Macierz_odwrotna.pdf

(75 KB) Pobierz
373676573 UNPDF
Definicjaimetodyobliczaniamacierzy
odwrotnej
MarcinDetka
KatedraInformatykiStosowanej
Kielce,Pa¹dziernik2004
1Macierzodwrotna-definicja
Definicjeuzupełniaj¡ce(przypomnienie)
Podwyznacznikiem danegowyznacznikanazywamynazywamyka»dywy-
znacznik,któryotrzymujemyusuwaj¡czmacierzydanegowyznacznika
pewn¡liczb¦wierszyitak¡sam¡liczb¦kolumn,zachowuj¡ckolejno±¢
pozostałychelementów.
Minoremwyznacznikaprzynale»nymdoelementu a ij macierzy nazywamy
podwyznacznikdanegowyznacznika,któryotrzymamyusuwaj¡czma-
cierzydanegowyznacznikawierszorazkolumn¦,naprzeci¦ciuktórych
znajdujesi¦tenelement.
Dopełnieniemalgebraicznym A ij elementu a ij wyznacznika nazywamy
iloczymminorategowyznacznikaprzynale»negodoelementu a ij oraz
czynnika( − 1) i + j
Je»elipoprzez A oznaczymymacierzdopełnie«algebraicznychdladanejkwa-
dartowejmacierzy A owyznaczniku det A 6 =0todefinicjemacierzyodwrot-
nejmo»emyzapisa¢:
det A ( A ) T
(1)
Warto±¢ka»degoelementumacierzyodwrotnejmo»emyzapisa¢przyjmijmy
»e: A − 1 = B
(2)
1
A − 1 = 1
b ij = A ji
det A
373676573.003.png 373676573.004.png 373676573.005.png
 
2MACIERZODWROTNA-METODGAUSSA-JORDANA 2
Przykład
Obliczaniemacierzyodwrotnejzdefinicji:
2
3 1 − 1
4 2 − 1
− 2 − 1 1
3
A =
6 4
7 5
Wyznacznikmacierzywynosi:
=1 6 =0
Obliczamydopełnieniaalgebraicznedlaka»degoelementumacierzy
A 11 =( − 1) 1+1
2 − 1
− 1 1
=1
A 21 =( − 1) 2+1
1 − 1
− 1 1
=0
Poobliczeniuwszystkich(jeszcze7)dopełnie«algebraicznychmacierz A wy-
nosi
2
1 − 20
0 11
1 − 12
3
A =
6 4
7 5
Podstawiaj¡cdowzoru1otrzymujemymacierzodwrotn¡
A − 1 = 1
1
2
6 4
10 1
− 21 − 1
01 2
3
7 5
2Macierzodwrotna-metod¡Gaussa-Jordana
MetodaGaussa-Jordanaopartajestnanast¦puj¡cychrównaniach
A − 1 A = I (3)
A − 1 I = A − 1
(4)
Macierz A orazmacierzjednostkow¡ I poddajemytejsamejsekwencjiope-
racji:zsymetripowy»szychrówna«wynika»eje»elitasekwencjadoprowadzi
doprzekształceniamacierzy A wmacierz I toprzekształcanarównoleglema-
cierzjednostkowapowinnasta¢si¦macierz¡ A − 1
3 1 − 1
4 2 − 1
− 2 − 1 1
373676573.001.png 373676573.002.png
 
2MACIERZODWROTNA-METODGAUSSA-JORDANA 3
Przykład
Obliczaniemacierzyodwrotnejmetod¡Gaussa-Jordana
A =
2
6 4
211
121
112
3
7 5
2
6 4
100
010
001
3
7 5
abyuzyska¢ a 11 =1,dzielimypierwszywierszprzezwaro±¢elementu a 11
A =
2
6 4
11 / 21 / 2
1 2 1
1 1 2
3
7 5
2
6 4
1 / 200
010
001
3
7 5
abyuzyska¢warto±¢ a 21 =0odejmujemyodwiersza2wiersz1pomno»nony
przezwaro±¢ a 21 orazabyuzyska¢warto±¢ a 31 =0odejmujemyodwiersza3
wiersz1pomno»nonyprzezwaro±¢ a 31
A =
2
6 4
11 / 21 / 2
03 / 21 / 2
01 / 23 / 2
3
7 5
2
6 4
1 / 200
− 1 / 210
− 1 / 201
3
7 5
abyuzyska¢warto±¢1naprzek¡tnejtzn.aby a 22 =1dzielimywiersz2przez
warto±¢ a 22 ,abyuzyska¢warto±¢0dlaelementu a 12 takuzyskanywiersz
odejmujemyodwiersza1mno»¡cgowcze±niejprzezwarto±¢elementu a 12
abyuzyska¢warto±¢0dlaelementu a 32 takuzyskanywierszodejmujemyod
wiersza3mno»¡cgowcze±niejprzezwarto±¢elementu a 32
A =
2
6 4
101 / 3
011 / 3
004 / 3
3
7 5
2
6 4
2 / 3 − 1 / 30
− 1 / 3 2 / 30
− 1 / 3 − 1 / 31
3
7 5
abyuzyska¢warto±¢1naprzek¡tnejtzn.aby a 33 =1dzielimywiersz3przez
warto±¢ a 33 ,abyuzyska¢warto±¢0dlaelementu a 13 takuzyskanywiersz
odejmujemyodwiersza1mno»¡cgowcze±niejprzezwarto±¢elementu a 13
abyuzyska¢warto±¢0dlaelementu a 23 takuzyskanywierszodejmujemyod
wiersza2mno»¡cgowcze±niejprzezwarto±¢elementu a 23
A =
2
6 4
100
010
001
3
7 5
2
6 4
3 / 4 − 1 / 4 − 1 / 4
− 1 / 4 3 / 4 − 1 / 4
− 1 / 4 − 1 / 4 3 / 4
3
7 5
Zatem
2
6 4
3 / 4 − 1 / 4 − 1 / 4
− 1 / 4 3 / 4 − 1 / 4
− 1 / 4 − 1 / 4 3 / 4
3
7 5
A − 1 =

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin