DYNAMIKA  BRYŁY  SZTYWNEJ

Bryłą sztywną nazywamy takie ciało, w którym wszystkie punkty mają zawsze względem siebie stałą odległość.

Rys. 3.1 Bryła sztywna

    nie zależy  od czasu

Stąd wynika, ze podczas ruchu układ punktów materialnych składających się na bryłę sztywną porusza się jako całość o nie zmieniającej się postaci i objętości

Bryła sztywna ma 6 stopni swobody w ruchu swobodnym.

Rys. 3.2 – Wybieramy dowolny punkt bryły sztywnej. Ma on trzy stopnie swobody

Rys. 3.3 – Wybieramy układ w którym punkt jest nieruchomy; wówczas punkt ma tylko dwa stopnie swobody, gdyż może poruszać się po powierzchni kuli o promieniu

Rys. 3.4 – Wybieramy układ, w którym oraz są nieruchome . Dowolny punkt lub cząstka w tym układzie ma tylko jeden stopień swobody, gdyż może się poruszać tylko po okręgu.

Gdy na ruch bryły sztywnej nałożymy więzy, wówczas ruch nie traktowany jako swobodny. Dla niezależnych więzów (równań więzów) ilość stopni swobody wynosi:

              (3.1)

W ogólnym przypadku bryła sztywna porusza się dwoma rodzajami ruchów:

postępowym i obrotowym.

Ruch postępowy:

  dowolna prosta przeprowadzona przez bryłę sztywną przesuwa się     

  równolegle do samej siebie, wektory prędkości wszystkich punktów bryły

  sztywnej są w danej chwili jednakowe.

Ruch obrotowy:

wszystkie punkty bryły sztywnej poruszają się po okręgach, których środki

leżą na jednej wspólnej prostej zwanej chwilową osią obrotu.

Dla n-tego punktu o wektorze wodzącym , relacja między prędkością liniową oraz prędkością kątową (obrotową) jest opisana związkiem:

                                                                              (3.2)

Podstawowe wielkości charakteryzujące ruch postępowy oraz obrotowy

Dla każdej bryły sztywnej, niezależnie od jej kształtu, istnieją trzy ortogonalne (prostopadłe) kierunki, dla których moment pędu jest równoległy do osi obrotu (êê). Osie te noszą nazwę osi głównych. Gdy bryła sztywna posiada jakąś  symetrię, to osie główne pokrywają się z osiami symetrii.

Równanie ruchu obracającego się ciała

     Ruch obrotowy punktu materialnego jest opisany wzorem:

              (3.3)

  gdzie:

           jest momentem pędu,    jest momentem wypadkowej siły.

Obie wielkości muszą być odniesione do wspólnego początku układu, którym jest zwykle środek masy (ale nie zawsze).

Jeżeli potraktuje się bryłę sztywną jako układ punktów materialnych, to moment pędu możemy zapisać :

                                                   (3.4)

związek między prędkością liniową dla n-tego elementu bryły sztywnej i prędkością kątową jest następujący:

                (3.5)

Przyjmujemy:

    Wstawiając równanie (3.5) do (3.4) otrzymujemy:

                                                                                     (3.6)

Stosujemy tożsamość wektorową:

                       (3.7)

w której przy zastąpieniu :

, ,

wzór (3.6) przyjmuje postać:

                      (3.8)

Wektorowe równanie (3.8) można rozpisać na trzy równania skalarne dla składowym momentu pędu , korzystamy przy tym z rozpisania iloczynu skalarnego: . Wówczas dostajemy układ trzech równań skalarnych:

              (3.9a-c)

W równaniach (3.9a-c), przy składowych wektora prędkości , występują wielkości, które zależąod rozkładu  masy ciała względem chwilowej osi obrotu i orientacji w stosunku do układu współrzędnych. Wielkości te nie zależą od czasui noszą nazwę współczynników bezwładności lub momentów bezwładności. Zapisujemy je następująco:

              (3.10a-c)

              (3.11a-c)

              (3.12a-c)

Równania od (3.10a-c) do (3.12a-c) stanowią definicję 9–ciu składowych momentu bezwładności lub inaczej tensora momentu bezwładności

Trzy równania skalarne (3.9a-c) można teraz zapisać w postaci:

              (3.13a-c)

Ogólnie wektor momentu pędu nie ma kierunku wektora prędkości kątowej . Najprostszą bryłą sztywną jest kula, dla niej zawsze êê.

Tensor momentu bezwładności zapisujemy w postaci macierzowej:

                  (3.14)

Człony nazywają się przekątnymi macierzy lub wyrazami na ...