1
5,0
[m]
3,0
Rys. 14.3. Układ podstawowy obciążony siłą X 1 =1
z
z
y
y
x
x
-4
3
4
-
4
4,0
4,0
-3
-
5,0
5,0
[m]
M 1 [m]
[m]
M s 1 [m]
3,0
3,0
Rys. 14.4. Wykres momentów zginających i skręcających od obciążenia X 1 = 1
• Stan od obciążenia X 2 = 1
z
X 2 =1
y
x
4,0
5,0
[m]
3,0
Rys. 14.5. Układ podstawowy obciążony siłą X 2 =1
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
28928076.007.png 28928076.008.png 28928076.009.png 28928076.010.png 28928076.011.png 28928076.012.png 28928076.013.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin