Fizyka lista 5.pdf

dr hab. Antoni C. Mitu±, prof. PWr

Wrocław, 09.10.2012

Fizyka I

Lista 5 - Elementy kinematyki na płaszczy¹nie i w przestrzeni

(zadania oznaczone (!) - w pierwszej kolejno±ci; (*) - nadobowi , azkowe)

1. (!) Cz , astka porusza si , epo płaszczy¹nie; współrz , edne kartezja«skie x oraz y tej cz , astki

zale» , aod czasu: (a) x =sin( t ) ;y =cos( t ); (b) x = t;y = t 2 ; (c) x = t 2 ;y = t 2 .

(a) Wyznaczy¢ równanie toru cz , astki.

(b) Wyznaczy¢ wektory pr , edko±ci oraz przyspieszenia w ka»dym z przypadków.

sowa¢ wykresy zale»no±ci tych składowych od czasu.

2. (!) Wektor wodz , acy punktu materialnego wynosi ~r ( t )=[cos( t ) ; sin( t ) ;t ].

(a) Jaka krzywa jest torem ruchu? Naszkicowa¢ t , ekrzyw , a.

(b) Wyznaczy¢ wektor przyspieszenia w chwili t =0.

3. (!) Cz , astka porusza si , epo płaszczy¹nie; współrz , edne biegunowe r oraz ' tej cz , astki zale» , a

od czasu: (a) r = t , ' = ¼= 4; (b) r = R (2+sin( t )), ' = t . Opisa¢ tor ruchu cz , astki.

4. (!) Ruch punktu materialnego w biegunowym układzie współrz , ednych opisuj , arównania

r = bt , ' = c=t ( b;c - stałe). Znale¹¢ tor ruchu, pr , edko±¢ i przyspieszenie punktu jako

funkcje czasu. Narysowa¢ wykresy v ( t ) ;a ( t )dla b> 0 ;c> 0.

5. (*) Punkt materialny porusza si , eze stał , apr , edko±ci , a j~vj = const: Prosz , epokaza¢, »e

wektor przyspieszenia jest w tym ruchu w ka»dej chwili prostopadły do toru ruchu.

Wskazówka: zró»niczkowa¢ po czasie~v¢~v .

Komentarz: w rozwa»anym przypadku warto±¢ wektora przyspieszenia deﬁniuje krzywizn , e

· krzywej: · ( t )= j~v 0 ( t ) j . Ile wynosi krzywizna okr , egu? Jak zbudowa¢ trzy ortonormalne

wektory (jeden z nich to ~v ( t )) opisuj , ace geometri , ekrzywej (tj. sposób, w jaki si , eskr , eca

i obraca), tworz , ace tzw.

trójnóg Freneta ?

(lit.: J. Oprea, Geometria ró»niczkowa i jej

zastosowania , str. 27)

6. (*) Poło»enie punktu materialnego dane jest we współrz , ednych biegunowych wzorami

r = R;' = t 2 . Wyznaczy¢ drog , eprzebyt , aprzez punkt materialny w czasie t , je»eli w

chwili t =0punkt spoczywał. W tym celu:

(a) Wyznaczy¢ zale»no±¢ pr , edko±ci od czasu v ( t ).

(b) Wyznaczy¢ przyspieszenie styczne. Jakim ruchem porusza si , epunkt materialny?

7. (*) Ruch w układzie walcowym

Poło»enie punktu w walcowym układzie współrz , ednych zadane jest trzema liczbami:

( r;';z ).

(a) Prosz , eznale¹¢ składowe niesko«czenie małego wektora przesuni , ecia d~s , ł , acz , acego

punkty( r;';z )i( r + dr;' + d';z + dz )w walcowym układzie współrz , ednych. Na

podstawie tego wyniku napisa¢ wyra»enia na:

(i) kwadrat odległo±ci mi , edzy tymi punktami;

(ii) kwadrat długo±ci wektora pr , edko±ci.

(b) Poda¢ współrz , edne walcowe punktu materialnego z zadania 2.

zastosowa¢ wyprowadzone wy»ej wzory.

8. (*) Ruch w układzie sferycznym

Poło»enie punktu w sferycznym układzie współrz , ednych zadane jest trzema liczbami:

( r;#;' ).

(a) Prosz , eznale¹¢ składowe niesko«czenie małego wektora przesuni , ecia d~s , ł , acz , acego

punkty( r;#;' )i( r + dr;# + d#;' + d' )w sferycznym układzie współrz , ednych i na

podstawie tego wyniku napisa¢ wyra»enia na

(i) kwadrat odległo±ci mi , edzy tymi punktami;

(ii) kwadrat długo±ci wektora pr , edko±ci.

(b) Poło»enie punktu materialnego dane jest w układzie sferycznym wzorami: r ( t )=

R;' ( t )= t;# ( t )=exp( ¡t ) ; ( t¸ 0).

(i) Opisa¢ trajektori , eruchu;

(ii) wyznaczy¢ zale»no±¢ długo±ci wektora pr , edko±ci od czasu.

Zad. 7 i 8: E. Kara±kiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów;

zad. 7(a), 8(a): L.D. Landau, I. M. Lifszyc, Mechanika, paragraf 4.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: