Wyrażenia wymierne

Wyrażenie w postaci , gdzie W(x), Q(x) to wielomiany stopnia wyższego niż zero oraz Q(x) ¹0 nazywamy wyrażeniem wymiernym zmiennej x.

Przykłady wyrażeń wymiernych:

              a)  ,

b)   ,

c)  

              W wyrażeniu wymiernym zmienna może być oczywiście oznaczona dowolną literą.

Przykład 1:

              Oblicz wartość wyrażenia     dla x = -1.

              Aby obliczyć wartość wyrażenia wymiernego dla x = -1 należy do tego wyrażenia w miejsce zmiennej wartość –1.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jednej zmiennej nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wartość wielomianu Q jest różna od zera (zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których można określić wartość wyrażenia).

By wyznaczyć dziedzinę danego wyrażenia wymiernego, należy wyznaczyć miejsca zerowe wielomianu znajdującego się w mianowniku wyrażenia (rozwiązać równanie Q(x) = 0), a następnie wyłączyć je ze zbioru liczb rzeczywistych.

Przykład 2:

              Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego:

                            a)  

                            b)  

                            c)  

                            d)  

                            e)  

                            f)  

Rozwiązania:

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem miejsc zerowych wielomianu znajdującego się w mianowniku.

              a)  

                            2x – 3 = 0

                            2x = 3 /: 2

                            x =

Otrzymaną wartość „wyrzucamy” ze zbioru liczb rzeczywistych otrzymując dziedzinę danego wyrażenia.

Odp.: Dziedziną wyrażenia jest  R\{}.

              b) 

                   = 0

                    Korzystając z zależności                            a× b = 0Û a = 0 lub b = 0

                    otrzymujemy              2t – 1 = 0              lub              t + 5 = 0.

                    Stąd                            2t = 1/:2              lub              t = -5

                                                        t =                             lub              t = -5.

      Odp. : Dziedziną wyrażenia jest  R\{-5, }.

c)  

       = 0     (równanie kwadratowe)

        a = 3              b = 5              c = 2

        D = b2 – 4ac

        D = 52 – 4 × 3 × 2 = 25 – 24 = 1

                                    Zatem są dwa rozwiązania tego równania                x1              i     x2 .

                            x1              i     x2

                            x1 =                       x2 =

                            x1 = -1                                    x2 =

Odp. : Dziedziną wyrażenia jest  R\{-1, }.

              d)  

                            x3 – 100x = 0                            (równanie wielomianowe 3 – go stopnia)

                            Rozkładamy wielomian na czynniki wyłączając zmienna przed nawias

                            x(x2 – 100) = 0

                            x = 0              lub              x2 – 100 = 0

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia rozkładamy wyrażenie x2 – 100 na czynniki        i otrzymujemy równanie

(x - 10)(x + 10) = 0

x – 10 = 0              lub              x + 10 = 0

x = 10                            lub              x = -10

Odp. : Dziedziną wyrażenia jest  R\{-10, 0, 10}.

              e)  

                            = 0                            (równanie wielomianowe 4 – go stopnia)

                            3x3 (5x - 2) = 0

                            3x3 = 0                            lub              5x - 2 = 0

                            x = 0                            lub              5x = 2/:5

                                                                      x =

Odp. : Dziedziną wyrażenia jest  R\{0, }.

              f)  

              (x2 - 4)(4x - 12) = 0

x2 – 4 = 0              lub              4x – 12 = 0

              (x - 2)(x + 2) = 0              lub              4x – 12 = 0

              x – 2 = 0              lub              x + 2 = 0              lub              4x – 12 = 0

              x = 2                             lub              x = - 2                            lub              4x  =  12 /:4

                                                                                                  x = 3

Odp. : Dziedziną wyrażenia jest  R\{-2, 2,3}.

              Ćwiczenie 1

              Rozwiąż  zadania 1, 2  str. 19-20 z podręcznika.

              Na wyrażeniach wymiernych (tak jak na ułamkach) można wykonywać podstawowe działania, czyli dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie (w przypadku dzielenia ważna jest dziedzina).

Przy wykonywaniu jakichkolwiek działań na wyrażeniach wymiernych należy pamiętać o wyznaczeniu dziedziny wyrażenia.

Przykład 3:

              Wykonaj działania, wynik przedstaw w jak najprostszej postaci.

                            a)  
                            b)  

                            c)   

                            d)   

                            e)    

Rozwiązania:

a)  

Dziedzina:              x = 0              i              x2 = 0

                            D = R \ {0)

Aby wykonać działania dodawania i odejmowania  na wyrażeniach wymiernych należy te wyrażenia (tak jak ułamki) sprowadzić do wspólnego mianownika.

              b)  

              Dziedzina:              x2 + 2x = 0              i              x +  2 = 0

                                          x(x + 2) = 0              i              x = -2

                                          x = 0              i              x + 2 = 0              i              x = -2

                                          x = 0              i              x = -2

                            D = R \ {-2, 0}

                            c)   

                            Dziedzina:              10x – 5 = 0              i              2x4 = 0

                                                        10x = 5/:10              i              x = 0

              ...