momenty_wektora_p.pdf

(162 KB) Pobierz
2
2.4. Moment wektora względem punktu
Momentem wektora a względem punktu (bieguna) O nazywamy iloczyn
wektorowy wektora r A = OA o początku w punkcie O i końcu w początku wektora
a przez wektor a (rys. 2.10). Moment wektora względem punktu będziemy
oznaczać w następujący sposób:
= (2.35)
Z podanej definicji wynika, że moment wektora względem punktu ma
własności wynikające z omówionego w p. 2.3.2 iloczynu wektorowego. Zatem
wektor M O ( a ) jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny określonej przez
wektory r A i a i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej. Albo inaczej, jego
zwrot jego jest taki, że dla obserwatora patrzącego z końca wektora momentu
wektor a wywołuje obrót wokół bieguna O w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara.
Moment wektora względem punktu jest równy zeru, gdy wektor a = 0 lub wektory
r A i a są równoległe, albo linia działania wektora a przechodzi przez punkt O.
Obecnie zastanówmy się, jak zmieni się moment wektora względem punktu,
gdy wektor a przesuniemy wzdłuż linii jego działania. W tym celu obliczmy
moment wektora przyłożonego w punkcie
M
O
( ) .
a
r
A
×
a
A , różniącego się od wektora a
tylko punktem przyłożenia, względem punktu O (rys. 2.10). Z definicji momentu
wektora względem punktu mamy:
a
′
′
M
O
( ) .
a
′
=
r
A
′
×
a
′
Na podstawie rys. 2.10 możemy napisać:
r
A
′ = + ′
r A
A
.
Po podstawieniu tej zależności do wzoru na moment wektora względem punktu
otrzymamy:
Ma r AA a r aAA a
O
′ =+′ × ′ =×+ ′× ′.
A
Ponieważ ′ aa , a iloczyn wektorowy dwóch wektorów leżących na jednej
prostej jest równy zeru:
AA a
′× = 0,
otrzymujemy:
( )
( )
Ma r a Ma
′ =×= .
A
O
() ( )
A
O
Z otrzymanej zależności wynika, że moment wektora a względem punktu O nie
ulegnie zmianie, gdy wektor przesuniemy wzdłuż linii jego działania, czyli jest on
wektorem przesuwnym. Wartość momentu M O ( a ) będzie zależała od położenia
linii działania wektora, jego modułu oraz punktu, względem którego liczymy
moment.
Odległość punktu O od linii działania wektora a , oznaczonej na rys. 2.10 przez
h, będziemy nazywać ramieniem wektora.
Gdy wektor a przesuniemy do punktu A ′ (rys. 2.10), to moment tego wektora:
M
O
( )
=
O
A
′
a
.
Z tego wzoru wynika, że moduł momentu jest równy iloczynowi modułu wektora
przez jego ramię:
M O
( ) ( )
=
O
= .
a h .)
Moment wektora względem punktu można wyrazić za pomocą współrzędnych
wektora a danych w prostokątnym układzie współrzędnych (rys. 2.11). Jeżeli
wektory r A i a zapiszemy za pomocą ich współrzędnych:
r
A
=
x
i
+
y
j
+
z
k
,
a
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
,
a ′
z
a
M O ( a )
A′
M o ( a )
A
r A
.
A″
r A
h
a
0
y
0
r A
A
x
Rys. 2.10. Moment wektora względem
punktu
Rys. 2. 11. Moment wektora względem
początku układu współrzędnych
to moment wektora a względem początku układu współrzędnych O na podstawie
wzorów (2.28) i (2.27) wyraża zależność:
a
aMa
79494782.001.png
i
j
k
()
M
O
a
=
r
A
×
a
=
x
y
z
=
a
x
a
y
a
z
( ) ( ) ( ) .
=
ya
z
−
za
y
i
+
za
x
−
xa
z
j
+
xa
y
−
ya
x
k
(2.37)
Po zapisaniu momentu w postaci:
M
O
()
=
M
Ox
i
+
M
O
y
j
+
M
Oz
k
i podstawieniu do wzoru (2.37) otrzymamy wzory na współrzędne wektora M O ( a ):
M
Ox
=
ya
z
−
za
y
,
⎬
M
Oy
=
za
x
−
xa
z
,
(2.38)
⎭
M
Oz
=
xa
y
−
ya
x
.
a
⎫
79494782.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin